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1000 5oo Si, dans la même urne coin])Osée de 1000 boules, on a fait
CHAP. VU. — l'HOIlMIll.ITl': DES CAUSES. 130
4oo(K) tirages cl obtenu ay.Doo boules ijlaiicbes, le raj)|)()it le ]»lus probable donné par la formule (7) est
4jooo 5
peu dilïérenl du rapport -^ indiqué par le résultai du tirage; les motifs ({u'on avait d'abord de croire à un rapport voisin de ^ se trouvent en quelque sorte annulés par les 4oooo épreuves qui les contredisent. Tous ces ehiirres, nous devons le ré[)éter, sont possibles, mais absolument invraisemblables.
La probabilité pour que, sur 1000 boules dont la couleur a été désignée par le sort, avec chance égale pour blanc et pour noir, le nombre des blanches soit inférieur à 55o est (65)
Deux cas, en cfTet, sont possibles : ou les noires sont en majorité, ce dont la probabilité est^; ou l'écart est positif et compris entre o et 5o.
V^Sgo
Il y a plus de mille à parier contre un, a priori, quun tel écart ne se produira pas. Nos hypothèses cependant le rendent probable. La sortie de 22 000 blanches sur 4o 000 tirages dans une urne contenant nombre égal de blanches et de noires présenterait une anomalie plus singulière encore. Si la probabilité de tirer 1 boule blanche est 4, la probabilité d'en obtenir moins de 22000 sur 40000 tirages est
- -^-L c-"dt = - -^ -e(i4).
1 5G C.VLCt'L DES PUOn.VBILlTKS.
0(i.O csl lellcinent voisin de l'unilé, que révéncment doit cire considérr comme certain, révcnemenl contraire comme imj>ossilde. On pourrait renouNcler lessai des milliards de milliards de fois sans avoir cliance d'obtenir, sur4<^ooo épreuves, :i20oo fois un événement dont la probabilité est r,.
123. On a assimilé sans raison au problème précédenl des questions en réalité fort diflerentes.
Lorsque les observations démentent des prévisions dont la probabilité semblait grande, on présume, naturellement, l'induence d'une cause perturbatrice et l'on est conduit à chercher la probabilité de son existence.
La question est insoluble. On n'a j)as, d'une part, les données nécessaires. Le dilemme, d'autre part : ou il existe une cause, ou il n'en existe pas, n'a pas la netteté promise parla forme de l'énoncé.
Qu'entend-on, si l'on dit : il j a une cause?
On a jeté une pièce de monnaie looo fois, elle a montré face 5 10 fois. Quelle est la probabilité pour que cet écart soit dû au hasard ou pour qu'il résulte de l'imperfection de la pièce?
Les hypothèses possibles sont en nombre infini.
La pièce peut être parfaite.
Elle peut donner et l'arrivée de face une probabilité quelconque plus grande ou plus petite que ^.
L'événement observé, l'arrivée de 5io fois face sur looo coups est compatible avec toutes les hypothèses : il se peut que, la pièce étant parfaite, le hasard ait amené ce petit écart; que, la pièce favorisant l'arrivée de face de manière à rendre l'écart le plus probable plus petit que lo, le hasard ait complété la différence; que la pièce rende probable un écart plus grand, beaucoup plus grand même que lo, ou que, inégale en sens opposé, elle donne probabilité à l'arrivée de pile plus fréquente que celle de face, et que le hasard cependant ait amené l'excès lo.
C'est précisément, dira-t-on peut-être, parce que tant d'hypothèses sont possibles qu'il y a lieu de chercher la probabilité de chacune.
CIIAP. Vil. — l'UOBADlLITi; DKS CAUSES. lOJ
La rcclicrclu; ne j)ciiL iihoulir : les données sont insunisanles. La solution varie, en cllct, avec la prohabililé a priori de telle ou telle imperfection de la pièce, et cette probabilité n'est pas connue.
Si l'expérience est faite dans un pays où la fabricalion des monnaies a une grande perfection, les grands écarts, a priori, sont presque impossibles, et, parmi les petits, ceux qui favorisent face ont même probabilité que ceux qui favorisent pile.
Si les pièces, par leur relief exagère-, favorisent toutes le même résultat, le problème- est autre que si, par un autre accident de la fabrication, elles favorisaient le résultat contraire. Il faut remplacer par une lijpothèse les renseignements qui font défaut.
L'hypothèse adoptée est inouïe.
Toutes les probabilités, depuis o jusqu'à i, données par la pièce à l'arrivée de face sont supposées, a priori, également vraisemblables.
On a cherché quelquefois, non la probabilité de chaque hypothèse, mais la probabilité pour que la chance donnée à l'arrivée de face soit plus grande que r,. Surpasse-t-elle^ de un cent-millionième seulement, il faudra donner à cette différence imperceptible le nom de cause et laisser croire, d'après la dénomination adoptée, que l'écart observé est du à celte imperfection de la pièce.
Il n'est pas inutile de traiter, pour ne laisser aucun doute, un cas célèbre pris pour exemple par Poisson.
12 L BufTon a jeté une pièce de monnaie 4o4o fois et obtenu 2048 fois face.
Poisson a cherché la probabilité pour que la pièce de Buffbn donnât à l'arrivée de face une probabilité plus grande que celle de pile.
Avant de résoudre la question, il semble naturel de chercher si cet écart de 28, qui substitue 2048 fois face au chiffre probable 2020, est assez invraisemblable par lui-même pour rendre suspecte la pièce qui l'a donné.
La probabilité d'un écart h pour un événement dont la proba-
l58 CALCUL DES PKOB.VBILITÉS.
hililt- osl /; est
a désignant lo nombre des épreuves et q la prohahililé i — p de l'événement contraire.
La probabililt- dim écai'l moindre que A, en valeur absolue, est
,/'-' ., py/iv-ri
Il faut, dans cette formule, faire A ^=. 28, u 1= 4o40' ^^^ peut, sans erreur sensible, remplacer pq par {; on aura
