CHAPITRE n
ESPÉRVNCE MATIIÉM.VÏIQUE.
Hoc utrobioiie ular rundnmento : nimirum, in alcan ludo tanti .-B^liuianduin est cujusquc soricm. scu expeclalionriu ad aliquid oblinendum, quanlam si liabcal, possit denuo ad similoni sortpin sivc expeclalioneiii perrenire, iciiua condilionc corlaiis.
lltYUEMS.
36. Dcfinilion de l'espérance mathémalique. — 37. Assertion exagérée de Poisson. — 38. La recherche de l'espérance mathématique et celle de la probabilité sont deux problèmes distincts. — 39. Exemple de la simplification d'un problème par la recherche directe de l'espérance mathématique. — 40. Second exemple. — il. Troisième exemple. — 42. Quatrième exemple dans lequel la recherche de l'espérance mathématique fait connaître la probabilité. — 43. Calcul d'une espérance mathématique déduite des probabilités des divers cas possibles. — 44. Problème sur le jeu de dés. — 45. Discussion de la formule obtenue. — 46. La valeur probable d'une fonction n'est pas déterminée par celle des grandeurs dont elle dépend. — 47. Exception relative aux sommes et aux produits quand les facteurs sont indépendants. — 48. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — i9. Insuffisance des explications proposées par Condorcet et par Poisson. — 50. La réponse du calcul est parfaitement raisonnable et n'a besoin d'aucune justification. — 51. Insignifiance de l'explication proposée par Daniel Bernoulli et devenue célèbre sous le nom de théorie de l'espérance morale.
3G. Le sort des joueurs a élé la première préoecupatlon des créateurs de la théorie du hasard. On le nomme aujourd'hui esprrance mathématique, il est la valeur équitable des avantages encore incertains que font espérer les conditions du jeu.
L'espérance mathématique, dans un jeu équitable, est, pour chaque joueur, égale à sa mise qui, livrée au jeu, ne lui appar- B. 4
I Al. Cl I. 1)1 S l'iioi; \i!i i.n i:.s.
lient plus. Celle égaliu- liadiiil la tlélinilioii : le joiiour écliangc sa mise eonlre une espérancr inatlu'malicuio. Si ré(]uivalence nexisle pas, le jeu iTesl pas é(piilal>I(\
L'espérance inallicnialicpic Ac celui (|iii a la prolial)ilil('- y> de recevoir la somme Scsi mesurée par le produil/>S.
Si n personnes, en circt, ont sur la somme S des droits ('gaux,
ils pcuvenl éqnitahlcmonl la partager et piendre cIkumiii " ou la
tii'or au sorl et accejUer pour jiail la prohahililé irohhMiir S. Si
quelques-uns des avants droit, au nomhre de ///, s associent, on
pourra leur ofTrir équitablcnient, soit le partage donnant à leur
w S • I ,,..■, m , -CI 1
associalion —, soiL la iH-ohabilite — de recevoir S. Les deux /i ' /i
ofFres sont donc équivalentes.
37. Poisson a écrit : « Si le gain espéré par une spéculation est 60000*^'^ cl que I soit la probabilité de l'obtenir, la personne qui devra recevoir celle somme éventuelle pourra considérer le liers de Goooo'^'" comme un bien qu'il possède et (pie l'on devrait comprendre dans l'inventaire de sa fortune. »
Poisson va trop loin. Le plaideur engagé dans un procès qu'il a neuf chances sur dix de perdre et qui, en cas de gain, doit lui rapporter i million, mentirait en disant qu'il possède 1 00000'''. Un homme prudent, sur une telle garantie, refuserait de lui préler joo*^'. Son espérance mathématique ivn/t 1 00000'', mais vraisemblablement il ne trouvera pas d'acheteur.
Cette confusion entre une espérance mathématique et la ccrtititude d'une somme équivalente a fait naître de graves difficultés. Nous aurons à y revenir.
38. Si la somme espérée est connue, la recherche de la probabilité et celle de l'espérance malhématicpie forment un même problème. 11 en est autrement lorsque les conditions du jeu impliquent la possibilité de gagner ou de perdre, suivant les cas, plusieurs sommes dilTérenles.
