Le problème général peut s'énoncer comme il suit

Diverses causes E|, E,, . . ., E„ ont pu produite un cK-rneinent obsené. Les probabililés de ces causes, lorsque le résultat n'était pas encore connu, étaient ro,, Wo, . . . , to,^. L'événement se produit ; la cause E<, lorsqu'on est certain que c'est elle cjui agit, donne à Vé^'énenient la probabilité />,. Quelle est la probabilité de chacune des causes qui sont, on l'admet , les seules possibles?

Le type des problèmes dont nous parlons peut cire représenté par une urne contenant des boules blanches et des boules noires. L'événement est la sortie d'une boule; elle est blanche, on le sait. Mais chaque boule est marquée par un des numéros i , •.>, .1, . . . , /i. Quelle est la probabilité pour que la boule blanche sortie soit marquée d'un numéro donné? Ces numéros représenlenl ici ce que l'on nomme les causes possibles de révéncment, sans avoir rien de commun, bien entendu, avec l'idée de causalité.

Si p. désigne le nombre total des boules, ij., le nombre de celles qui sont marquées i et, dans ces u/, nii le nombre des boules

riiM*. \ii. — l'iîonAnri.iTi^: des causes. i/\5

hlanches, le nombre lolal des boules blanches est

/«i -T- Wo-- /«3— . .

Elles sont loules également possibles, [)iiis([iic, placées dans la même unie, chacune, considérée individuellement, a chance égale de sortie. La probabilité pour (jue la boule blanche que l'on a tirée et dont on n'a pas vu le numéro soit marquée d'un « est

nii -r- m^-

Telle est la solution du problème. Il reste à l'exprimer en fonction des données. On a

— = Pi ■

par conséquent,

nii = Pi [Xi = pi Wi [j. .

La probabilité est donc, en supprimant le facteur y.,

Pi^i

p iT^ l — Pî^l-^- ■ -—pn^n

Le dénominateur est le même pour toutes les valeurs de i, et les probabilités des diverses causes sont proportionnelles, par conséquent, aux produits de la probabilité de chacune, avant l'événement (nj/), par la probabilité qu'elle donne à l'événement (pi) quand on la suppose certaine.