I .i.i. . .rt. 1 .2.i. . . [j. — n

c'est le terme général du développement de (p -f- q}^' Si l'on écrit

(yj -~- q )V- = p\'- -h- ,a/»!J-' q ~ ■ — '- — —p[i---(j-^. . .-h q\';

le premier terme représente la probabilité pour que l'événement dont la probabilité est q ne se présente pas une seule fois; le deuxième, la probabilité pour que cet événement arrive une fois; le troisième, pour qu'il arrive deux fois, etc.

La somme des /c premiers termes est la probabilitc' pour que cet événement, dont la probabilité est q, arrive au plus /. — i fois sur UL épreuves.

La somme de tous les termes est la probabilité pour (pie l'événement arrive au plus 'j. fois, c'est la certitude, et la somme des termes est égale en cflct à l'unité, puiscpic p -\- q =^ i .

oo. PiiOBLÈME XLVll I. — La probabilité cl' un événement est p, celle de Vé^'énenient contraire est q\ on fait '). épreu^^es dans

CHAI». IV. THKORKME DE JACQUES UERNOULLI. 7I

les mêmes conditions. Quelle est, pour chacun des deux événements, le nombre d'arrivées le plus probable?

11 iaul Iroiivrx' jxnir (jiicllc valeur de n, 'j. étant donné, l'expression (•>. )

pli g\l.-n

acquiert la [)lus jurande valeur.

Si l'on range les expressions (2), c'est-à-dire les termes du développement de {p-\-<]y'i suivant l'ordre des valeurs décroissantes de /i, le rapport d'un terme au précédent est

n -i- I <7 '\>.— np'

La valeur cherchée de n doit rendre ce rapport plus grand que l'unité, elle rapport suivant, obtenu en changeant n en n — i , doit être plus petit que l'unité.

Nous avons donc, pour déterminer /?.

tx-«-

[xp - np,

nq <

: [ip — np -

et, à cause de /? -t- 7 = i ,

Le nombre entier n est compris, d'après ces foi'raules, entre deux limites dont la diflérence p -^ q est égale à l'unité.

Il est donc déterminé.

On peut dire, en négligeant la fraction, que ^p est le nombre le plus probable d'arrivées pour l'événement dont la probabilité est/?; le nombre d'arrivées le plus probable pour l'événement dont la probabilité est ^ est ij. — v./> = u.'/.

^2 CALCUL DKS I'UOHMHLITKS.

La combinaison donl la probahililc osl la plus grande csl donc celle dans laquelle les événcnicnls se produisent en nombre propoiiionncl à leurs probabilités.

o(). Pour rendre possible l'application des expressions liouvées pour la probabilih'. il faut Iranslormer les pioiluils «piiv figurent. Le nombre des fadeurs, quaiid les ('|)reu\es sont nombreuses, rendrait les calculs iiilerniinalilcs.

La transformation repose sur la célèbre formule de Stirling