Si des événemeals ayant pour probabilités /;,, />j /)„ don-
CM M'. III. — KSPKIIANCE M VTIII!:M ATIQUE. 5l
ncnlilroil aux. somincs S|, Sj, ..., S„, l'espérance malliémali<[ue est
piSi-h p-iS-î-i-. . .-7- pn S„ .
Celui qui doit, suivant les cas encore incertains, recevoir l'une ou l'autre des sommes S,, So, . - ., S„, peut vendre ses droits el, par des marchés équitables , échanger ses chances contre les sommes />|S|,/?oS2, . . . , p„S/i cpii donneront droit à n acheteurs différents de loucher en son lieu et place, le premier la somme S, , si c'est celle qui lui échoit, le second la somme Sj, ..., et enfin le dernier la somme S,/.
Le règlement des comptes ne fera naître aucune difficulté, puisque deux acheteurs, d'après les conventions, n'auront jamais à réclamer la même somme.
L'espérance mathématique est connue quand les probabilités des divers cas possibles ont été calculées. Mais il est plus aisé, quelquefois, de la chercher directement sans s'occuper des termes qui la composent.
39. Problème XLlll. — Pierre el Paul jouent au jeu de rencontre. Une urne contient <x numéros marqués i, 2, 3, ..., a. Paul tire successivement les [x boules et setigage à donner éi Pierre x^" chaque fois qu'uti numéro sortira à son rang. Quelle est l'espérance mathématique de Pierre?
S'il fallait évaluer la probabilité des divers cas possibles, le problème, sans être difficile, exigerait de longs calculs.
En nommant pi la probabilité pour (ju'il y ait i rencontres, l'espérance demandée est
La somme est plus aisée à calculer que chacun des termes qui la composent.
L'espérance mathématique de Pierre est, à chaque tirage, -• La somme espérée est en eff'et i'% et la probabilité de l'obtenir -•
52 CALCUL DES VmB VBIl.lTES.
La nroliuMlilc au intinicnl (lù le tirage va se faire dépend des nuim-ros sortis anlérieurcmcnt. Si le minirro / csl sorti déjà, la probabilité de le voir au /"'"' tirage est nulle. S'il n'est pas sorti, elle
est -. Mais e'est au début ibi leu iiu il huit la calculer, et
la probabilité est alors ^ •
L'espérance niatliéniatlque de Pi(Mre, étant pour chaque tirage -j est, pour les a tirages, |j.-j c'est-à-dire i'"".
40. Problème XLI\ . — f /ic urne contient f/es boules noires et des boules blanches; la probabilité de la sortie (Tune boule blanche est p, celle de la sortie d'une boule noire est q. On fait u tirages en remettant chaque fois dans Vurne la boule t/ui en est sortie. J^ierre recevra x^'' chaque fois quune boule blanche sortira , précédée et suivie par une boule noire. Quelle est, pour rensenible des u tirages, l'espérance mathématique de Pierre?
La probabilité pour que le tirage de rang i donne à Pierre le droit de recevoir i^"" est pq-, car il faut le concours de trois événements dont les probabilités sont q. p cl q. L'espérance matliénialique étant, pour chaque tirage, égale à pq-. elle est, pour l'ensemble des [x tirages, égale à '^pq~-
L'espérance mathématique est la même que si les 'x tirages se faisaient dans une urne donnant à la sortie d'une boule blanche la probabilité pq'-., et que Pierre dut recevoir i^*^ pour chaque boule blanche sortie, sans qu'aucune condition (ïil Imposée à celle qui la précède ni à celle qui la suit. Les deux jeux donnent à Pierre des avantages équivalents mais non identiques. Dans le premier, sur a tirages, la plus grande somme qu'il puisse gagner est -. dans le second elle est 'jl. Si l'on votihiit, pour obtenir l'espérance mathématique, calculer les termes qui la composent et, pour cela, chercher la probabilité pour que sur a tirages Pierre eiit un nombre donné n de francs à recevoir, la difficulté des deux problèmes serait fort inéi:ale. La considération, parfaitenicnl rlgou-
«H VI'. III. — i:SPl';i\.VNCE MATlIÉMATIQUr, 53
reuse, de l'espéraMcc nialhémali(|iic dispense de les résoudre. Pierre, en effet, peut, pour cliacun des tirages, vendre la chance qu'il a de gagner i'^ sans avoir à tenir compte de rinfluence exercée par les chances de l'un dts coups sur celles du suivant. Il est certain cpie, si l'achelrur du coup de rang / est favoris(' par le sort, celui du coup suivant ne le sera pas; la houle qui lui apl)artient sera noire. Peu leur importe : la chance qu'ils achètent, au moment où ils la payent, n'est ni augmentée ni diminuée.
