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elle est plus petite que sa mise.
Le jeu est avantageux à Pierre.
■io. PiiOBLÈME LXVIIL — Cn nombre n de joueurs avanl déposé chacun \^' jettent un nombre jx de dés. L'enjeu total appartiendra à celui qui amènera la plus grande somme de points, ou sera partagé entre ceux qui auront amené le même nombre de points, //lus grand que celui des autres joueurs.
Pierre joue le premier^ il amène k pjoints. Quelle est, ciKant que les adversaires aient joué, son espérance mathématique?
Les n^' qui forment lenjeu total appartiendront à Pierre si aucun des adversaires n'amène un point égal ou supérieur à /•; ils seront partagés entre m -+- i joueurs si, aucun n'amenant un point supérieur à A", m des adversaires amènent /. .
La probabilité d'amener avec u dés un point donné est connue
58 (. u.r.ii. 11KS riion vnn.iTKS.
|iar le ïaltl(Mu doniu' i^U^), i|u il sciail aisé trélciiilrc an cas (luii plus grand nombre de dés. Nommons qi^ la probabilllé d'un point supériour à k cl />a celle d'un poinl précisément égal à /. ; la proliabdili' d'un jt^ml inlV'iiem- à /," sera
Pt)ur que Pierre ail part à l'enjeu, il faut fpi'aucun des points ne soit supérieur à /." ; la probabilité j)our qu'il en soit ainsi est (i — 7a)"~'« Soient/))^. la probabilité, danscettebypothèse, d'amener le point k et /•). celle d'amener un point inférieur.
La probabilité pour que Pierre partage avec i de ses adversaires
est
L'espérance malhémalique de Pierre est (I — 7/.)""' « r'k'^-^ \ y « — 1 ) r',!'^ pk
- o/ -pk-^-
égale évidemment à
et, à cause de i-'f.—- p'f.=^ i, puisque r\ gI p\ sont les probabilités de deux événements contraires,
Pk
il reste à calculer r'^ ^^ Pk-
Le rapport de z-^. à/))^ est le même que celui de r^ à/>/;. L'hypothèse faite qu'aucun numéro supérieur à Â" n'est sorti diminue en effet le nombre des cas possibles, sans changer celui des cas favorables à l'arrivée d'un nombre de points égal ou inférieur à k. Les numérateurs de r)^ et de p). sont, avec un même dénomina-
rA- ,
ric
<ri\i>. m. — KspKiiANcr: mathkmatiqui;. jq
leur (Irvciiii plus pclil, cciiv de //, rt de />/,. ^)ii ;> donc
et, p.iis(|iio /•^.+/)^=.i
■i(3. Un problrinc inLrit'Ssaiil i)Ciil <Mre résolu :
Pierre (lyaiil ohleiui le poinl h\ (fiiel est te nombre d\ifh'ersttires le plus fiiKorahle à ses intérêts, c'est-à-dire quel est celui qui lui hiisse bi plus grande espérance mathématique?
En accroissanl le nombre des joueurs, on accroît la somme à partager, mais on diminue la chance d'v avoir part et celle de l'avoir tout cnlièrc. 11 faut délcrniiner n de manière à rendre (i) maximum.
En égalant à zéro la dérivée par i apport à /?, on obtient
Cette équation fera connaître la valeur de n.
Si Pierre a amené le point le plus élevé possible, on a qh^= o; /•/'' est nul et n infini. Pierre, dans ce cas, certain d avoir une |)art, a avantage à accroître sans lijnite le nombre de ses adversaires.
L'espérance mathématique de Pierre ne grandit pas indéfiniment. La formule (i), quand on y suppose qA=o et /i iiilini, se
réduit à
L'enjeu total n devant être partagé entre tous ceux qui auront
le point maximum, pour que chaque part soit-^i il iaul que le
nombre des partageants soit n/j]^. p\, quand A est le plus grand des points possibles, ne diirère pas de p^. np/,- est le nombre
6o CALCUL DKS l'HOBABILITÉS.
j)robaljle de ceux d'cnlro les ii adversaires ijiil aiiièncroiit li' pttini maxinuim dont la probabililé csl p^.
Le Tableau suivant donne les résultats relatifs au cas où l'on joue avec trois dés. Pierre avant amené an premier eoup luii des points inférieurs au niaximnm iS, la première colonne donne le point obtenu, les deux suivantes donnent les probabilités désignées dans la lormnle paryj^ et q^-^ le nombre d'adversaires le plus avantageux pour ciiatpie valeur de /. est inscrit dans la (piatrième colonne; la eincpiième donne la valeur de (i — ']k)" ■, probabilité pour (pie Pierre ail une part.
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