CII.VP. VI. — LA ULIM-: nP.S JOLKl'RS

nciiicnl qui sciiihlc fuiL siia|jlc. — 110. Cas où Pierre cl Paul possikienl cliacun a''. — 111. Cas où ils possèdent 3''. — 112. Cas général. — 113. Examen d'une combinaison proposée pour accroître les chances de gain.

<S|. I.c jeu ruine ceux qui s'n livrent. Il nV a exception que pour le? joueurs auxquels les conditions acceptées accordent un avantage.

Le fermier des jeux à Monte-Carlo peut accroître sans crainte le nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.

Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine.

La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le jeu enrichit l'autre; en s'exposant à perdre une fortune, on a l'espoir de la doubler.

Cela n'est pas douteux; mais, quand la fortune est doublée, le théorème s'y applique avec la même certitude : elle peut doubler encore, centupler peut-être, tout sera emporté à la fois par un caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait; la probabilité augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude. C'est cette progression extrêmement lente, il faut le déclarer tout d'abord, à l'étude de laquelle est consacré ce Chapitre.

^"2. Lorsque deux joueurs luttent constamment l'un contre l'autre, quelles que soient leurs fortunes et les conditions, équitables ou non, du jeu qu'ils renouvellent sans cesse, l'un des deux finira par ruiner l'autre ; la probabilité pour qu'ils puissent faire un nombre donné de parties tend vers zéro quand ce nombre augmente.

Lorsque deux joueurs, en elTet, font un grand nombre de parties, la probabilité de la répartition la plus probable entre les parties gagnées et perdues par l'un d'eux tend vers zéro quand le nombre des parties augmente. Elle est (o7) inversement proportionnelle à la racine carrée du nombre des parties.

Si la probabilité de la combinaison la plus probable tend vers zéro, il en est de même, à plus forte raison, de toute autre combinaison désignée et, par conséquent, aussi d'un ensemble de combinaisons quel qu'il soit, dont le nombre ne croîtrait pas indéliniment avec le nombre des parties.

n»() CAI.CLI. nr.s ri'.nii\i!ii.iTi:s.

(^uollos ijiiesoicnl les mises des deux joiicurs, on jieul assigner une réparlilion des pertes cl des gains, telle <|ii(' la compensation soit parfaite et cpie cliacine joueur, à la fin, se retrouve avec sa fortune primitive. Si, prenant pour point de déjiart ce mode de répartition, on accroît le nombre des parties gagnées par l'un des joueurs, le gain sera ]H)ur lui, pour chaque partie gagnée de plus, et par conséquent pour ehaf|ue partie perdue de mnms, ('-gai à la somme des deux mises, et tout écart de cette répartition (jui équilibre les pertes et les gains ruinera l'un ou Tautre joueur, si, nuilti|)lié j>ar la somme des mises, il donne un produit plus grand que la fortune tlu j)lus riche.

En eaiactérisant les combinaisons par le nombre total des parties gagnées par l'un des joueurs, le nombre de celles qui, ne ruinant aucun des deux joueurs, permettent la continuation du jeu est donc indépendant du nombre des parties jouées, et la probabilité pour que l'une ou l'autre de ces combinaisons se produise tend vers zéro quand le nombre des parties augmente.

83. Supposons, par exemple, que Ton joue à pile ou face, l'enjeu étant i**" la partie. Si le nombre des arrivées de pile est égal à celui des ari'ivées de face, il n'v aura ni perle ni gain.

Cherchons combien il faut faire de parties pour que la probabilité dune perte de looooo'' pour l'un des joueurs soit égale à 0,999.

Pour que, en jouant i'^' la partie, l'un des joueurs perde 100 ooo*^', il faut que l'écart, dans un sens ou dans l'autre, soit plus grand que 5o 000.

On entend par ccait, il n'est pas inutile peut-être de le rappeler, la dinérence entre le nombre des parties gagnées et le nombre relatif à la combinaison qui rend les pertes nulles. Celle combinaison correspond, dans le cas actuel, à l'égalité des pertes et des gains.

Si jj. est le nombre des parties jouées, la probabilité de la combinaison la plus probable est (57)

CHAI'. VI. — J-A KUIMC DKS JOURUHS. IO7

Cl, dans le cas aclucl, |^iiis(iiic /> cl y sont ri^auv à ~,

La prohabililé pour (juc le hasard amène une des looooo combinaisons pour lesquelles la perle est inférieure à looooo''' est plus pelile cpie

Si donc on a

la probabililé d'une perle moindre que 100000*^' sera j)lus pelile que j-jjYj et, par conséquent, celle d'une perle plus jurande surpassera 0,999.

