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ll!2. M. Rouché a traité avec beaucouj) délégance et de i)onheur le cas général.
l'iiOBLÈME L\ II. — Pirirc et l'<tul joiiciil l'un contre r<iiitrc a\-ec des j>rolnilnlit('S é gales. Ils possèdent eliaenn n J'ittncs fixant d^entrer au jeu; à cliaquc partie le perdant donne i'"^ au gagnant , et le jeu ne cesse que lorsque l'un quelconque des deu.r joueurs est ruiné. Quelle est la prolxtUiliti- V jiour que le jeu se termine précisément à la fin (T une partie de rang assigné?
Si, après 'x parties, le jeu doit encore se continuer, c'est que r.élat des fortunes est alors l'un des suivants :
(i,'2n — i), {i,in — 2 t, ..., (/î.n),
la notation (/, in — i) indiquant que l'un quelconcjue des deux joueurs possède / francs et, par suite, l'autre in — / francs.
Désignons par ^/(u-) la probabilité pour que, après [j. parties, le jeu ne soit pas encore terminé et que l'état des fortunes soit (f, in — i). On aura, parle principe de la probabilité totale,
(21) 0/(' ijL -I- I ) = />', 'fifa) -f-/»l o,(;ji)-i-.. , — /*;, o„(;jl),
p\ désignant la probabilité de passer en ime j)artie de l'état {k, 2/î — k) à l'état (/, m — i).
Or on voit avec un peu d'attention que />^j"' est égal à 1 , et que pour les autres valeurs des indices p'i^ est égal à ^ ou à zéro, suivant que la valeur absolue de / — k est égale à i ou diffère de i. D'aj)rès cela, la formule (21) donne les n relations
2'i„ (.a -4-1) = «p^-iCijL),
i 2Cp„,(iJL -)-!)=: Cp„2(|JL)-f-2 0„(|l),
/^.^N ; '^?«-2(l-i-Hi) = o«-3(Fi)-^?/.-i(!^),
2'ii( li. -+- 1) = 02( [i. );
CHVp. \i. — i.\ iiLixE ni:s joueurs. 187
d'où il f'aiil tirer cp,(iji.); car, celle fiiianlili' ('lant connue, on aura, pour la probabilité cliercliée,
1' = io,ra — I).
Or, si I on adjoif,aiait aux «'•«piations (li?.) celles qu'on obtient en changeant 'x en u + 1 dans la seconde, u. en a -f- i , a + 2 dans la troisième, . . . , tj. en ij. -h i , u 4- 2, . . . , ;jl -f- n — 1 dans la dernière, on aurait ^n{n -{- i) relations qui, par l'éliniinalion des ^/i(/î + i) — I quantités <p dont l'indice dilTcre de i , conduiraient à une équation de la forme
(23) G,( [ji -I- n) H- A|'^i(iJL -t- rt — I ) — . . .-r- A„0|( ;ji I — (».
D'ailleurs, si «(, a-,, . . ., a,i désignent les racines de l'équalion caractéristique que l'on oblicnt en faisant dans (a3) '^,(a) = rtH-, l'expression générale de '-pi(;j-) sera ^C/t(/'J:, et, par suite, la valeur de P(A sera ^Sca^^"', les constantes c,, c-,, . .., c« étant déterminées par les conditions initiales du problème.
Cette détermination se fait élégamment de la façon suivante : d'abord, ni Pierre ni Paul ne peuvent être ruinés avant la fin delà ^leme partie; d'autre part, la probabilité pour que le jeu cesse juste après la n'""'" partie, c'est-à-dire la probabilité pour que Pierre ou Paul perde n fois de suite, est
De là résultent les relations linéaires
qui permettraient d'obtenir C), Co, ..., c„ et, par suite, P|,.. en fonction des racines «), a^, ■ -, ««• Mais ce que nous voulons, c'est l'expression de P|i en fonction des coefficients de l'équalion caractéristique.
Or, si l'on pose
(- — ai )( 5 — «2) •••(■= — «'«) = 0(3)
l38 CALCUL DES PROBABILITÉS.
