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y/?. iJL/'y v'2o2(j
La Table des valeurs de la fonction 0 donne 6(0,62) = 0,619.
La probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire la probabilité pour que, la pièce étant parfaite, l'écart soit égal ou supérieur à 08, est donc o,38.
Si l'on recommençait looo fois l'expérience de BuflTon, avec des pièces parfaites , on obtiendrait 38o fois environ un écart supérieur à 28. Si donc le basard est la cause du résultat obtenu, il n'j a pas sujet d'étonnement.
Résolvons cependant le problème.
Soient ^ -f- :; la probabilité donnée par la pièce de Buffon à l'arrivée de face; -, — z celle qu'elle donnait, par conséquent, à l'arrivée de pile. Toutes les valeurs de z, entre — \ci ^^i sont supposées également probables a priori.
La probabilité de l'événement observé était, avant l'épreuve, proportionnelle au produit
CH\I'. \ll. — PltOBMlILITÉ DES CAUSES. I .J()
En prenant le logarithme de ce produit, rmiplacinl
// — - z\ par / — \- l{i '--iz } ~ l — H 2- — 25*,
l(-—zj par l- -r- l(i—?.z) - l -— ïz — iz^,
on voit qu'en supprimant un facteur constant dont la présence ne cliiinge rien, la probabilité de r('v('ncmenl était, pour une petite valeur de :;, proportionnelle à
La probabilité pour que :; soit positif est donc proportionnelle à
Jf g- 8080;=-*- 112; f/-
et pour quil soit négatif, à
Ç e-^'-'--'-?=dz=.e'^-- f
e '^^ dz
et, en posant y.z — - = t,
on a également
Le rapport de la probabilité pour que :; soit positif à celle pour qu'il soit négatif est donc
Vv/8o8o
l6o CALCUL DES PROBABILITÉS.
SI Ton ilcsignc par// et q' ces deux |)rc)bal)ililés, on déduit tle
Poisson a Iromé ti,Sit)43.
125. Une dillicullé pourrait s'élever, le principe du calcul étant admis, sur la formule d'approximation employée. Après avoir désii;né la probabilité chcrcliée par -^ + ^, et aunoncé que toutes les valeurs de z seraient traitées comme également vraisemblables (/ priori, nous avons négligé les puissances de :; supérieures à la seconde.
Cela est permis. Lorsque z en eflet n'est pas petit, la probabilité de l'événement observé peut être considérée comme nulle, aussi bien que l'exponentielle qui la remplace. C'est pour la même raison que, z étant compris entre o et ^, nous pouvons étendre les intégrations de o à oc.
126. Si BulTon, au lieu de jeter la pièce 4o4o fois, l'avait jetée 1 fois seulement et qu'il eût obtenu face, l'événement, on en conviendra sans peine, n'apprendrait rien sur la qualité de la pièce.
Cherchons cependant, en appliquant les mêmes principes, la probabilité pour que la pièce ait une tendance à favoriser face.
Soit X la probabilité que la pièce donne à l'arrivée de face. La probabilité de l'événement observé étant x et les probabilités de toutes les hypothèses étant supposées égales a priori, la probabilité de chaque valeur de x est proportionnelle à :r; la probabilité pour que x soit compris entre ^ et i est proportionnelle à
/ X dx =
et, pour qu il soit compris entre o et j, a
• dx
<:n\i'. \r[. — piioiuniiiri': mks cAtiSKS. i()i
le l'apport csl 3 cl les pioljahililés dont la somme est runilé sont •etj.
Une telle consé(|iienee suflirait pour contlamiicr le principe.
127. La régularité du rapjxtrt des naissances masculines et léminines a beaucou[) occuj)é les géomètres. On a commis, en étudiant des anomalies toujours petites, des erreurs semblables à celles cpic je viens de signaler. On a assimilé les naissances à des lirages au sort faits dans une urne de composition constante, dans laquelle le rapport du nombre des boules blanches à celui des houles noires dilTérerait peu de celui des nombres de naissances indi([uc par la Slalisticpie.
Une telle substitution n'est légilinic (pie si les écarts observés sont compris dans les limites et suivent les lois que la théorie montre certaines dans une suite d'épreuves réglées par le hasard.
S'il arrivait que, dans la France entière, le rapport, d'une année à l'autre, présentât de trop grandes variations; ou si, au contraire, il se maintenait dans de trop étroites limites, il faudrait conclure, avec grande probabilité, qu'une cause intervient pour régler le hasard ou pour le troubler.
La régularitt- de la proportion à Londres entre les années i(32c) et 1710 a été admirée comme un miracle par un savant, novice encore à la théorie du hasard. Nicolas Bernoulli, digne héritier de son oncle Jacques et éditeur de son beau Livre, montra au contraire dans les chiffres signalés la confirmation des principes. Admettant l'assimilation des naissances à un tirage au sort, sur i4ooo naissances annuelles, tel était le chiffre moyen pour la ville de Londres, il est très vraisemblable que l'excès du chiffre des garçons sur la valeur moyenne ne surpassera pas une fois en cent ans i(J3; c'est l'écart le plus grand que l'on ait observé a Londres.