L'inégalité (1) donne

7 millions de milliards de parlies suffiraient pour donner la probabilité demandée.

Si deux joueurs pouvaient faire ce nombre immense de parties, il y aurait pour chacun d'eux probabilité presque égale à i de perdre plus de 100 ooo*^"" et probabililé égale de les gagner.

Celle évaluation numérique pourra rassurer ceux que la certitude de ruine effrayerait plus qu'il ne faut.

La probabilité d'un écart reste la même (08), lorsque l'écart diminue ou augmente j)roporlionnellement à la racine carrée du nombre des parties. Si l'on divise le nombre des parties par i million, en les réduisant à - milliards, la somme dont la perte par l'un des joueurs aura 999 chances sur 1000 sera réduite à 100''.

La méthode précédenle ne donne qu'une limile. Le calcul exact est facile.

La probabililc pour qu'en jouant à un jeu équilablc, les mises étant a et b et les probabilités de p^agner à chaque partie /> et q, la somme perdue ou gagnée soit inférieure à une limite S a été donnée (72); elle est

en la retranchant de l'unité, on aura la probabilité pour que la perte de l'un des joueurs soit plus grande que S. On trouve dans la Table

6( ccK)") — o, lo.

Si l'on pose

on en déduira le nombre a des parties nécessaires pour que la probabilité d'une perte supérieure à S soit égale à -j^. Soient

on trouvera

TooooS- „ ,^,

Si l'on suppose S = 100 000, on aura

|JL = 624 000 millions.

En prenant S = 100, on a

Il laut faire Gi4 000 parties à i'"" pour que la probabilité de perdre ou de gagner 100'^'' soit égale à ,^.

8i. Les chillrcs précédents, donnés sans commentaire, feraient naître une idée très fausse sur les chances de ruine.

Nous supposons le nombre des parties convenu à l'avance. On

ciiAi'. VI. - - L.v nurNK DFS JOL'Euns. 109

réglera à l;i lin : telle a été notre hypothèse. La chance de perte n'a rien alors de bien cfTravant, il y a une chance sur dix pour (ju'après 61 \ 000 parties jouées tout se réduise à une perte inférieure à 1 oo'''.

La ciiance de ruine (pie nous voulons étudier est bien difT*'rente. On doit à cha(pie partie déposer la mise; si donc, à un certain moment, la perte du joueur dépasse sa fortune, il ne sera pas admis à continuer et perdra toute chance de se relever. La probabilité cpril faut connaître n'est pas celle de la perte finale, mais celle de la perte maximum à l'un des instants de la série de parties.

85. Le problème [)eut être posé de deux manières. On peut considérer deux joueurs jouant l'un contre laulre à des conditions données, et chercher les chances de ruine pour chacun d'eux et les probabilités relatives à la durée du jeu, c'est-à-dire au nombre des parties jouées avant la ruine de l'un d'eux. On peut, et c'est une élude très difierente, étudier le sort du premier joueur sans se préoccuper du second, supposer cpi'il change d'adversaire, qu'il en trouve toujours un disposé à jouer aux mêmes conditions; ou, ce qui revient au même, que celui contre lequel il entreprend la lutte ait une fortune infinie.

Dans le premier cas, nous l'avons vu (8!2), le jeu doit finir tôt ou tard par la ruine 5e l'un des joueurs. La probabilité pour que le nombre des parties nécessaires atteigne une limite donnée lend vers zéro quand cette limite augmente.

Dans le second cas, quand un seul des deux joueurs peut être ruiné, la ruine est également certaine si le jeu est équitable; la probabilité pour que le nombre des parties dépasse toute limite est infiniment petite.

On peut le démontrer sans calcul. Supposons que Pierre possède m francs et qu'il ait résolu de risquer une même somme à un jeu équitable, tant qu'il pouna déposer sa mise.

Nous pouvons supposer qu'une première lutte s'établisse entre Pierre et un adversaire de fortune égale. Le jeu est équitable.

iio CALciL nrs rnoBUiiLiTÉs.

Pierre a cliancc ^ de sortir v;mi(|iu'iii- île celte Iiittt^ : il |)Osst'dera alors iin francs. Sii|)|»osons-liii alors un sccoml adversaire possédaul comme lui j.in francs, Pierre a cliancc ^ d'èlro ruiné par lui, mais chance | aussi de le ruiner cl de posséder j ni francs.

