CALCUL nns i'non\niLiTi^-s

La cliancc de niiiio ilii liaïKjiiit'r csl donc

li élanl le rapport do l'avoir du l)anquicr à la mise lolalo de riiii des coups.

Si Ton su[ipose /? = looo, on a

isyooo^ ,

08. Problème LU. — Pierre jour à un jeu dans lequel il a à eluKjiie partie la prohahililé p pour gagner et pour perdre la probabilité q. L enjeu est x^"^ pour chacun des deux adicrsaires. Quelle est la probabilité pour que Pierre, qui possède m francs, soit ruiné précisément après avoir j'ait ]i. parties, de telle sorte que la 'j.'''""" partie lui enlève so/t dernier franc?

Vonv que Pierre ail jierdu m iVancs en -j. parties, il faut qu'il ait

perdu parties et gagne •

Le nombre ul étant tel (juc ces deux fractions soient des nombres entiers, c'est-à-dire de même parité que m, la probabilité

pour que, sur tjL parties, Pierre en gagne » est (o»)

Celle probabilité est plus grande que celle que nous cherchons. On compte, en elTel, comme séries de parties faisant perdre Pierre en [JL coups, toutes celles dans lesquelles, à la fin de la pi"""* partie, il csl en perle de m francs. On doit exclure celles «pii, avant de procurer la ruine de Pierre au [x' """^ couj), Font procurée déjà à un coup antérieur.

Pierre une fois ruiné, en effel, le jeu doit cesser; il n'est pas admis à exposer l'argent quil n'a j)as.

Le problème résolu (18) nous lait connaître le rapport du

CII\I'. VI. — LA Ut' INF, DKS JDL'EUnS. 123

nombre des combinaisons qui niincronl IMerrc en 'j. coups au nombre total de celles qui assurent en [jl coups, joués quoi fju'il arrive, la perle de ses /// francs.

Si l'on considère, en eflet, l'une de ces combinaisons et que l'on ran«;e les j)erles et les gains dans l'ordre où ils se sont produits, en les apj)elant en commençant par la dernière partie, l'excès du nombre des pertes sur celui des gains étant /;/, le rapport du nombre des combinaisons dans lesquelles, à aucun moment, les perles et les gains ne seront en même nombre, au nombre total

des combinaisons est (18) — > m étant la différence et \x la somme

des nombres de parties gagnées et perdues. Le nombre des cas qui procurent la ruine de Pierre doit donc être multiplié par la fraction — • La probabilité pour que Pierre soit ruiné pour la première fois au pi"'"^ coup est

99. L'expression précédente peut être remplacée, lorsque/? et </ sont égaux à ;', par une valeur approchée très simple. Le facteur qui

multiplie — est alors le terme dont le ranfr s'écarte de — du plus ' ij. ° ■>. '

grand, dans le développement de (y> -f- q)v- ; il a été calculé (o8). La probabilité de ruiner en i;l coups précisément celui qui joue à un jeu équitable à i'^'" la partie, et qui possède tn francs, est