La probabilité d'un écart inférieur à une limite A enti'c le nombre des naissances masculines, sur i4ooo enfants nés annuellement, et le nombre supposé le plus probable, 7200, a pour expression très B. ir
approchée
e''*dl = e
On suppose, bien entendu, que, par une règle de trois, on ramène toujours le nombre des naissances à i4ooo.
Si l'on fait [i.= i4ooo, X= i63, le produit pq pou\anl être remplacé par ^, on trouve pour probabilité
il V a donc plus de cenl à paner contre un, cliaque année, pour (jue le hasard n'amène pas l'anomalie dont Arbulhnot admirait la petitesse et qui s'est produite une fois seulement eu cent ans.
128. On peut se demander jusqu'où devrait aller la régularité j)0ur qu'il y eût lieu de s'en étonner. Cherchons, pour préciser la question, quel est l'écart qu'il y a dix mille à parier contre un de franchir une fois au moins en cent ans.
Nous avons vu (15) que, si la probabilité d'un événement est -, il \ a dix mille à parier contre un que, sur 9,2 /i épreuves, l'événement se produira au moins une fois. Si l'on a
9,2n = ioo, c est-a-dire — =0,092,
il V aura dix mille à parier contre un pour que l'événement dont la probabilité est - se produise une fois au moins sur cenl épreuves. La probabilité pour que l'écart, pendant une année, sur i4ooo naissances soit ])lus grand que ). est
Déterminons ). de telle sorte que cette probabilité soit 0,09a et, par conséquent,
(■.MAP. \ir. — l'iuHniiii.rn': dks c\usks. i().)
L;i l'iihh' «loniie
-7= = ','()• )/l\t.pq
On |)(Mil rcmj)luccr :>. 'ip<l p:"- jooo; on en dcdiiil
Si, dans un siècle, l'écaii n'avait pas une seule fois dépassé 99; si, sur i/joGO naissances annuelles, le nombre des garçons s'était mainleiui entre -Sgo et 7100, une cause régulatrice serait presque certaine; il y a dix mille à parier contre un, a priori, pour que le hasard, sur cent ('preuves tentées dans la même urne, ne maintienne pas une telle régularité.
129. BufTon a signalé une commune de Bourgogne dans laquelle, sur 2000 baptêmes enregistrés pendant cinq ans, le nombre des fdles a surpassé de ao celui des garçons. Il est né dans cette commune, sur 2000 enfants, 3g garçons de moins que le chiffre normal. La formule donne 0,92 pour la probabilité d'un écart, en plus ou en moins, inférieur à 89; 0,08 est, par conséquent, celle dune anomalie au moins égale à celle qu'a signalée Buffon; les statisticiens la rencontreraient souvent, s'ils la cherchaient.
130. Laplace a trouve, pendant le xviu^ siècle, la proportion des garçons aux filles plus petite à Paris que dans l'ensemble du pavs, 1^ au lieu de ^, chiffre normal adopté alors, auquel les documents nouveaux et plus nombreux ont substitué |4.
Quelle est, se demande Laplace, la probabilité pour que celte différence soit due à une cause?
« A Paris, dit-il, les baj)tèmes des enfants des deux sexes s'écartent un peu du rapport de 22 à 21. Depuis 174^7 époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu'à la fin de 178/1, on a baptisé dans cette capitale 893386 garçons et 877555 filles. Le rapport de ces deux nombres est à [)eu près celui de 25 à 24 : il parait donc qu'à Paris une
lt)| CALCUL PES l'UOBABlLITKS.
cause parliculiôrc rapjiroche de l'égalilé les baptêmes des deux sexes.
» Si l'on applique à cet ohjet le Calcul des probabilités, ou trouve qu'il y a :>.38 à parier contre i en laveur de rcxistence de celte cause. »
Laplace supprime les détails. Ai ses calculs ne sont rapportés, ni les principes sur lesquels ils reposent.
131. Faut-il croire à un écart l'orluil ou affirmer l'exisleuce d'une cause? Les données ne sont pas suflisanles. Comment se prononcer de la même manière si les études antérieures ont appris que le rapport varie très rarement, ou si Ton constate, partout où les documents sont nombreux, des écarts comparables à ceux dont s'étonne Laplace? La solidité plus ou moins grande de la règle qui se trouve en défaut doit faire apprécier différemment les conséquences.
Il n'est pas inutile d'insister.
Si l'on assimile la distribution des naissances entre les deux sexes à des tirages faits dans une urne, la probabilité pour que le hasard produise, sans l'inlervenlion d'aucune cause perlurbatrice, sur 'jyoQÎi naissances, un écart relatif égal ou supérieur à
—-—-—= 0,00142, est
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