il. PuoBLKMi-: XL\ . — L lie unie contient un grand nombre n de boules marquées des numéros i , 2, 3, ..., n. On fait successivement 'j. tirages, en remettant clKujue fois dans l'urne la boule (jui en est sortie. Pierre recevra i'^' chaque fois que la série des numéros écrits dans leur ordre de sortie présentera un maximum ou un minimum. Quelle est Vespérance mathématique de Pierre?
Si l'on considère un tirage désigné, la probabilité pour que le numéro correspondant soit dans la suite un maximum ou un minimum est |. Si l'on compare en effet le numéro sorti à celui qui le précède et à celui qui le suit, il sera maximum s'il est le plus grand des trois : la probabilité pour cela est |, et minimum s'il est le plus petit : la probabilité est également |; en écartant comme ayant une probabilité négligeable, si n est très grand, le cas où deux numéros consécutifs seraient égaux, la probabilité pour que le numéro dont le rang est donné soit maximum ou minimum est |. L'espérance mathématique de Pierre pour chacun des termes de la série est donc \\ elle est pour les u. termes de la série |ti..
Le raisonnement peut, comme le précédent, laisser un doute qu'il faut discuter.
Si, dans la suite, un numéro est maximum ou minimum, cela change la probabilité pour que le suivant le soit aussi.
La probabilité pour que le vingtième terme de la suite soit maximum est '.
La probabilité pour que le vingt et unième soit maximum est aussi 4.
54 CVl.CCL DES rnOBABIMTKS.
I.;» piol)ahilil('' pour fiuMs le soient Ions deux n'est pas ,',, elle est nulle.
Ij'ohjeclion serait fontlée si nous calculions h's pidlialuiilés. (hiand il s'agit des espérances niallu inali(|ues, elle jxid inule sa lorce.
Pierre, en cfTet, peut vendre à des aclielcurs dillerents chacun des francs qu'il peut espérer; tous les marcIiés sont équitables, (iliaque acheteur a bien réellement probabilité ~ de recevoir i'""; peu lui importe que son i;ain, s'il est obicnn, (liiniuuc les chances d'un autre : les conventions partielles n'en sont pas moins équitables. Pierre a pu vendre équilablenienl ses droits }'J-^'. Telle est donc son espérance mathématique.
42. Si, une urne contenant deux boules blanches et une boule noire, on fait successivement jj. tirages, l'espérance mathématique de celui qui doit recevoir i*^"" par boule blanche sortie sera |[x conune dans le cas précédent; là s'arrête la ressemblance des deux problèmes. La probabilité d'extraire de l'urne un certain nombre de boules blanches n'est pas égale à celle d'avoir un même nombre de maxima ou minima.
La probabilité pour que toutes les boules soient noires est {^y, celles pour qu'elles soient toutes blanches (f)!^. Les probabilités de n'avoir ni maxiiuum ni minimum et celle de n'avoir cpie des maxima et des minima sont très diilcrentes.
L'égalité entre les espérances mathématiques n'inq)liqn«^ nullement celle des diverses probabilités qui figurent dans leur expression.
43. Problème XL\ L — O/i (rare sur un plan iiiflrjiiii drs lignes parallèles éqiiidistanles. Lnc aigiiillr est lancée au hasard sur le plan. Pierre rcccK'ra i'' par rencontre de r aiguille ai'cc une des parallèles. Quelle est l'espérance mathématique de Pierre?
L'espérance mallu'matique de Pierre est proportionnelle à la longueur de l'aiguille cl indépendante de sa forme, droite ou courbe.
c.iiAP. III. — r.sPi';uA.\'<.i; m n iikmatiqi f. Do
II n'en est pas de même de la [)ruljuljilil(' de la renconlre, et ce problème, comme le précédent, montre la diflércncc entre le calcul do la probahililt' cl celui de l'espi-rancc malli('riiarKpie.
