III I

On a, évidemmcnl,

L'équation (i), à l'aide de ces données initiales, fera connaître iv pour X = n H- 1 et pour les valeurs suivantes.

3o. Nous donnerons, pour terminer ce Chapitre, l'énoncé de quelques problèmes empruntés pour la plupart à Moivre et dont la solution est facile.

Problème XXI. — Probabilité pour obtenir une fois le point i, et une fois seulement, en jetant quatre clés.

ii(jb '

Problème XXII. — Pierre parie que, en jetant cinq dés, il obtiendra une fois le point i et pas davantage. Quelle est la probabilité de gagner?

PrtoBLÈME XXIII. — Quelle est la probabilité pour que, sur cent essais successifs avec un seul dé, on obtienne une fois au moins une succession de cinq as sans interruption?

Problème XXIV. — Pierre parie d'amener en trois coups, avec deux dés, le point j et le point -, cliacun une fois. Quelle est sa probabilité pour gagner?

cnvp. iT. — rKOE\BiLiïi':s totales et composées. /\0

PitoBLÈME XW . Picrie cnli éprend d'obtenir le point 'j

UKCc deux dés cntinl <ju'aucun autre ne se soit produit deux. Jois. Quelle est la probabilité de gagner?

Pkoulème XXVI. — Pierre jette trois pièces de monnaie, Paul en jette deux ; celui des deux qui amènera le plus de faces gagnera. Si les nombres sont égaux, on recommencera V épreuve jusquà ce quelle donne un résultat. Quelle est la probabilité pour que Pierre gagne?

Pkoblème XXVII. — Pierre lance un dé et recommence autant de fois qu'il faudia pour amener, soit deux fois le point i, soit l'un des points i ou 3. Quelle est la probabilité d'amener

deux fois le point i?

Pkoblème XXVIll. — Pierre et Paul jouent a^^ec deux dés, Pierre gagnera par le point j, Paul par le point 6. Paul joue le premier et ils jettent les dés alternativement jusqu^ à ce que run d'eux ait amené le point qui le fait gagner. Quelle est la probabilité de Pierre?

Problème XXIX. — Pierre et Paul jouent avec deux dés; Pierre jette les dés deux fois. S'il obtient le même point, il gagne. Si les points sont différents, il continue à jeter les dés jusqu'à ce qu'il ait obtenu l'un des deux premiers points. Il gagne si c'est le premier. Quelle est la probabilité de gagner?

: = o,jj63.

I ifjh

Problème XXX. — On jette en l'itir cin<] pièces de monnaie . Quelle est ht probabilité pour (pi' elles montrent trois piles et deux faces?

lé'

Problème XXXI. — Pierre et Paul jouent à un jeu d'adresse. Le gagnant, après chaque partie, marque un point. Le jeu devient égal lorsque Pierre, plus habile que Paul, lui rend deux points sur trois, qui font gagner la partie. Quelle est, à chaque partie, la probabilité du gain pour Pierre?

Problème XXXII. — Pierre et Paul jouent aux conditions énoncées dans le problème précédent. Pierre peut , sans désavantage ni avantage, rendre unpoint sur trois. Quelle est pou/lui la probabilité p de gagner une partie?

Le rapport = z est donné par l'équation

On en déduit approximativement

Problème XXXIII. — Lne loterie contient un très grand nombre de billets; le nombre des lots est le quarantième du nombre des billets. Combien faut-il pjrendre de billets pour aioir probabilité l de gagner ou de ne pas gagner un lot?

l'j ne suffisent pas, 28 donnent au gain une chance plus grande que r,.

Problème XXXIV. — Dans une loterie de 40000 billets, il y a trois lots. Pierre prend 8000 billets. Quelle est la probabilité d'avoir un lot?

— r =0,488. à peu près.

cil VI'. II. — PnOBABILITKS TOTALES ET COMPOSÉES. /\'J

Quelle est celte tic les (i\oir tous les iiois?

— r =0,008, à peu prè-

PiiOBLLME XXX\'. — Combien Pierre devrait-il prendre de billets, à la loterie indiquée au problème précédent, pour avoir chance r, de "a^ner un des lots?

Pkobi.ème XXXVI. — Une loterie, sur 100 000 billets, doit donner 10 000 lots. Combien faut-il prendre de billets pour avoir c lia née 4- de ira"; ne r un lot?

Le calcul donne QtS. Avec 7 billets, la probabilité de gagner un lot, au moins, est 0,32 1^-^; avec G billets, elle est 0,46807.

Problème XXXVII. — Une lotetie, sur 1000 billets, promet trois lots. Quelle est la probabilité, avec trente billets, de gagner un lot?

Problème XXXVIII. — On a dans une urne trente boules, dix blanches, dix noires, dix rouges; on en prend trois au hasard. Quelle est la probabilité pour avoir une boule de chaque couleur?

Problème XXXIX. — En combien de coups, avec trois dés,

peut-on parier, avec chance égale, d'amener trois as deux

fois?

36i coups.

Problème XL. — En combien de coups, avec trois dés,

peut-on parier, avec chance égale, d'amener deux fois le

point i5 ?

45 coups.

48 CALCUL DES mOB.VBILITÉS.

PiiOBLÈME XLl. — En cvnibicii ih- coiijts, mec un scii/ dé, peut-on pmicr, a\cc cliancc rgalc, tic voir les six faces?

\'i coups.

PuoBLÈAiE XLIl. — En combien de coups, (i\cc deux dés, peut on pui-iei', avec chance éi;ale, d\tniener tous les doublets?

79 coups.

(MAP. Il F. — FSPKRANCF, MVTHK.M ATIQUr. 49