Le ili('orème précédent a de nombreuses aj)plications

Pierre joue à un jeu de liasard. S'il gagne, il recevra une somme b, enjeu de son adversaire; s'il perd, il donnera une somme a. La probabilité de gagner est/>, celle de perdre esl rj. Le gain probable à chaque partie est

pb — qa = G.

La valeur probable du carré du gain est

/)62-(- q( — ay- — pb'^-^ qa''-= II.

Si donc, après \i. parties, on nomme X le gain, j^ositif ou négatif, résultant de ces ji. parties, la valeur probable de

(4) est

H — 02 ph"- — qa'^ — {ph — qay^ (a -h b f-

En multipliant l'expression (4) pai' y-", la valeur probable sera

multipliée par ijl-, et

[J.pq(a -\- b)-

est, par conséquent, la valeur |)robable de

[\-r^x{pb-qa)]\

ciivi'. \. — i>i;mo-\.stiivtio>.s in Tiir.nui.Mi; di; lii uNtii li.i. ()<) Si loii représente ce carré (.')) par ô-, on anra ((■)) Xz=<x(/)b — rj(i\ II.

Le f;ain \ laiLsiir 'x parties à un jeu (pielcun(jiic est donc représenté par la somme de deux termes : l'un, complètement connu, projtortionnel au nombre des parties jouées ; l'autre î, qui dépend du hasard et dont le siyne même est inconnu.

Un tel énoncé, si l'on n'ajoutait rien, serait insignilianl. Ignorer dans une somme la valeur et le signe de l'un des termes, c'est ne rien savoir sur la somme. Mais, sans connaître s, nous avons sur lui \\\\ renseignement. La valeur probable de z- est \x{^a-\- by-prj, elle est proportionnelle à |J(. \ celle de s est donc de l'ordre de y/ pi et le second terme de (6) deviendra de plus en plus petit par rapport au premier lorsque ui croîtra sans limite.

Nous comparons, il est vrai, la valeur certaine du premier terme à la valeur probable du second. Nos conclusions peuvent être en défaut, mais, lorsque [j. augmente, la probabilité pour qu'il en soit ainsi tend vers zéro. Il faudrait que le hasard rendit s- infiniment grand par rapport à sa valeur probable.

Si Ts désigne la probabilité d "une valeur supérieure à a, il en résulte dans la valeur probable de cette grandeur essentiellement positive un terme cja-, qui deviendrait à lui seul plus grand que la somme dont il fait partie, si, lorsrpie a augmente, ttj ne devenait pas très petit.

En réduisant l'évaluation du gain fait en 'x parties au premier terme

(7) ^^ = l^ipf^ ~ 7^ ')

on pourra affirmer avec une certitude croissante que Terreur relative tend vers zéro lorsque iji. augmente sans limite.