f- 2^-4- 3*-i-. . .-f- [JL
Si l'on suppose, par exemple, ;x = 5, k = 6, après avoir tiré six fois de suite une boule blanche d'une urne (jui contient cinq boules, la probabilité pour que les cinq boules soient blanches est
o,7GiG3.
1 18. Si. au lieu de supposer toutes les combinaisons également [)Ossibles a piiori, on avait composé l'urne en tirant au sort, à pile ou face par exemple, la couleur de chafjue boule, le problème sei'ait très différent.
Les hypothèses possibles sur la composition de l'ui'ne, au lieu d'être également vraisemblables a priori, ont les probabilités suivantes :
5 blanches ou 5 noires,
4 blanches et i noire ou .\ noires et i blanche.
5 ( - ) =o,iJG^,5;
3 blanches et i noires ou 3 noires et 2 blanches,
Les probabdités désignées par w,, CTo. ..., ts„ dans la for-
l48 CALCUL DES l'UOBABILlTKS.
mule (i) sont propoiiiciniullcs aux ii()iiil)rcs i, 5, lo, lo, ;'>, i,cl la probabilité, quand six fois de suite on a extrait une boule blanche, jiour (pu- les cinq boules de l'urne soient blanches est
110. Si, après avoir extrait les boules de riirnc, on ne les remettait pas, les résultats seraient difTérenls.
Il est clair, d'abord, qu'on ne. peut, dans cette Inpothèse, extraire plus de cinq boules, et que, si on les extrait toutes les cinq, il n'v a plus de problème.
Supposons donc que 1 événement observe soit la sortie de quatre boules blanches; les probabilités, a priori, des diverses compositions de l'urne étant proportionnelles à i , 5, 10, 10, 5, 1 , cherchons la probalMlilé pour que la cinquième boule qui reste dans l'urne, la seule que l'on n'ait pas vue, soit blanche.
L'événement observé est la sortie de quatre blanches. Les hypothèses possibles lui donnent pour probabilités : i, i, o, o, o, o.
La formule (^i) devient, en y substituant les valeurs de vsi et de/?/,
Ce résultat est évident a priori.
Après avoir vu quatre des boules, sachant que pour les cinq la couleur a été tirée au sort, on n'a acquis sur la dernière aucun renseignement. Les circonstances pour elle sont les mêmes que si, lorsque l'on procédait à la formation de l'urne, le hasard avait désigné la couleur blanche aux quatre premières épreuves. On ne devrait y voir aucune raison pour qu'il la désignât une cinquième fois.
120. Problème L\ IL — Une urne con tient des boules noires ou blanclies en proportion ineonnue. On y fait \). tirages, en re-
CFivi'. vir. — pnonMiiLin"; des c.vusks. i jc)
nii'llttiit (l((ns ruine, <ij)rès cliii<iin- tir<i'j;i\ la houle fini eu est soflie. On a obtenu m boules bUinekes et n boules noires. Ouellc est la composition la plus j)robable de l'urne?
L'énoncé, comme celui du |)rol)lème précédent, n'est pas suffisamment précis.
Toutes les hypothèses sur la com[)Osition de l'urne étaient possibles avant l'épreuve. L'étaient-elles également? Il est nécessaire de le dire. Nous le supposerons d'aljord.
Soit X la probabilité assignée à la sortie d'une boule blanche par la composition de riirne, La probabilité de l'événement observé, la sortie de ni boules blanches et de n noires, est
Le nombre des combinaisons cpii peuvent se présenter est indépendant de X., et la probabilité de l'événement observé, que l'on connaisse ou non l'ordre de sortie des boules, est proportionnelle à
Ce produit doit remplacer la probabilité désignée par pi dans la formule (i); les probabilités to,- sont supposées égales entre elles, et la probabilité de chaque valeur supposée pour j:*, proportionnelle au produit /^/tj/, est, dans le cas actuel, proportionnelle à
La valeur de x la plus probable rendra ce produit maximum. En égalant la dérivée à zéro, on trouve
X __ I — .r m II
La composition la plus probable est celle qui rend les probabilités de sortie des boules blanches ou noires proportionnelles aux nombres de fois qu'elles se sont montrées.
121. Chaque hypothèse sur la valeur de x a une probabilité. Nous devons en chercher la loi. 11 ne peut être question d'assi-
IDO CALCUL DES PROBABILITES.
i^ncv la valeur de Vnnc de ces probabilités. Toulcs les h vpotlièses avant élt' siippost-es possibles et leur nombre étant infini, la pr(d)abililé de l'une d'elles, riy;oureusenient désij;née, est c> ; mais la j)robahililé pour (pie ./• soit compris entre z et z -^ clz csl proporlumuelle à </z.
La loi lies probabililc'-s est celle îles valeurs de la foiiclion
à laquelle elles sont proportionnelles.
Pour étudier celte fonction dans le voisinage du maximum,
posons
Le maximum étant
//t \ ■■- / Il i -
la valeur voisine sera, en posante = p — î, i — .r = ^ -t- î,
pmqii (5tant indépendant de ^, la probabilité est proportionnelle au produit
/m n\ Vni{ni — i) "i nin n(n — i)l £^
ou a
en négligeant les puissances de t supérieures à la seconde. Or, à
cause de
l'expression précédente [)cut être remplacée par
CHAP. VII. — PnoUAIilLITl'; DKS CAUSES. I .) I
OU, au même degré d'approximation, |)ar
et, par conséquent, la probal)ilit(' pour (pie la composition de l'urne donne à la sortie d'une houle blanche la probabilité
et à celle d'une boule noire
est proportionnelle à
et peut être représentée par
Ge «W ,
G étant indépendant de t.
