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Le Tableau siii\aiil donne le nombre des parties qu'il faut jouer pour f[ue, les deux adversaires ayant à chaque partie probabilité ^ dcgaj^ner, et l'enjeu étant i'"", celui des deux qui sera favorisé par le hasard ail une probabilité ^ de gagner une somme supérieure à un nombre donné :
Bénéfice assigné
dont la probabililé est .'.
Nombre des parties.
Les parties, comme dans le cas précédent, seront jouées, quoi qu'il arrive. Si le jeu devait se terminer dès qu'un joueur a obtenu le bénéfice demandé ou dès qu'il ne peut plus déposer sa mise, les résultats seraient très différents.
91. PivOBLÈME XLIX. — Pierre et Paul font un nombre illimité de parties à un Jeu dont les conditions sont équitables ; leurs fortunes sont m et n. Quelle est, pour chacun d'eux, la probabilité de ruiner Vautre?
Le jeu devant se prolonger jusqu'à la ruine de l'un des joueurs peut élre assimilé à une seule partie dans laquelle celui qui risque
I l() CALCUL DES rilOlîVUlLlTÉS.
m lianes ilevrail, s'il csl viiiiKjiunir, en obtenir m -+- n. L'espérance mathématique tloil rire éyale à la mise, et, si l'on nomme /> la probabilité ponr (jne l'ierre iiiine son adversaire, l'équation
donne
m -r- Il
On peut calculer directement cette probabilité. Soit r.r la probabilité pour que Pierre ruine Paul au moment où il possède .r francs et où Paul, par conséquent, en possède m -\- a — x. On pourra écrire
(5) y,r^py r+i,— qyx-a-
Lorsque Pierre, en ciTet, possède x francs, il peut, à la lin de la partie suivante, selon qu'il la gagne ou qu'il la perd, posséder X -\- h on X — (1 francs^ il y a donc probabilité p pour cpie Vx se change en Vx+b^ et probabilité q pour qu'il devienne ).c«. 1^'équation (5) en est la conséquence.
pb étant égal à qa, puisque le jeu est équitable, la solution générale de l'équation (5) est
yx= «37 — [3, a et [3 étant arbitraires.
Cette valeur de Vx satisfait, on le vérifie immédiatement, et, renfermant deux constantes arbitraires, elle est la solution la plus générale.
On a, ])our déterminer les constantes,
on en déduit
et, par conséquent,
qui s'accorde avec la solution précédente.
Cette solution peut donner lieu à une difficulté. Si les enjeux
CHAP. VI. — LA IlUINE DES JOUEURS. II7
a el b ne sont pas égaux à l'unité, l'un des joueurs [)ouria être forcé de cesser le jeu avant d'avoir tout perdu, possédant encore une somme inférieure à la mise exigée. Nous négligeons cette petite somme, qui, cependant, mcllrait la formule en défaut dans le cas où clic formerait une j)artic notable de la fortune du joueur.
92. Problème L. — Les conditions reslanl celles du problème précédent , on ne suppose plus les conditions du jeu équitables. Quelle est, pour chacun des joueurs, la probabilité de ruiner Vautre?
Un ingénieux artifice de Moivre permet de déduire la solution de la théorie de l'espérance mathématique.
Donnons à Pierre, au lieu des m francs qu'il possède, /?i jetons de valeur a, a-, ..., a'"; a sera choisi ultérieurement. Remplaçons également les n francs de Paul par n jetons de valeur a"*+', a'""*"-, ..., a^'^" qui continuent la progression.
Le jeu se faisant dans les conditions supposées, la mise de Pierre sera a jetons, au lieu de a francs, et celle de Paul b jetons. On conviendra qu'à chaque partie Pierre exposera toujours les jetons dont la valeur est exprimée par les plus hautes puissances de a, et Paul, au contraire, ceux dont la valeur est représentée par les plus petites.
La série des jetons restant toujours la même, la séparation après chaque partie se fera en un point différent, mais Pierre aura toujours les premiers termes de la série, et Paul tous les suivants.
La chance, pour chaque joueur, de perdre tous ses jetons est indépendante de la valeur qu'on leur attribue et, par conséquent, du choix de a. Le jeu sera équitable si l'on pose
Cette équation se réduit, quel que soit x, à ^a+b a" ~ q '
Il8 CALCIL DES l'UOBABILITÉS.
c'esl-à-tlire, /> -+- </ »'laiil t'i;al à i ,
Le jeu, j;rùec à ccl arlifiee, élaul tlcvciui r(|iiiiable, respérancc mathématique do chaque joueur doit cire égale à sa mise; et, si l'on nomme P„j la probabilité pour que Pierre, (pii a m jetons, ruine Paul, qui en a /?, on aura
V,„{:i -1- aï H- . . . -r- a"'+") = a h- oc* -+-... h- a'", a'"— r
93. Le calcul de P,„ peut se faire dircclcmcnl. Soit r.r la probabilité, au moment où Pierre j>ossède x francs, pour (pi'il finisse |iar ruiner Paul, on aura, comme (91),
yx = py-x^h -^ <iyx-a ;
ph n'étant plus égal à(y<7, l'intégrale de cette é(|uation est, comme on le vérifie aisément,
(-) r-r= C,-4- Coa^,
C, et Co étant des constantes arbitraires et a satisfaisant à la condition
c'est-à-dire à l'équation (()) déjà obtenue
Les constantes C, et Co se détermineront )iar les conditions
évidentes
ya = O' X'" t " = ' )
et l'on trouve
yni
^in-t-n ,
c'est le résultat déjà obtenu (92).
