Le cas où le jeu est équitable doit être traité à part
On a alors
pb — qa = o,
et le théorème est en défaut.
ion CALCUL DES mOUAHILlTES.
Lf |>i'emior tenue de la valeur {h) île X élaul uni, le i;aiu fait en 'JL parties se réduit à
\ ^ rt 6.
On ne peut rien affirmer >ur son signe. Quelque grand que soit •j.. Pierre, à un jeu équitable, jieut |)erdrcûu gagner. La valeur probable du CdiTC (lu gain positif ou négatif est j)roporlionnelle au nombre des parties. On p<Mil clone tenir pour certain (pi'après
un ffrand nombre de iiarlies la valeur moyenne — du qain fait
à chaque partie par celui des joueurs que le hasard a favorisé sera
très petite. La vah partie, est eu elTet
très petite. La valeur probable de ^> carré du gain moNcn par
\xpq(a -I- ^)- pqja -!- 6)*
elle tend vers zéro quand v. augmente.
79. Le théorème démontré (77) peut s'appliquer aux épreuves successives entre deux événements contraires.
Soient/) et q les deux probabilités. Leur somme est égale à l'unité; une série de ]x épreuves amenant dans un ordre réglé par le hasard, l'un ou l'autre de ces deux événements peut donner lieu à un jeu équitable. Pierre gagnera la partie si l'événement dont la probabilité est p se présente; sa mise sera égale à />, celle de l'adversaire égale à q.
On aura, en adoptant les notations du théorème (77),
G — pq -t- 7( — /> » — o,
H ^^ pq'-~qp'-^pq.
Si, sur ;j. parties, Pierre en gagne ni et en perd u — /;/, son
gain sera
inq — ( ;ji — m)p — m — ;i/->.
La valeur- ])robabIe de , , /m — ao\2 /m \2
CHAP. V. — DÎIMOKSTUATIOPJS DU TUKOUKMK DE liKUiNOL'l.l.l . lOI
est tlonc (7G;
elle tend vers zéro lorsque a augnienle. On peut donc arfirnicr avec une certitude croissante (|uc la dilTérence entre le ra))[)ort
— et la probabilité^) tend vers zéro lorscpie le nombre des épreuves
augmente. C'est le théorème de BernouUi.
La valeur probable de l'expression (8) a été obtenue d(''jà sous une autre forme.
La \aleur probable (62) du carré de l'écart sur jji épreuves est ,u/?<y.
Cet écart est la diflerence m — a/?. La valeur probable de (m ^ Y-Pf étant ^pq-, celle de
est^.
C'est le même théorème.
80. Nous donnerons du théorème de Bernouili une démonstration plus simple encore que la précédente.
Supposons deux événements contraires ayant pour probabilités p et q. Sur|j(. épreuves faites entre eux, les nombres d'arrivées les plus probables sont ]i.p et <^q\ nommons écart la différence entre le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabilité est/? et le nombre le plus probable 'xp.
On promet à Pierre une somme égale à la valeur absolue de l'écart, et non plus à son carré comme on l'a supposé dans la démonstration précédente. Sans calculer l'espérance mathématique de Pierre, nous allons démontrer que, le nombre a des ('preuves grandissant indéfiniment, cette espérance est très petite par rapport à [JL.
Désignons par cp([J^) l'espérance mathématique de l'ierre.
Si l'on double le nombre des épreuves, w(|x) deviendra csi au), très différent de 2'j([ji).
Partageons, en effet, les au épreuves en deux séries de u.
U)>. CA1.CI'L I)I.S l>UOBAltlLITf:s.
LV'carl peut, dans les doux st'ries, avoir le mcinc signo ou des signes dlflérenls. Dans le premier cas, Trcart total est la somme des deux écarts partiels ; dans le second, il csi leur dilTcrencc L'espérance niatlirniatiqiic, >i Ion sail (|uc le premier cas se produit, est 2.'.^(<^): dans le second, elle est évidemment plus petite. Désignons-la par 9.y.'^{'x). a étant jdus petit cpic 1 unité.
Soient y), la jirobabilité pour que, sur [j. épreuves, l'écart soit positif, (ji pour (pi'd soil négatif; la probabilité jxHir <pit\ dans les deux séries de a épreuves, les deux signes de l'écart soient semblables est y>'- -f- fj] ; poui- qu'ils soient (lifTérents, elle est ■>./>i//(. On en conclut
o(-^.ii) == 2(/)f — 7i Vj;Cu)-H4/'i<7iacp([ji). (3n a
par conséquent
12(2 [j.) est donc plus petit que •.>'i(a). J^a somme
ne pourrait tendre vers 1 unité lorsque |J(. augmente que dans deux cas : ou bien lune des prol)abilités /), ou y, tend vers zéro, ou bien a tend lui-même vers l'unité.
La première hypothèse est impossible. Si, en cfTcl,/;, tend vers zéro, il en résulterait que, sur un nombre d'épreuves indéfiniment croissant, on pourrait regarder comme certain que l'écart sera d'un certain signe. En jouant alors au jeu équitable, défini (79), l'un des joueurs, après un grand nombre de parties, serait certain de gagner.
La seconde hypothèse est également inadmissible.
L'espérance mathématique de celui qui attend la diflercnce de deux écarts ne peut être la même que s'il attend leur somme.
Nous pouvons donc écrire
("1, étant jjlus petit que l'unité et ne s'en approchant pas indéfiniment.
CH.\P. V. — DKMONSTU\TIONS DU TIIKOUICMI". IIF. DKUNOULLI . I()>
On en conclu l
'i( i JX) = 2 G, '^(■J.IJ.),
cp( 8[jl) = 2G3 '^( i;jL),
«-•l, en multipliant CCS c'(|ualions,
o{-i"lx) = 2«GiG.,...G„<i(ijL).
(.)n en conclut
= Ui Uo. . .U„ •
Les facteurs Gi, Go, . • ., G„ étant pins petits que Tunilé et ne tendant pas vers l'unité, leur produit tend vers zéro. En posant 2" a = z, on a, lorsque :; grandit sans limite,
lim -: = o.
L'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à l'écart absolu sur z épreuves est donc très petite par rapport au nombre des épreuves, et l'on peut regarder, par conséquent, comme certain qu'après un nombre indéfiniment croissant d'épreuves 1 écart est infiniment petit par rapport au nombre des épreuves.
loi CALCUL nrs rnouvniLiTÉs.