Cette formule équivaut à celle qui a été trouvée (58). On a, dans les deux cas, obtenu n fois sur ix épreuves un événement
dont la probabilité est/?. La différence s, égale à /», est rem-
placée par k égale à n — />[x. La probabilité d'une valeur désignée de h est proportionnelle à
La seule différence des deux théorèmes consiste en ce que, dans un cas (58), p est donné exactement, le doute porte sur la valeur de n\ dans la formule actuelle (121), n est donné exactement, le doute porte sur la valeur de p.
1122. La formule précédente est déduite d'une hypothèse qui se réalisera rarement. Toutes les probabilités désignées par x ont. en général, a priori, des valeurs inégales.
iSa CALCIL DES rUOB.VDlLITÉS.
PiiOBi-KME LIX. — Une urne contient N boules. On a tiré au sort la couleur noire ou blanche, avec probabilité ^^ pour chacune des boules. Si/r <x ti/-<ii,'es, f<iils (buis r urne ainsi composée, on obtient m boules bb/nches et n noires. Quelle est la composition bi plus prolxible de l'urne?
La probahililé pour que, tlans une urne ainsi composée, le
unbre des boules blanclu
si N est grand cl r- petit,
nombre des boules blanches soil z est approximativement (58),
La probabilité de la sortie d'une boule blanche est, dans celle hjpothèse,
Posons ^ ^=y\ hi probabilité d'une valeur désignée de y est proportionnelle à
(4) e~ir = e-2>v'.
La probabilité de l'événement observé est proportionnelle à
Les probabilités désignées par ra/ et pi dans la formule générale (116) doivent être remplacées par (4) et (5).
La probabilité de la cause, c'est-à-dire de la valeur y, est proportionnelle au produit
En égalant à zéro la dérivée du logarithme, on obtient, pour déterminer la valeur àe y qui rend (6) maximum, l'équation
i — iy I -t- 27
cil M'. VII. — i'r,(H!Ai!iLiTi^. nrs c.vusKS. ou, coniino 1' csl |)elil,
— v.Nj' — m(i -+- 27) -4- n(i — 2j) = o,
iroii
2 ( N -+- /« -t- /i ^ La plus f,^randc probabilité correspond à
La composition la plus probable de l'urne donne à la sortie d'une blanche la probabilité ,
il)
2 2(N -+- m -r- rt) 2(N -f- m-t- /i)
Cette fraction est comprise entre ^ et On aurait pu le
prévoir. Avant le tirage d'aucune boule, les chances pour les deux couleurs étaient égales, le raj)port le plus vraisemblable était celui qui donne la probabilité r,. Si le tirage indique pour l'une des couleurs la proportion de /;? à m -+- /?, c'est une raison pour croire au même rapport dans l'ensemble des boules. Si ces deux indications ne s'accordent pas, la probabilité la plus plausible est entre les deux.
Si N est très grand, la formule (-) est très voisine de ^, quels que soient les nombres m et /i; si, au contraire, ;?? et /?i H- n sont
très grands, elle est voisine de , quel que soit N.
Ces conclusions du calcul pouvaient également se prévoir.
Si le nombre N est très grand, on a fait, pour choisir les couleurs des boules de l'urne, un très grand nombre d'épreuves, donnant chacune à la couleur blanche une probabilité ^. Il est certain, d'après le théorème de Bernoulli, que le rapport du nombre des boules blanches à celui des boules de l'urne diffère peu de 7;. Cette certitude est assez grande pour ne pas être notablement amoindrie par les couleurs, quelles qu'elles soient, de quelques boules tirées de l'urne. Si cependant, après un nombre immense
d'essais, on Irouve entre le non»l)rc des boules blanches el le nombre des boules sorties un rapport très difTérenl de 4, on se trouvera en présence de deux certitudes inconciliables.
IVous adoptons, on le voit, le sens vulgaire du incil ctilitudc. On tire au sort mille fois enlri- la couleur blanclu; cl la couleur noire, en leur donnant des probabilités éj^ales. Dans l'urne contenant les boules dont les couleurs sont ainsi désignées se trouveront, à très peu près, autant de boules blanches que de boules noires : on peut le tenir pour certain. Sur m -\- n tirages, on obtient ni boules blanches; le rapport du nombre des boules blanches au
nombre total diffère peu de > on peut aussi le tenir pour
certain. Les deux rapports cependant sont très inégaux. On est évidemment dans un cas exceptionnel , possible assurément, mais fort rare.
Supposons, par exemple, N =:iooo. Dans l'urne composée de looo boules, contenant vraisemblablement, d'après la manière dont elles ont été choisies, 5oo blanches environ, on fait 4 tirages. On tire 4 boules blanches. La composition la plus probable de l'urne, d'après la formule (-), est telle que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total soit
ioo8 l'^.G
La démonstration supposant un grand nombre d'épreuves faites dans l'urne n'est plus applicable, il est vrai, au cas où le nombre m -h n se réduit à 4- Le résultat est cependant peu différent du véritable. On a vu 4 boules blanches; amenées par le hasard, elles sont presque certainement différentes; on ne sait rien sur les 996 autres. Le nombre des boules blanches le plus vraisemblable est, pour cette portion de rurne, 49^1 cela fait, en tout, 5o2 pour le nombre le plus probable des boules blanches et pour probabilité la plus vraisemblable