L'équation (^)) a pour racine a=i qui, évidemment, ne con-
cn.vi'. VI. — i.v RU1M-; ni-.s jolicurs. i h)
vienl pas ou ([iii, pluh')!, sorl à former le premier lerme de la Idimule (7), Cj i ' .
Oi. Si ron suppose a-= b = i cl /;? = /?, la foiiniiie iluniic un résultat signalé par Iluvgens dans un cas j)arlieulier. On trouve
I — Viii = — — • •
^ /j"'-i-fj"'
l^es chances de ruine pour les deux joueurs qui possèdenl cliacun /// francs, et exposent i*' par partie à un jeu dans lequel les probabilités de gagner chaque partie sont /> pour l'un cl fj pourl'autre, sont dans le rapport de y>"' à y'". On peut le d(;monlrer directement.
Les deux joueurs ayant même fortune et les enjeux étanlégaux, les successions de perte et de gain qui peuvent ruiner Pierre correspondent une à une aux successions de gain et de perte qui peuvent ruiner Paul; il suffit de changer les pertes en gains, et réciproquement, pour passer d'une série à l'autre. Dans l'une des séries, le nombre des parties surpassera de m celui des gains; dans l'autre, ce sera le contraire. Les [)robabililés des deux combinaisons sont donc entre elles dans le rapport de
pin+hqh pm
fjin-rhph ~ ,jm'
Ce rapport est celui des probabilités totales dont les termes sont en même nombre.
9o. Problème LL — Pierre joue à un jeu équitable ou non, mais dans des conditions i/ivariab/es d'une partie à l'autre, contre tout adversaire qui se présente. Quelle est la probabilité [>our qu^ il finisse par se ruiner ?
La solution de ce problème, déjà résolu en j)artie (^85), peut se déduire des résultats précédents.
CALCUL DKS l'IlOllVllU.ITI.S.
La chance tic ruine csL la incnie, cvidcmniciil, poiii- Pierre (nie s'il lutlail contre un adversaire de l'orlune inlinie.
Lorsque, Pierre possédant /;/ francs, son adversaire en |)o>sèile //, la prohalidilé pour (pie Pier-re soil ruiné est (9î2)
a élant l.i racine de 1 écpialiou
/> el Y sonl les probabilités de i;ain |)Our eluKpie joueur à cliacjuc partie, (t la mise de Pierre, /y celle de son adversaire. 11 laut,daii> celle formule, supposer ii infini. Trois cas peuvent se présenter: a est plus petit que l'unité, éi;al à l'unité ou plus grand que l'unité.
Si a esl plus jtetit (|ue l'unité, rex[)ression (8), en v supposant /? infini, se réduit à l'unité. Jl est certain que Pierre sera ruiné.
Si a est égal à l'unité, la formule prend la forme |y, elle a pour valeur le rapport des dérivées de ses termes par rapport à a
égal à 1 unité quand // est inliiii.
Dans ce cas, comme dans le précédent, la ruine de Pierre esl certaine.
Lorsque a est plus grand que l'unité, la ("ornuiio (<S ) a pour limite — • La probabilité de la ruine de i^ierre dans sa lutte contre
un adversaire de fortune infinie n'est égale, dans ce cas, ni à zéro, ni à l'unité.
96. Il importe de chercher à quelles livpollièses correspondenl
les trois valeurs de a.
L'équation
a, dans tous les cas, la racine a = i . Pour que l'autre racine réelle
CHAI'. VI. — LA RL'I^F. DKS JOLEURS. 12 1
Cl positive soit éj^alc à runité, il laut (juc réqualion ait deux racines égales et (jue, par conséquent, a soit racine de l'équation dérivée
Clette l'acine double étant égale à runité, ou doit avoir
cj{a -^ b)~ b.
Le jeu, par conséquent, est équitable.
Pour celui qui joue indéfiniment à un jeu équitable, a est égal à l'unité et la ruine est certaine. Ce résultat a été obtenu (83).
Le seul cas où la ruine ne soit pas certaine est celui de a plus grand que l'unité : le jeu alors n'est pas équitable et les conditions favorisent celui des joueurs dont la fortune est limitée.
L'avantage, quelque petit qu'il soit, fait disparaître la certitude de ruine.
C'est le cas du banquier dans les jcu\ publics. Dans tout autre, sa ruine serait certaine.
Un avantage est pour lui juste et nécessaire; il importe seulement de ne pas l'exagérer. La chance de ruine
lorsque a est plus grand que i, est petite. On peut, dans les conditions où se placent liabituellcment les maisons de jeu, la considérer comme nulle.