Une aiguille est droite; on la courbe; la probabililé de la rencontre est changée : l'aiguille ne pouvait, si elle est plus petite cpu; la dislaiice des dcu\ j>aiallrles, procurer deux renconlres à la (bis; elle le jx'ut (piaiid, sans changer sa longueur, on I ;i |)li<''e en courbe. On peut même être certain, si la courbe est lermée, cjuiinc première rencontre en rend une seconde nécessaire.
Les conditions du jiroblème sont donc changées. L'espérance mathématique de celui fpii doit recevoir" i''" par rencontre reste la même. ('>ha(|uc élément de l'aiguille donne, en elTel, une espérance indépendante des autres éléments qui lui sont attachés. Celui qui doit recevoir i*^"" par rencontre (c'est la même chose que i'"^ s'il v a renconlre, quand une seule rencontre est possible) peut vendre à des acheteurs dififérents les droits résullaiit pour lui de chaque élément de l'aiguille, et la valeur de ces droits reste la même, soit que l'aiguille soit droite ou courbe.
Soient rt la dislance de deux parallèles, /la longueur de raiguille, plus petite que a. Si la j)robabililé d'une rencontre est />, p est aussi l'espérance mathématique de Pierre. Remplaçons l'aiguille
par un cercle de même longiieur. Le ravon R de ce cercle sera — • ' o .. .^ -
La probabilité pour ([ue le cercle rencontre \\\\c des pai'allèles est
- — Si l'on partage, enclTet, la distance « des deux parallèles entre
lesquelles tombe le centre du cercle en n parties, il y a chance égale pour qu'il tombe sur chacune d'elles, et il faut, pour qu'il y ait rencontre, qu'il soit à une distance moindre que R de l'une ou l'autre des deux lignes. Le nombre des divisions favorables est
; leur nombre total est n, et la probabilité de la rencontre
est, par conséquent,
Si le cercle rencontre une des parallèles, il la renconlre deux
56 CAl.CLL DES PUOB.VBlLlïf.S.
fois; 1 cspcraiicr inallu'inali(jiie csl donc
iil - 2Z a a-
Tcllc esl la probahiliu'" |>oiir la reiiconlrc de raiguille L'ingénieuse substiliiliti esl due à M. l.inile lîarliici
L'ingénieuse substilulion d'un cercle à une aiguille recliligne
4i. l'iioiuiMi: \L\ 11. — Pierre a Irais pièces de 5'^'", Paul en a deux ; ils comiennent (jiie eluicun jettera ses pièces. Celui (jui obtiendra le plus grand /lonihre de Jaces j>rend/a les cinq pièces. Le jeu esl-il é<juitable?
Pierre expose ij''"i'l P.uil lo'"" seuleinenl; mais Pierre a plus grande chance de gagner. La compensalion esl-elle exacte?
Dans ce cas, comme dans un grand nombre d'autres, la méthode la plus simple pour calculer l'espérance mathématique est de chcrclicr la probabilité de chacun des cas possibles.
Pierre peut, avec ses trois pièces, amener o, i , 2 ou 3 fois face. Les probabilités sont ^, |, j et J.
Paul peut avoir o, i ou 2 fois face; les probabilités sont ], ], et \.
Si Pierre n'a pas face une seule fois, sa probabilité de gagner est o, celle de perdre est j.
S'il a face une fois, sa probabilité de gagner est |, celle de perdre J.
S'il a face deux fois, sa probabilité de gagner est ^, celle de perdre o.
S'il a face trois fois, sa probabilité de gagner est i.
La probabilité de Pierre esl donc
celle de Paul esl
8 4 8" 4 « S / 32 iG
cil Al'. III. KSPÉRARCE MATHÉMATIQUE. ^JJ
La somme des deux prohahililés n'csl pas <'galc à l'iinih', parce (|iie la partie peut rire nulle; mais, s'il csl convenu qu'on recommencera jiis<prà ce qu'un des joueurs ail gagné, les probabilités ^ et ,^g représentent deux fractions de même dénominateur ayant ])()ur numérateur les nombres de cas favorables, dont le rapport reste constant quand le nombre des parties augmente. 11 faut donc, pour avoir les deux probabilités, partager l'unité en deux parties qui soient dans le riip|)()rl de ' à ,^y j elles sont
— et — .
L'espérance malliéinalique de Pierre est
elle est plus grande que sa mise.
L'espérance malhémalique de Paul est
