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Si Pierre ayant lancé six dés a obtenu cinq G et un j, on aura
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Le nombre d'adversaires le plus avantageux est iJi^i et la probabilité de recevoir une part est, dans ce cas,
CHAP. IIF. ESPEUAKCE MATHEMATIQUE.
47. Lorsque les valeurs probables de plusieurs grandeurs sont connues, on ne connaît pas pour cela la valeur probable d'une fonction donnée de ces grandeurs.
La valeur probable d'une grandeur inconnue a est, par définilion, l'espérance mathématique de celui qui devrait recevoir une somme égale à a.
Si a peut prendre, selon les décisions du hasard, les valeurs a, , a^. ..., a„, et que, pour chacune d'elles, les probabilités soient l>\, Pi, • • •, l>ii, la valeur probable de a est
La valeur probable de a- est
P\ A -^ PiA —■ --^ Pn-^l\
elle est très dilTérente du carré de la valeur probable de a.
Si deux grandeurs a et h ont pour valeurs probables A et B, la
valeur probable de j n'est pas j- On peut môme remarquer que
si o est une des \d\euTS possibles de h^ si peu probable qu'elle
soit, la valeur probable de j est infinie.
i8. Deux cas importants sont à noter.
La valeur probable d'une somme est la somme des valeurs probables des parties de la somme.
C'est la conséquence immédiate de la définition.
La valeur probable d'un produit, quand les facteurs sont indépendants, est le produit des valeurs probables des facteurs.
Soient a el b deux grandeurs. La première peut recevoir les valeurs a, , «o, . . . , a„, dont les probabilités sont /?i , p^, . . ., p„- La seconde peut avoir les valeurs ^,, ^So, . . . , |5„j, dont les probabilités sont i^i, q.-, . . ., q„i. Les valeurs probables sont
Pl^l - Pl'^l — • • -^ P,l^!l,
7i /i "^ ^2 pi -r- . . . -i- q „i i,„ ; leur produit est la somme des termes tels que
Piqr^i'^r,
62 C.AI.CVL DKS l'UODABlLITKS.
(jui rcpirsciitclil li's jM'otluils i\c loulcs les valeurs possibles a/3/' (lu pi'dtluit <ilf par leurs prohahililés />/^/'.
Si Tarrivée tle l'éx ('iicmeiil d exerçait une iiilliicnee sui- (clIe lie A, la prohalulilé tle lassoi'ialion de 7./ avec |j/' ne sérail pas 1^-3) le produil />/'// •
Si, par exeuiple, h esL égal à (('-. 1<'S valeurs possibles de </ élant a,, a^, .... 7.„, celles de b sont a;, a!;, . . . , a;]. Si a est égal à a/, il est certain cpie 0 sera y.j .
i9. Paradoxe de Saint-Pcfersboiir^. — On a opposé les indiealions du bon sens aux. décisions de la théorie et pour condamner les principes allégué leurs conséquences.
La discussion, jusqu'ici, n'a pas dissipé la méprise. La théorie, pourtant, est irréprochable; il n'est pas juste de lui opposer l'absurdité de ses conseils : elle n'en donne pas. 11 est déraisonnable d'exposer au jeu une forte somme, indélicat d'accepter un risque qui peut rendre insolvable. Le Calcul des probabilités doit ignorer ces sages appréciations.
On joue, c'est rhvpolhèse. A-t-on tort ou raison? La cpiestion n'est pas posée.
On cherche les conditions équitables du jeu sans se demander si elles sont raisonnables, ni établir aucune relation entre cette question, que l'on ne veut pas aborder, et le problème à résoudre.
Le parti raisonnable, si les risques sont grands, est de ne pas jouer.
On j)eul, en acceptant des conventions strictement équitables, faire un acte de folie ou commettre une escroquerie. La remarque, pour être incontestée, ne change pas la théorie du jeu équitable. La confusion est analogue à celle que faisait Poisson (37), en portant une espérance mathématique dans l'inventaire d'une fortune.
Pierre, pour toute fortune, possède looooo'^'^, il veut avoir une chance de gagner loo millions.
Rien n'est plus facile, répond sans s'émouvoir le géomètre (pi'il consulte. Si le jeu est équitable, nous aurez 999 chances sur 1000 de perdre vos looooo'"".
CIIAP. lir. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. T),)
La réponse doit s'anèler là. Si Pierre trouve 999 personnes désireuses coinnic lui de gaj^ner loo millions cl résignées comme lui à la presque certitude de perdre looooo*^', ils organiseront une loterie de 1000 billets à loocoo*^*^ le billet.
Le jeu sera équitable, la théorie le déclare, le bon sens le démontre, et Pierre, cependant, sera très justement interdit comme insensé.
Le problème de Saint-Pétersbourg est devenu célèbre par l'ingénieuse combinaison des conventions faites j)Our dissimuler l'énormité des mises, ou, pour être plus exact, des engagements.
Pierre et Paul jouent aux conditions suivantes :
Pierre jette une pièce de monnaie. Si elle montre face, il donnera i'"" à Paul. Si elle montre pile, il jettera la pièce de nouveau. Si face arrive au second coup, il donnera st'"" à Paul. La pièce sera jetée jusqu'à la première arrivée de face qui termine la partie. S'il a fallu la jeter n fois, Paul recevra 2""''''.
Quelle est l'espérance mathématique de Paul?
Elle est infinie.
Paul, en effet, recevra, selon le nombre des coups qui seront joués, une somme égale à l'un des termes de la suite illimitée
Les probabilités pour lui de recevoir ces diff'érentes sommes sont
