La démonstration peut se faire autrement

La probabilité cherchée est celle pour que l'événement qui est arrivé, on le sait, soit dû à la cause représentée par l'indice i.

La probabilité pour que, avant l'épreuve, l'événement en question se produisît et fût dû à la cause désignée est un é\énement composé, et cela de deux manières :

I** Il faut que la cause soit mise en jeu ;

2^ Il faut qu'elle produise l'événement.

|46 CALCUL DES mOBABlLITÉS .

Ou bien :

i" 11 faut que révéïu'inenl se produise;

2" Il faut que, étant produit, il soit du à la cause désignée.

Ou en déduit deux expressions de la mrm<^ prohabilité

r!^iPi-~ (/>irrri--/).,77T2-r-,

et, par conséquent, la j>robal)ililé j: |)our (]ue révéneincnl, étant produit, soit dû à la cause désignée par l'indice / est celle qui a été obtenue (115)

Pi ^i

Pl^l—P2^2

Pn^n

1 17. PuoBLÈMF. LVI. — Une urne contient <x houles : tes unes sont blanches, les autres noires, on ignore en quelle proportion. On tire k boules, en remettant à chaque fois la boule sortie. Il ne sort que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que r urue ne contienne que des boules blanches?

La question est mal posée.

On ignore, dit Ténoncé, la proportion dans l'urne des boules blanches et des boules noires. Toutes les hypothèses sont possibles. Il faudrait dire, en outre, quelle est, a priori, la probabilité de chacune. Si, toutes les combinaisons possibles ajant été préparées dans des urnes d'apparence identique, le hasard a décidé entre elles, les conditions sont autres que si l'on a puisé au hasard dans une urne de composition convenue, pour composer avec les boules ainsi tirées l'urne nouvelle dont nous parlons.

Nous admettrons d'abord, pour préciser la question, que toutes les compositions de l'urne soient, a priori, également possibles. Toutes restent possibles après l'épreuve, à l'exception d'une réunion de boules noires, mais les probabilités ne sont |)lus égales.

La combinaison dans laquelle, sur u boules, le nombre des blanches est n donne à l'événement observé la probabilité

Les probabilités désignées par ttt,, tuo, .•., ^n dans l'énoncé

(IIM*. \II. l'i;()It\l!ll.ITK DES CAUSES. I 'î ^

général sont sujiposées égales entre elles; en les supprimant comme facteur commun dans la formule (i), on trouve la probabilité jiour que Ip nombre des boules blanches soil n

La probabilil('' pour que toutes les boules de l'urne soient jjlaïu'hos est donc