el si l'on ajoute les «•qualions (.'-î) aj)rès les avoir niullipliécs respectivement par les coefficients de /o? ^c ^" '""' danslefjuo-
llent
on obtient
011, en imillipliant jiar
cl désignant par E(:?) la partie entière du premier membre,
On voit par là que le coefficient de - dans le dévclopperaenl du premier membre est 2 P,j.; la probabilité cherchée P|j. est donc égale au coefficient de - dans le développement de
Il reste à trouver l'équation caractéristique. Au lieu de la chercher par le procédé laborieux ci-dessus indiqué, nous l'obtiendrons rapidement comme il suit : les relations (22) monlrent que, si l'on pose
on a
de là résultent les équations
CHW. M. I.\ nil.NK DKS JOLEVnS. I 3^
OÙ .r désigne la (|iiaiililc — ua; cl l'c-limination des •[> donne
Les valeurs évidentes cl l'échelle de relation
Vo — X- — 1,
' Il ■ — -^ » n— 1 ' «— 2)
que l'on obtient immédiatement en développant le déterminant par rapport aux deux dernières lignes, prouvent que la fonction V„ est celle que Ton rencontre dans la théorie de la division du cercle en parties égales et qui a pour expression
\n(x) — .r« — Il x-'-- H x'^-->-^ . . .
r désignant le plus grand nombre entier contenu dans -n. Donc P|A est le coefficient de - dans le développement de
V„( — 2c; ' ou, ce qui revient au même, en posant
Pa est le coefficient de )'!^ " dans le développement de
CALCUL nES PROBABILITÉS.
A/ désignant Iccocflicicnl de x""-' dans V„(.r) et, par suite, étant égal à zrro quand l'indice / surpasse r,n. Ce quotient a pour expression
lu désiirnanl le détcrniinanl dordre A
Ba -(-!/'•
Al
Ao
Ao
Aa-2
On voit par là que, si u — n est impair, Pjj. est nul. cl (pie, si u — n est pair et égal à ik, on a
Une vérification s'offre ici d'elle-même. Pour /i = 2 ou n = 3, le déterminant B^ se réduit à son terme principal, et l'on retrouve immédiatement les résultais obtenus directement aux. n"* 110 et 111.
113. On peut rattacher au problème de la ruine des joueurs l'espérance, acceptée souvent, d'accroître les chances de gain par une ingénieuse disposition des mises et du nombre des parties jouées. Toutes ces combinaisons sont illusoires. Si les conditions du jeu rendent pour chaque partie resj)(Tance mathématique égale à la mise, l'égalité existera, quoi qu'on fasse, quel que soit le nombre des parties.
Nous nous bornerons à examiner un procédé plausible pour accroître les chances de gain en laissant celles de perte petites.
Un joueur entre au jeu avec la résolution de continuer tant que le sort lui sera favorable et de se retirer après sa première perte. Le nombre des parties qu'il jouera peut être illimitc'' et le bénéfice
(MM'. \i. — i.\ iuinf; nr:.s joif.uus. i ^I i
immense; la perte, au contraire, sera nécessairement j)elile, égale tout an plus à la mise pour une seule partie.
Lors([ue l'on compare, cependant, les chances de perle à celles de gain, on les trouve, comme cela doit être, écpiivalcnlcs, lorsque les conditions du jeu, à chaque partie, sont équitables.
Soient
p la probabdilé do gagner une partie;
a la somme à recevoir;
(f la prohahililé de j)erdre;
b la somme à pajer dans ce cas ;
on a
Le joueur a une probabilité q de [)crdre la somme b\ une probabilité pq de gagner a — />; une probabilité p'-q de gagner Q.a — b, etc.; une probabilité p"(i de gagner n(i — b. Son espérance mathématique, au moment où il se met au jeu, est donc
pq{a — b) -r- p'-q{2a — b) -h . . .-h p^qina — ù) — . . .— qb,
c'est-à-dire
pqa{i -I- 2/> -f- 3/J--4- . . .) — pqb{\ -\- p -\- p- -h . . .) — qb
et, en remplaçant les deux séries par leurs valeurs , et
-P'J^-Pl^-gb^ P^--b,
{i-pyi l-p ^ q
c'est-à-dire zéro si le jeu est équitable.
L'avantage jirétendu de la combinaison se réduit à accroître la valeur possible du gain, en diminuant proportionnellement la probabilité de l'obtenir.
l^.l CALCUL DES PnOllAIULlTÉS.
CHAPITUE VII.
l'IlOliABlLITi; IIKS CAUSES.
Un jour, è .Napics, un homme do la Dusilicalc, en présence de l'ahbé Galiani, agita trois dés dans un cornet cl paria d'amener ralle de C: il l'amonu sur-lo-cbamp. Celte chance est possllile, dit-on; Ihouiuie réussit une seconde Tois, et l'on lépcia l.i niOine cliose; il romil les des dans le cornet trois. (|ualre, rinq Tois, et toujours raOe de 6. <> San^iie di Ilacco.' s'écria l'abbé, les dés sont pipas! Il et ils I étaient.
UlllEKOT.