Pierre luttera alors contre un adversaire possédant f\ni francs, et il aura chance -', en le ruinant, d'en posséder %in. La série est indéfinie. On voit que, pour échaj)pcr à toutes les chances de ruine, Pierre devrait avoir autant de bonheur que si, jouant sans cesse à pile ou face, il ne perdait jamais une seule partie. Une telle persistance doit être évidemment considérée comme impossible et Pierre, tôt ou tard, se ruinera.

L'assimilation avec le jeu de pile ou face est évidente. Pour en efï'acer toute dlfTérence, il faut supposer aux parties tle pile ou face des durées croissantes. Si l'une d'elles ne finissait pas, la démonstration perdrait toute sa force. Un tel hasard (82) doit être tenu pour impossible.

86. La démonstration précédente, en montrant la ruine du joueur inévitable, n'apprend rien sur les probabilités relatives au nombre départies qui doivent l'amener. Nous pouvons, dès à présent, démontrer que la valeur probable de ce nombre de parties est infinie. La contradiction semble choquante.

La ruine est certaine, dit-on, et la valeur probable du nombre des parties qui la procurent est infinie. Si le nombre des parties est infini on ne pourra pas les jouer, la ruine ne s'accomplira pas : elle n'est donc pas certaine.

La ruine est certaine. Il ne faut pas confondre le nombre des parties qui, vraisemblablement, seront jouées avec le nondirc probable des parties; il faut surtout ne pas oublier ce que nous entendons par certitude. Quand on dit la ruine est certaine, tôt ou tard, on n'entend pas affirmer qu'après un nombre de parties, si grand qu'il soit, la ruine est assurée comme un théorème de Géométrie. S'il en était ainsi, le nombre probable des parties ne pourrait pas, évidemment, surpasser et serait certainement très loin d'égaler celte limite infranchissable.

CIIM'. VI. — LA nuiNF, nF.S JOLI.UIIS. III

La ruine est certaine, cela vciil dire : la [(rohahililc pour que le nomijre des parties qui s'accompliront surpasse une limite donnée tend vers zéro quand cette limite augmente.

La valeur probable du nombre de parties est infinie, cela veut diie : Icspérance mathématique de celui ([ui doit recevoir autant de francs qu'on jouera de parties est infinie.

Les propositions ainsi comprises ne sont nullement contradictoires.

Supposons que Pierre, se mettant au jeu avec i'' seulement, c'est le cas le plus défavorable, soit décidé à jouer, sans interruption, jusqu'à ce que ce franc soit perdu. La probabilité pour qu'il le perde, lût ou lard, est une certitude; mais, quelle que soit la limite qu'on voudra assigner, il y a possibilité pour que le nombre des parties jouées la surpasse. La probabilité pour (|u"il en soil ainsi tend vers zéro quand la limite augmente. En disant que le nombre des parties ne peut pas être infini, on ne veut pas dire autre chose.

Si l'on promet à Paul i'' par partie que jouera Pierre avant d'avoir perdu le franc qu'il possède en entrant au jeu, l'espérance mathématique de Paul est, par définition, le nombre probable des parties. Il faudra, pour la calculer, multiplier chaque nombre possible par la probabilité correspondante. Or les nombres possibles vont à l'infini : il n'y a rien de contradictoire à annoncer qu'en les multipliant par des probabilités de plus en plus petites qui, suivant notre façon de parler, expriment des impossibilités, la somme des produits augmente sans limite.

Le résultat est analogue au paradoxe de Saint-Pétersbourg, dans lequel nous avons rencontré déjà une espérance mathématique rendue infinie par l'énormité des sommes dont la probabilité paraissait assez petite pour qu'on n'y attachât aucun prix.

87. Démontrons que la durée probable du jeu est infinie pour un joueur qui change d'adversaire et veut risquer la même mise, à un jeu équitable, tant qu'il aura possibilité de la mettre au jeu.

Considérons d'abord deux joueurs, Pierre et Paul, possédant

Il "2 CALCUL DES PnOBAIlILITf.S.

chacun 2/?* iVanos. Ils liitlcnl à un jeu équilal)l(> jiis(]irà la ruine de l'un (J'oiix. Soil '^(9.///) le nombre probable des parties (piils joucronl, '■^{fn) di'-signant, par la même nolalion, le nombre probable des parties quand les deux joueurs possèdent chacun ;?i francs. La lulle entre Pierre el i\iul pouiia, sans cpie rien soit changé aux chances de chacun, commencer par deux é|)rcuves distinctes. Paul, dans une première série de parties, risquera m francs contre ni francs de Pierre, et dans une seconde série il exposera la secontle moitié de son avoir contre la seconde moitié de celui de Pierre.

