n"c-"^7iFin

la fonction r (//) variera 1res Icnlcnicnt, le rnj){)orL — „- — - — se réduisant à runilé (juaiul on néglige—;;-

On pourrait conllnuer le même mode d'approximation pour chercher \a valeur approchée de F(/0' comme nous avons cherché celles de c5(/?) et de '^{n); mais il est permis de s'arrêter,

1 ' > 1 w 1 • 1 I F(n -hï)

parce que, d après l évaluation obtenue pour le rapport — rr^ — r— ?

on peut démontrer (|ue F(/?) tend vers une valeur constante par laquelle on peut dès lors le remplacer si /i est très grand.

— V: se réduisant a 1 unité quand on néglige -., > on peut

poser

F(n-hi) ^^^^^ ¥{n) '^ n^ '

"ki ne grandissant pas indéfiniment avec n, nous en déduirons, en changeant la valeur de /?,

F(rt^2) X,

F(/i-Hi) {n-^\y^

F ( « -f- 2 ) ~ ( rt -f- 2)"^ '

F ( n^p ) ^ ^ Ip

A,,Â2, ...,/.p n'augmentant pas sans limite avec y;. En inullipjiant les équations précédentes, on a

le second membre, et par conséquent le premier qui lui est égal, tend vers l'unité lorsque, n étant de plus en plus grand, on donne à p une valeur quelconque, grande ou petite. On a, en cllet,

CH.VP. IV. — TIIKORKME T>E JACQUES DKIIAOL I.I.1 . 7)

0 tendant vers zéro lorscjnc n augmciilc. Le loj^aiilliiiH; du second membre de (.'5) est

et, à eause de ( /j),

Celte expression Icnd vers zéro quand n augmente, ])arce que la

série dont le terme tréuéral est —. est convcrjientc ; la somme des

termes qui, dans celle série, suivent -^ est donc très petite, cjuel-

quc loin (ju'on la prolonge, et elle reste très petile quand les termes sont multipliés par des facteurs qui ne grandissent pas sans limite.

Nous pouvons donc poser, en nommant G la limite conslantr vers laquelle tend F(/?),

Le théorème, sous cette forme, était connu de Moivre; Stirling a trouvé la valeur de la constante.

On a, d'après un théorème célèbre de Wallis,

TT 2 9-4 4 2« in

que l'on peut écrire

2 ~ (l.2.3...2n)2(2rt-Hl)

Si, dans cette formule, nous remplaçons i .2.3... /? et i .?..3... 2// par leurs valeurs déduites du théorème de INJoivre,

1 .2.3. . . K = Ge-« ii"\/ n, 1.2.3. . . 2/i = G e--"(2rt)-" i^'Mi, elle devient

-6 i.AlA.ll. 1)1 > l'UOIlMHI.ITI^.S.

Cl, lors(|iie // dovicMil inliiii,

Nous pouvons t'crirc enfin

Pour éprouver rexacliuule de eelle lorinule, vérilaljlciiicMl indispensable dans les calculs de probabilités, faisons /> = 20; nous trouverons

1 .2.3 .4 .iï. . . 20 — 2432()020o8l76r)4oOOO, f-20 2o2"y/4o~ = 2422786385 ÎJO'iOOOOO.

Le rapport de ces deux nombres est 1,00^1-.

57. Les probabilités de deux événements contraires étant /> et q, la combinaison la plus probable, sur 'x ('preuves, est celle dans laquelle le nombre d'arrivées du premier événement est <j.p et celle du second arj.

Cette probabilité maxima est

( () 1 '-- pVP (] 'M .

- L'application de la formule de Stirling donne pour valeur approchée

e-^\i.^ \/'i.T.\x pV-P qV-^

e-V-l' ( \Lp )V-P \J-i TT \xp e- P/ ( [Jt </ ) ^'i / 2 TTiJi q

ce qui se réduit, en ayant égard à la condition p -\- q = \ , à (7) ;^^i=-

^iT.\ipq

Cette probabilité, la plus grande de toutes, contient y/ij. en diviseur. Elle tend vers zéro, quand le nombre des épreuves augmente.