I -^ / e-^'dt = i — 01^1 ,7()i I = o,oi
Si donc on dresse des listes pendant un temps suffisant, le hasard seul, on peut l'affirmer, produira 1.) fois sur 1000 environ, dans un sens ou dans l'autre, un écart égal ou supérieur à celui dont s'est préoccupé Laplace.
Si des causes autres que le hasard amènent aussi des anomalies, le statisticien, en classaut par groupes de 'j^oooo naissances les registres de tous les temps et de tous les pajs, trouvera un certain nombre de rapports anomaux égaux ou supérieurs à celui de Paris. Parmi ceux-là, quelques-uns seront dus au hasard, i3 >ur lùoo environ, cela peut être tenu pour certain, si les chiffres
(iiM-. \ii. — l'uui! \iiir.ni: mes rusF.s.
-^onl suffisamniciil i;;rantls. D'autres écarts seront dus à des causes; nous en saurions à peu près le nombre, si la stalisliquc était faite en rctrancliaut du nombre total le nombre probable de ceux que le hasard a produits. Nous n'avons qu'un seul lait : est-il dû au hasard? It serait lénK-raire, impossible mt'uie, d'en rien dire sans accepter sur les prohabilités a pilori quelque convention arbitraire.
13î2. Le |)ossesseur d'un chronomrire a remarqué un retard de 1% (juand la Icmpf'rature de la chambre dont le chronomètre ne sort pas s'élève de lo".
L'observation a été renouvelée Ningt fois.
Ouclles sont les probabilités pour que la chaleur soit la cause (hi ralentissement et pour ([ue le concours des deux faits soit fortuit?
Le possesseur d'un chronomètre a remarqué une avance de i' h; lendemain de chaque jour où les artilleurs se sont exercés au champ de tir voisin.
L'observation a été renouvelée vingt fois.
Quelles sont les probabilités pour que l'ébranlement causé par le tir ait chanj^^é la marche du chronomètre et pour que le concours soit lorluit?
Le possesseur d'un chronomètre a remarqué un ralentissement de 1% chaque fois que la planète Mars passe au méridien entre minuit et i'' du matin.
L'observation a été renouvelée vingt fois.
(Quelles sont les probabilités pour que la planète influe sur le chronomètre et pour que le concours soit fortuit?
Les problèmes sont identiques. Les réponses ne peuvent cependant être les mêmes : n'est-ce pas une raison pour reconnaître les tlonnées insuffisantes?
133. Les habitants de Saint-Malo s'étaient persuadé, il y a un siècle, que, dans leur ville, le nombre des décès à l'heure de la marée haute était plus grand qu'à marée basse.
l6() CALCUL DES PIU)U VB1LIT1^:S.
Admellons le fait.
Supposons (|iic, sur les cùlcs de la Manche, on ait reniarqiu'une plus grande proporlion de naufrages par le vent du nordouest que par aucun autre.
Les chiflVcs recueillis à l'appui des deux remarques étant supposés en même nombre et inspirant même confiance, on sera loin d'en déduire les mêmes conséquences.
Lorsqu'on sera conduit à accepter comme une certitude Tinfluence du vent de nord-ouest sur les naufrages, les gens prudenl> exigeront des preuves nouvelles pour reconnaître seulement vraisemblable rinlluence de la marée sur la dernière heure des Malouins.
Les problèmes, cette fois encore, sont identiques ; Timpossibilité d'accepter une même réponse montre la nécessité de faire intervenir la probabilité a priori de la cause qu'on veut apprécier.
13i. Le fermier d'une maison de jeu a installé une roulette nouvelle. L'instrument, sur loooo coups, a amené la rouge 53oo fois et 4700 fois la noire. L'acheteur refuse le payement et demande une indemnité : les joueurs ont remarqué les sorties plus fréquentes de la rouge et en ont profilé. Un procès s'engage. On allègue le Calcul des probabilités. Jamais, dit le fermier, machine bien construite n'a donné un tel écart. 3oo coups sur 10 000 ne peuveni être l'effet du hasard. La probabilité de la rouge n'est pas ^ comme elle devrait. Peu importe, répond le mécanicien, la statistique des parties jouées : on ne peut pas garantir les caprices du hasard ; la machine, construite par d'excellents ouvriers, a été vérifiée avec soin. Aucune pièce n'est imparfaite \ on ne montre ni roue mal centrée, ni cases inégales, ni nivellement défectueux. Le tribunal nomme un expert. Quelle décision doit-il conseiller?
