V-2-lxpq
La démonstration de cette formule suppose h petit par rapport
-8 CALCUL DF.S 1>R011M!I I. IIKS.
à u.; on l'élend ccpcndauL à loulcs les valeurs de //, sans ([iril
en résulte, lorsque a csl grand, aucune erreur sur les chillVes.
La fonction
<lécroîl, en ellet, lorsque h augmente, avec une telle rapidité que sa valeur numérique n'a plus d'iniluenec sur les cliilïres conservés. I.a prohabililé dans l'expression de laquelle on Pititro- «luil est cllc-iiiriiic d iiiu! extrême petitesse et, (pioirpic la forriiule acce|)lée n'en soit plus la valeur approchée, la substitution de deux i|ii;iiilllés négligeables l'une et l'autre est sans inconvénient.
On éliMul même l'expression a])pro(diée de la probabilili' à des valeurs île // ])our lesquelles cette probabilité n'existe pas; h, en elFet, ne peut être plus grand que jj./;, et on le fait varier sans que cela exerce d'influence sur les chifl'res, entre — x et oc.
59. Par une fiction qui rendra les calculs plus faciles, nous remplacerons le nombre entier h par une variable continue, en assignant à un écart compris entre ^ et ;; -\-dz la probabilité
(10) e~ -\>-i"i dz.
Ce mot t'carl doit être défini. On considère la \alcur 'j.j) du nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est p comme une valeur normale, la plus probable de toutes, et les autres sont définies par leur difTi'rence avec celle-là. Cette diflerence prend le nom à\'ccul.
Si, par exem|jle, on fait loooo épreuves à [)ilc ou face et que pile se pr(''scnle 5oai fois, Vccart sera ^i. Si l'on jette deux dés )Gooo fois et que sonnez se présente 99.5 fois, Vécart sera — ;").
La substitution de la fonction continue (10) à l'expression qui convient aux écarts entiers, les seuls possibles, est comparable ù celle d'une couibc à un [)olvgone.
Supposons, par exemple, \x = 1000, p z= rj = ^.
CHVP. IV. — THKonrMr: df. jvcques bf.rnollli. ~[)
La forimile [ij) devient, pour A =^ \n,
yTi
pour II = 60, pour h = 100,
y looo:
=^rr e--" = 0,00000000002000.
L'influence d'un nombre aussi petit dans les formules est insignifianle; on peut le supprimer s'il existe, l'introduire s il n'existe pas, le remplacer par un autre de même ordre, les chiffres utiles du résultat n'en seront pas modifiés.
60. Quelques épreuves justifieront la confiance accordée à la formule (10).
La probabilité d'une erreur comprise entre z- cl z — i/z étant
il est nécessaire que la somme des probabilités de toutes les erreurs possibles représente la certitude; on doit donc avoir
— =:=:^ / e -:>-f"l dz = l.
Si l'on pose, en clTet,
V 2 \i.pq cette intéirrale devient
— . f\-'-dt,
égale à l'unité en vertu d'un théorème très connu.
L'épreuve réussit mieux qu'on n'était en droit de l'espérer;
8o CALCUL nES rUOU.VBILITÉS.
toute fonnulr approchée doit on oflel laisser craindre une erreur. Le résultai, ici. est rinoureuseiuenl exact.
Cl. Cherchons, d'après la formule (lo), la valeur probable tlii carré de l'écart, c'est-à-dire l'espérance mathéinaticpie de celui qui doit recevoir une somme égale à :;-'. Cette espérance est la somme des produits de chaque valeur de z- par sa probabilité: elle a pour expression, d'après notre formule,
y/a -[J-pq 'J- »
Posons
la formide de\ient
^-l^ipq
^^^ / e-t'l^dl = \xpq.
62. Nous allons chercher directement la valeur exacte de l'espérance mathématique dont la formule (i i) donne la valeur approchée. Posons
{p^q )V-=p\'-^ Aip\>-^q -^ \.2p\>--'-q--^. . .^ k.j^pPV-qlV--^
Les termes de cette formule représentent rigoureusement les probabilités dont (9) donne la valeur approchée. La probabilité qui correspond à un écart II est
où l'on a
L'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à h- est donc (II) ^Liixq — nyAnpV-"q",
la somme S s'étendanl à toutes les valeurs de n.
