IX--f-2X --I-4X -4-...-r-2"X
elle se compose d'un nombre infini de termes qui sont tous égaux à i.
Quel que soit le prix dont il pa\e la promesse qui lui est faite, le marché sera avantageux à Paul.
Qui voudrait cependant risquer loo*^"" à un tel jeu?
64 CVIXUI. DKS PUOUABll.nfis.
00. Les réponses proposées au prétendu paradoxe sont nombreuses. D'Aleniberl écrivait à Lagrange : « Votre Mémoire sur les jeux me fait désirer beaucoup que vous nous donniez une solution (lu pioltlrine (le Pétersbourg, (|ui me p;iraît impossible en admettant les principes connus. »
Les conditions du jeu impliquent contradiction, ont dit Condorcet et Poisson. Pierre jirend des engagements (|u'il ne peut tenir. Si face ne se présente qu au centième coup, le gain de Paul représentera une masse d or plus grosse que le soleil. Pierre le trompe en la lui j)romeIlant.
L'observation est juste, mais n'éclaircit rien. Si l'on joue des centimes au lieu de francs, des grains de sable au lieu de centimes, des molécules d'iivdrogène au lieu de grains de sable, la crainte d'être insolvable peut diminuer sans limite. La théorie ne doit pas faire la dillérence. Elle ne suppose pas non plus qu'avant chaque jet de la pièce on dépose la mise. Quelle que soit la dette de Pierre, la plume peut l'écrire, on réglera les comptes sur le papier; la théorie triomphera s'ils confirment ses prescriptions. Le hasard très probablement, on peut dire très certainement, finira par favoriser Paul. Quel que soil le prix dont il paye, à chaque partie, la promesse de Pierre, le jeu, s'il est tenace, l'enrichira sans limite. Pierre, insolvable ou non, lui devra une somme immense.
01. Si une machine pouvait jeter looooo pièces par seconde et enregistrer les résultats, Paul, en payant ioog*^"" par partie, s'endetterait sans doute d'une centaine de millions par seconde; il n'en ferait pas moins, après quelques millions de milliards de siècles, un bénéfice colossal. Les conditions du jeu le favorisent, et la théorie a raison.
On peut, sans calculs, rendre l'assertion évidente :
Supposons, pour ne pas aborder de trop grands nombres, que Pierre s'engage à faire i milliard de parties.
Cherchons quelle somme Paul peut espérer recevoir, sans présumer pour lui le hasard b('-névoIc.
Sur I milliard de parties, il faut s'attendre à en voir 5oo mil-
(ini'. m. — ESPÉRANCE M\TIIÉM.\T[QUi:. <).")
Ii(ins pour Icstjuclles Paul uc recevra (|uc i''. On ne peut s'élonncr (ramener face une fois sur deux. Si le nombre est moindre, Paul aura du honlieur; nous ne voulons pas lui en su[)p(»ser.
La seconde moitié des parties jouées commencent toutes jiar l'arrivée de pile. Le second cou[) amènera face vraiscnihtahlcnient rijo millions de fois : une fois sur deux. Paul, pour cliaciinc de ces parties, recevra 2^^' ; il doit, de ce chef, espérer 5oo millions.
Les 200 millions de parties restantes commencent par deux fois pile; pour la moitié d'entre elles, on doit s'y attendre, face arrivera au troisième coup, Paul recevra 4'"^; c'est encore 5oo millions qu'il peut raisonnablement espérer. On peut renouveler trente fois le même raisonnement et voir clairement que l'ensemble des parties doit viaisemblablenient rapporter à Paul, d'après les conditions convenues, une quinzaine de milliards. Le hasard, évidemment, peut le favoriser et accroître la somme, ou le maltraiter et la diminuer; mais, en donnant lo*^'' par partie, il a des chances sérieuses de ne rien perdre.
Si Pierre doit faire loo parties seulement, les chances sont différentes; Paul, en donnant [.V"" par partie, aurait grande chance de se trouver en perte. Les conditions du jeu lui seraient toujours avantageuses; mais son avantage résulterait des gros bénéfices possibles, dont la chance est petite.
Si, au contraire, au lieu de i milliard de parties, on en devait faire looo milliards, Paul, au lieu de i5''', pourrait donner ao''' par partie, avec chance sérieuse de recouvrer 20000 milliards, sans compter, bien entendu, pour rien dans cette appréciation sommaire la possibilité de gagner des sommes immenses, dont le calcid exact a dû tenir compte.
52. La réponse la plus singulière faite au prétendu paradoxe est celle de Daniel Bernoulli qui, le premier, a tiré de l'oubli cette question autrefois proposée par son cousin Nicolas.