Deux cas pourront se jirésenter : ou les deux luttes, (juand elles seront terminées, auront le même vainqueur, qui aura ruiné son adversaire: ou chacun "airnera Tune des deux séries, et les joueurs se retrou\eront dans la situation primili\e, j)Ossédanl chacun om francs.

On en conclut

( 2 ) ç ( 2 /n ) = 2 o ( /« ) -i o{-iin).

Le nombre des parties se compose, en effet, des noml)res de parties faites dans les deux séries, el dont chacune a pour valeur probable '■^(//î), et de plus, éventuellement, du nombre de celles qu'il faudra faire encore si, à la suite des deux séries, on se retrouve dans la situation primitive, ce dont la probabilité est {.

L'équation (2) donne

Supposons maintenant que Pierre, possédant m francs, ait résolu de jouer sans limite contre tout adversaire qui se présentera. On peut régler son jeu de la manière suivante : il luttera d'abord contre un premier adversaire possédant comme lui m francs. S'il le ruine, il possédera im francs^ ou lui opposera un second adversaire de fortune égale. S'il ruine le second, il possédera ^rn francs et pourra lutter, à chances égales, contre un adversaire a\aul comme lui \ ni francs. Le jeu e<jnlinucra jusqu'à la

CMAP. VI. — I.A HL1M-: DKS JOUKL'RS. Il3

rencontre (riin ;i(lvcr.sairc (|ui, à ce jcti Inujonrs (-gnl, réussira à le ruiner.

On Miil loul d'abord, comme on l'a remar«|ii('' dt'-jà (S,'i), (lue la ruine de Pierre est certaine; il ne pourrait l'exiler (|u'en <'lant toujours favorisé par le hasard ilans une série inih'dnie d'épreuves pour chacune desquelles la prohabilité est 4-

Le nombre probable des parties est, d'après l'analj'sc précédente,

(4) 'f("0-^ - -f^'.m)-^ y o(4,„)H- i o(Hm)--....

Pierre, en effet, est certain de jouer la première série, pour laquelle le nombre probable des parties Q,slz.[ni): il a probabilité ^ déjouer le seconde : il suffit pour cela qu'il sorl(; vaijnjueur de la première; il a probabilité { déjouer la troisième, car il suffit qu'il gagne les deux premières, etc. En ayant égard à la relation (3), la somme ( f ) devient

elle est inlinie quel que soit '^(in).

89. Les chances de ruine d'un joueur, à un jeu ('quitable, se calculent aisément lorsque, le nombre des parties étant fixé à Pavanée, on doit les faire, quoi qu'il arrive, et régler les comptes à la fin.

p et q désignant les probabilités de perte et de gain à chacune des u parties, la probabilité pour que le nombre des parties perdues surpasse \^q -\- fi, c'est-à-dire pour que la perte surpasse le |)roduit de h par la somme des mises, est

(5) — / e" ■^?-i"l dz.

Si l'on pose elle devient

- / c-''-dt — -- / e-i'dt

1 1 ■( CALCVL DES PUOH VHILITÉS.

I.c proniier ternie csl égal à 4i lo second tend vers zéro (|ii;in(l •j. augmente.

La probabilité pour (juun joueur, après un nombre eroissanl de jiarties, fiisse un gain supérieur à une soninie donnée, tend vers ^7, (pielle cpie soit eetle sonune, (piand le nouibrt' des parties augmente sans limite.

La probabilité pour qu'il soit en perle d'une somme égale tend aussi vers ^, et la probabilité pour que la perte ou le gain restent, poui' un nombre croissant de parties, inférieurs à un nondirc donné tend vers zéro, quel que soil ce nombre. Le jeu, on ne doit pas l'oublier, est supposé équitable.

ItO. La probabilité dune perte donnée pour un nombre donné de parties diminue rajudcment ([uand la perte assignée est grande.

Supposons c|ue Ton joue 1000 parties, p et q étant l'un el l'autre égaux à -,. La probabilité pour l'un des joueurs de perdre un nombre de parties supérieur à 5oo-|-/<, par conséquent d'être en |)erte de •>.mh^ m étant la mise, est

--— e-'dt.

Le Tableau suivant donne la probabilité pour que le joueur qui possède 2/1 francs soit ruiné en jouant mille parties.

imit

e-t'dt.

4 0,400 II o,.>.4i 1'"^ 0,129

5 0,377 '- 0,22 ) il) 0,1 15

(i 0,3 jj 1:; o,2oG 20 0,10 5

7 o,33o IJ 0,188 21 o,ocj3

ciiAi'. VI. — LA nuiKE nrs jouEuns. i i ;>

23 OjOj'î 33 0,019 *■» o,oo4

2i o,o(35 3i 0,016 ii o,oo3