114. Ce que, dans le Calcul des probabilités, on entend par le mot cause. —
115. Énoncé du problème à résoudre. Formule qui en donne la solution. —
116. Autre démonstration de la formule. — 117. Problème relatif à la composition inconnue d'une urne. — 118, lit). Autre manière de comprendre l'énoncé. — ■ 120. Problème plus général. — 121. Loi approchée des probabilités.
— 122. Autre manière de préciser l'énoncé. — 123. Applications incorrectes des résultats précédents. — 124. Discussion d'une expérience de Buiïon. — 125. Discussion de la méthode d'approximation adoptée. — 126. Cas extrême où la conclusion du raisonnement souvent accepté serait évidemment sans valeur.
— 127. liégularité des naissances masculines et féminines. — 128. Quelle est la régularité dont on serait en droit de s'étonner? — 129. Exemple cité par Buffon. — 130. Exemple cité par Laplace. — 131. Les conditions d'un problème doivent être définies avec détail. — 132, 133. Quelques exemples. — 13'i. Application faite par Mitchel à la théorie des étoiles doubles. — 135. Probabilité des événements futurs. — 136. Applications ridicules de la formule à la probabilité du lever du Soleil.
114. Etudier les faits pour remonter aux causes est le but le plus élevé de la Science. Notre curiosité est ici moins amhilieuse. Nous n'aurons dans ce Chapitre aucune loi de la nature à discuter, aucune énij,Mne à résoudre. Les causes sont pour nous des accidents qui ont accompagné ou précédé un événement ob-
CHAI'. VII. l'UOBAniLITl'; DES CAVSES. 1 /\^
serve. Le mol n'implique pas qu'au sens |)liilosophiquc l'événemenl soit un cfTet produit par la cause.
Pierre a parié d'amener avec trois dés un [)oint supérieur à i6; il a gagné : le! est révénement. Le point amené peut être i- ou 18 : telles sont les causes possibles du succès.
On a, sous un même nom, réuni j)lusicurs cas distincts : ce sera, [)ar exemple, un point plus grand que 16 qui peut être iou 18; la sortie, au loto, d'un numéro divisible par 5 qui peut être 5, 10, i5, ...; le tirage, dans une urne, d'une boule de couleur qui peut tire rouge, verte ou jaune; la retourne, dans une partie de cartes, d'une figure qui peut être roi, dame ou valet. L'événement s'est produit, on le sait; les causes qui, dans ces différents cas, restent possibles sont les manières diverses dont il a pu se présenter. On sait qu'une rivière a débordé en Espagne : c'est à la Géographie, non à la Météorologie, qu'il appartient, par l'énumération des cours d'eau, de faire connaître la diversité possible des causes.
De tels cas sont les plus simples. Les causes dont on cherche la probabilité ne peuvent, si elles agissent, produire qu'un seul événement dont l'arrivée, supposée connue, diminue le dénominateur de la probabilité sans en changer le numérateur. On sait, par exemple , qu'en donnant les cartes on a retourné une figure. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit un roi? Le numérateur de la probabilité est le même qu'avant le renseignement donné : c'est le nombre des rois ; mais le dénominateur, nombre des cartes possible, a diminué : les figures seules doivent y être comptées.
On sait qu'au loto le numéro sorti est divisible par 5, on demande la probabilité pour qu'il soit 20. Le numérateur de cette probabilité est 1, comme avant le renseignement donné; mais le dénominateur, qui était 90, nombre total des numéros, est devenu 18, nombre des multiples de 5.
Le numérateur de la probabilité, dans d'autres cas, est changé, en même temps que le dénominateur, par la connaissance de l'événement observé. Quelquefois aussi, les cas restés possibles ne sont pas également vraisemblables.
l44 CALCUL DES PROUAlULlTéS.
Deux urnes, par exemple, sont d'aspect identi([uc : l'une contient une boule hlanche et une boule noire; l'aulro, dix boules noires et une blanche. On choisit une des urnes, on en fait sortir une boule, elletst blanche; <|uelle est la probabilili' d'a\oir choisi la première unit?
Deux causes sont possibles : la première urne et la seconde urne; mais, contrairement à ce qui avait lieu dans les cas j)rccèdents, aucune de ces deux causes, supposée \crii;il)lc, ne rond certain l'événement observé. On pourrait considérer comme causes possibles les deux boules blanches qui ont pu sortir, Tune de la première urne, l'autre de la seconde; mais ces boules n'ont pas même vraisemblance. La seconde, associée à dix autres boules, a moins de chances de sortir (]ue la première et sortira cerlainement moins souvent si l'épreuve est renouvelée un grand nombre de fois.