100 millions, suivant Daniel Bernoulli, ajoutés à une fortune déjà acquise de 100 millions, ne suffisent pas pour la doubler. Quels avantages nouveaux peuvent-ils procurer?
6i) CALCUL DKS VnOB.VBlLlTÉS.
Il substitue, en conséquence, à respérancc niathéinati(juc Tcspéraiice morale, dans le calcul de la(|uelle une fortune dépend non du nombre d'écus dont elle se compose, mais des satisfactions quelle procure.
Le problème étant ainsi posé, BernouUi a l'audace de le résoudre. La solution est simple. Un acci'oisscmenl r/.r ajouté à une
fiM'tune .r vaut -• Celui dont la fortune était a et devient 0 gagne
un avantage mesuré par
Ib - la.
Jamais compte n'a été ni ne sera réglé de la sorte; mais, grâce .1 (rilhisires approbations, la théorie de l'espérance morale n'a pas moins contribué à la célébrité de Daniel Bernoulli que ses admirables travaux de Phvsique.
53. BufTon a accru par son éloquence l'importance, je veux dire le retentissement de l'idée de Bernoulli.
La théorie de l'espérance morale est devenue classique, jamais le mot ne put être plus exactement employé : on l'étudié, on l'enseigne, on la développe dans des livres justement célèbres. Le succès s'arrête là, on n'en a jamais fait et n'en pourra faire aucun usage.
L'importance d'une somme d'argent diminue avec la fortune de celui qui la reçoit.
« L'avare, dit Buffon, est comme le mathématicien : tous deux estiment l'argent par sa quantité numérique. L'homme sensé n'en considère ni la masse ni le nombre. Il n'y voit que les avantages qu'il peut en tirer. Il raisonne mieux que le mathématicien. L'écu que le pauvre a mis à part pour payer un imj^ùt de nécessité et l'écu qui complète les sacs d'un financier n'ont pour l'avare et le mathématicien que la même valeur. Celui-ci les comptera par unités égales, l'autre se les appropriera avec un plaisir égal, au lieu que l'homme sensé comptera l'écu du pauvre pour un louis et l'écu du financier pour un liard. »
CFIAP. ni. — ESPKii.Vî.cn M\Trn':M.Vïioi:i:. Gy
Un commentalciir, f|iii iiCsl pas sans inc-rilc, Quétclel, a ajoulc, pour faire mieux coiiijn'ondrc une lliûorio (pi'll expose cl approuve :
« Ainsi looo''" pour celui (pii ne possède cpic '.iOO(/'' ont la même importance (jue 5ooooo''" pour celui (pu |)0ssède i million. »
Si, par ce lier dédain de la fortune lorsque le nécessaire est assuré, on échappe au reproche d'avarice, c'est pour en mériter un plus grave. Celui qui possédant un million en acquiert un second changera fort peu, pas du tout peut-être, les habitudes de sa vie.
Est-ce là, pour qui n'est pas avare, le seul fruit de la richesse?
Si riiomnie sensé dont parle BulTon n'est pas un cynique égoïste, il pourra, sans thésauriser, faire bon usage des millions (ju'on lui suppose. On pourra les doubler, les décupler et les doubler encore, sans ralentir la progression constante du bien qu'il peut faire. N'a-t-il pas une famille à enrichir, des misères à soulager, de grandes œuvres à créer ou à faire naître? Il évitera, s'il est sage, de jouer gros jeu, même à des conditions équitables; mais, s'il ne porte pas, si riche qu'il soit, ïooooo'"^ par jour à la roulette, la crainte de la perte l'arrêtera beaucoup plus que le mépris du gain.
6S CAI.Cl'I. DKS l'UOIl.VlUl.lTKS.
CHAl'lTRE IV.
THÉOIIÈME DE JACQUES BEUNOULU.
Iluc iRiliir rsl illud prolilcma. qiiod rviiU'andum hue loco iiro|ii)siii. |i(i<ii|iiaiii jani ppr viccnniuiii prcssi, cl cujus liKii nuvilas, tiiui suriiiiia ulilila^ cuiii pari ciinjuncta (lillicullate uniniljiis rrliiiuis liujus ducdiiiii; capilibus pundus cl preliuui superaddcrc polcst.
Jai;û1IIS liCR^OlLLI.