\nj
CHAT. IV. TMl';()Ui;MF, DE .TACQl.KS BEUNOULLI. 8l
L'expression (i i ) peut s'écrire (ijt) i.ix'^fj-^\„/>\>'"(/" ~ ■j.:i: ix(//i\„ />[>■-" g "-^ y: /r-\,i />[>■-" rj".
On a
"^ \x" (j- .\.„ pV-'" fj" —- l^'-g-,
puisque l'on multiplie j)ar yj-'-q- tous les termes d'une somme égale à l'unité.
L'identité
donne, en égalant les dérivées par rapport à q, préalablement multipliées par <y,
et, en remplaçant [p -\- q) par l'unité dans l'équation précédenlc qui est une identité, on en déduit
i.iizS.np^-" q"' ^ v-q et, par conséquent,
yL'j.q nA.„p\'--''q" — [J-'q''-
L'identité (i3),difrérentiée par rapport à </, donne, en multipliant ensuite les deux membres par q^
[x{ix — i){p~q)\>--^-q'--^[x(p-r-q)\>-iq =^ I. n^ \„pV'" q'^
et, à cause de p -i- q = i ,
^n-X„p\'--"q" = ix([x — i)q'- -r- \xq.
Ces formules réduisent la somme (12) à
^-q- — 'î\x-q'-^ \x{\x — i)^--r- iJ-(7 = ;^'7(i — 'Z) = \^P1-
C'est le résultat obtenu (01). La substitution des valeurs approchées aux valeurs exactes n'a donné aucune erreur.
Il ne peut pas toujours en être ainsi. Faisons une troisième épreuve.
63. Cherchons la valeur probable de l'écart z considéré en gran- B. 6
S-i CALCUL DES PHOBAB1L1TÉS .
dcur absolue; cela est nécessaire, car sans cela les termes négalils ilélruiraicnl les termes positifs cl le résultat serait nul.
La valeur probable de ;, d'après la lormule adoptée pour représenter la probabdilt' d "une erreur c, esl
L'inlt'gration s'étend de o à Tinlini seulement, parce (jue nous ne considérons pas les valeurs négatives, dont on lient eomple cependanl en inlroduisanl le niulli[)li(aleur a.
Posons
^■i [xpq L'intécrale devient
a y/a \xpq ^ ^,, ^ ^^^ ^ /^ 'j.pq .
telle est l'expression approchée de la valeur probabb^ de -:.
(ji. Calculons exactement la valeur probable de l'écart.
La probabilité d'un écart égal à ;: est le terme du développement de (/> — rjy- dans lequel l'exposant de y> est '^j> + ; et celui de 7, {J-rj — z.
Il faut multiplier ce terme
par ^, afin de former l'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à z. On a, à cause <\c p -\- q ■= i ,
|i.y> -r ^ et <^i.q ~ z sont les exposants de p et de q dans le terme de { p -h q^. Or, multiplier un terme
par
ciiAi'. n. — Tni':oiikMK de jacquks ukunoulli. 8.)
c'est prendre la dérivée par rapport ày>, en retrancher la dérivée par rapport à q et niulliplier la dillerence \^^v pq.
Nous devons donc prendre les termes de développement de i^p -4- q'Y' pour lesquels ;; est positif, c'est-à-dire
a ( a — I ) „ „ 1 . 9. . 3 . . . !JL
et retranclicr la dc'-rivéc par rapport à ^ de la dérivée par rapport à y?, pour multiplier ensuite le résidtat par pq.
Les termes, on le voit aisément, se détruisent deux à deux.: la dérivée par rapport à q du second est égale à la dérivée du premier par rapport à y^ ; la dérivée du troisième par rapport à q est la dérivée du second par rapport à/>, et ainsi de suite; il ne reste que la dérivée du dernier par rapport -a p.