53. Régularité observée des résultais du hasard. — ôi. Probabilité des épreuves répétées. — 55. Événements dont la probabilité est maximum. — 50. Valeur approchée du produit i.2.3...«. — 57. Probabilité maxima dans une série d'épreuves. — 58. Probabilité d'un événement peu diiïérent du plus probable. — 59. Fiction d'un écart représenté par une variable continue. — GO. Première vérification. — Gl. Seconde vérification. — 62. Calcul exact de la valeur probable du carré de l'écart; elle ne diflére pas de la valeur approchée. — G3. Troisième vérification. — 64. Calcul exact de la valeur probable de l'écart, elle n'est pas égale à la valeur approchée. — 65. La probabilité pour que l'écart soit inférieur à une limite donnée est donnée par une intégrale que l'on a réduite en Table. — GG. La probabilité d'un écart absolu inférieur à une limite fixe tend vers zéro; quand le nombre des épreuves augmente, c'est l'écart relatif qui tend vers zéro. — G7. La probabilité d'un écart a, sur ;x épreuves, dépend
de — ^ : exemples numéri(iues. — 68. Ecart probable et écart moyen; leur
rapport. — 69. Heprésentatiun du nomlne probable d'arrivées en introduisant un facteur dont la valeur détermine la confiance méritée par la formule. --
70. Ce qu'on doit entendre par jouer plus ou moins gros jeu, expression de laquelle dépendent les chances de perte sur un grand nombre de parties. —
71. Application du théorème de Bernoulli aux chances électorales. — 72. Différences entre les conditions réelles et les données du problème précédent. - 73. Le théorème de liernoulli suppose la probabilité d'un événement invariable, il suppose aussi que cette probabilité ait une valeur objective; remarques sur cette question. — 7'i. E\oiii|)!(' d'une série d'épreuves faites avec probabilité variable.
53. Le hasard corrige le hasard. Une vague expérience révèle la justesse de celle maxime ù ceux mêmes qui en ignorcnl
CHAP. IV. — TIirORKMi: DE JACQUES nEn>Ol I.I.I . f)()
la rigueur. Le mot li^ucitf n'est pas exagrri'. Les résultats de lacliou libre du hasard sont prédits avec certitude, sans gêner en rien ses caprices.
La certitude n'est pas celle d'un théorème de Géométrie. Il fiiiit raceepler dans le sens qu'indique Jacques BernouUi, vérilahle inventeur (h; l'un des plus admirables résultats de la Science mathémati(|ue : Jii iisii vitœ cniti uhi moraliler certum pro (ibsolute cerlo habclitr.
Vous sortez sans abri par un violent orage, vous serez mouillé, cela est certain.
La certitude du théorème de Bernoulli est de même sorte. La ressemblance va à l'identité. La même objection peut s'appliquer avec autant, osons dire avec aussi peu de raison dans les deux cas.
La pluie, dites-vous, me mouillera, qu'en savez-vous? Chaque i,'^outte est dirigée par le hasard, aucune n'a de destination; rien ne prouvant pour aucune d'entre elles qu'elle ira s'abattre sur le promeneur, de quel droit affirmer de l'ensemble ce qui est incertain pour chacune?
Sans que l'assertion soit certaine à la manière du carré de 1 hypoténuse, on peut la produire avec entière confiance. Il y a plus : si deux promeneurs sortent ensemble et marchent sans se quitter sous la même pluie, non seulement ils seront mouillés tous deux, mais ils le seront également. Si l'un d'eux accusait le hasard de lui avoir donné la plus grosse part, il ne rencontrerait pas plus de créance que s'il affirmait n'avoir rien reçu.
Les événements fortuits ressemblent aux gouttes de pluie. Pourvu qu'ils soient assez nombreux, le hasard les distribue équitablcment entre tous les cas possibles, sans en favoriser aucun. Tel est le théorème que nous allons démontrer avec précision et dont l'importance même justifiera plusieurs démonstrations.
La première repose sur plusieurs propositions, dont chacune par elle-même est de grande importance.
o4. Proulème XLA il — La probabililr d'un évânemcnl cslp, celle de Vé^'énenient contraire est q\ on fait 'x épreuves dans
-o CALCUL PKs riîonvnii.iTiî:s.
ics mc/ncs concilions. Quelle es/ /</ prohahililé pour ijue le premier é\'éneniefif se présente iï fois, le second a — n fois?
Si l'ordre dans loqiiel les événeinenls doivent se succéder élail assigné, la probabilité demandée serait (i2t) le produit de n facteurs égaux à p et de tJi — n égaux à q
(l) />"(jV--".
L'ordre restant indélerniiné, révciicniont peut être décomposé
en autant d'autres, de jirobabililés égales, qu'il v a de comljiiiai-
sons possibles de tji. objets dont n sont égaux à A et [jl — n à H.
Ce nombre est
I . 2 . 3 . . . ;ji 1 . 2 . 3 . . . « , 1 . 2 . 3 . . . [i Il
La probabilité demandée est donc
(9.) ., '••^-^•••'^ pnrjV-n;