L'écart observé est un indice. Quelle en est l'importance? L'application du principe(llo) suppose des données qu'on n'a pas.
Les probabilités des diverses hvpolhèses. que nous nommons les causes, sont proportionnelles au produit de leur probabilité a priori par la probabilité qu'elles donnent à révénement.
niM'. \ii. — l'RoriAnii.iTK nKs caiises. i(i"
LY'véncnienl est rarrivcc de r>3()0 lois r(ni<;c stii- loooo ('preuves. La cause Inconnue, c'est la valeur de la [jrohahdilé, donnée par la machine, à l'arrivée de la couleui- rou^c
La probahililé ii jniori, désignée par rrr, dans la (orniule (L15), est complètement inconnue; en supposant, comme on l'a fait dans des cas analogues, toutes les valeurs également probables, on proposerait une hjpothèse inacceptable. Si, réellement, la roulette favorise la rouge, un très petit écart est plus probable ([u'un grand, un très grand est impossible. Les grands écarts sont, en outre, d'autant moins probables que le mécanicien a meilleure réputation et qu'il a emplojé de meilleurs ouvriers.
L'expert doit répondre :
Les faits connus de la cause ne permettent pas l'évaluation des probabilités : il manque l'appréciation a priori de la probabilité (ju'on \ eut connaître a posteriori.
Le calcul serait sans issue.
Il faut simplifier la question.
La machine, suivant l'une des parties, donne à la sortie de la rouge une probabilité peu dillerente de o,53.
Le résultat de loooo épreuves ne permet pas, suivant lui, d'en douter.
La machine, suivant l'adversaire, donne, comme elle doit, à la sortie de la rouge une probabilité voisine de o,5oo. Le soin apporté à la construction ne permet de croire à aucun défaut grave.
Précisons les deux dires :
La probabilité de la rouge, dans l'un des systèmes, serait comprise entre o,49<) et o,5oi ; suivant l'autre, entre o,5l>.9 et o,53i.
Laissons de côté le cas très possible où les plaideurs se tromperaient tous deux, et cherchons le rapport des probabilités de leurs assertions.
Soient X la probabilité pour que la roulette donne à la couleur rouge une chance comprise entre 0,529 et o,53i ; y la probabilité pour que la chance soit comprise entre 0,499 ^^ o,5oi, x-\-y n'est pas égal à l'unité. Le rapport —■, sans faire connaître les deux probabilités, apportera un renseignement utile.
l()S CVIXLL DES l'IlOliABlMTl'-.S.
Soient ra, la pi'obalulili- a priori pour f|ii(' la inacliin»^, d'après ce qu'on savait avant sa mise tri (rii\n\ <ti Icniinl coiiiplc do sa lionne appaiHMice, de la lionne i(Mioniiiit''e du conslrnetenr et de l'apparente sincérité de ses di-cdaralions, ddime à la sortie de la conlenr rouge une valeur comprise entre o,'îj)<j et o,5oi ; rîT., la jjrohahilité, évalut'e toujours avant réj)reuvc, pour <jue. malgré les garanties éiiunK-récs, elle donne une probabilité comprise entre o,5;?c) et o,53i .
7ÏJ, et tuo sont inconnus.
Soient /)( et y?2 les probabilités que les deux, b^potbèses sur le mérite de la roulette donneraient à l'événement observé, on aura (115)
fL — ^\Bl .
En nommant X la probabilité de la sortie de la rouge, la probabilité qu'elle donne à l'événement observé est proportionnelle à
Si l'on suppose
Xi = o,5oo et X2^^o,53o, on trouve
= 0,00000001 JoS.
Le rapport varie peu quand Xj et Xo restent dans les limites assignées. On peut donc supposer
Pi
par conséquent,
y 1 000000000 Tîi-i 6()(3()G()()() t;t2
— est inconnu. Si le constructeur est ti'ès liabile, ce rapport est
très grand; il est invraisemblable qu'iinr" pièce détestable sorte d'ateliers dignes de confiance; mais, «|iiell(' que soit la confiance,
CHAI'. \ii. - pRonvniT.TTi^: des causes. \(')()
en divisant le raj)p()rl (|(ii la mesure j»ar (')C)(\GG()G6, il est à craintire que le (|ii<)li('iil soit petit.
Si vous crovcz (|u un (irhiul tel (]ur relui rpion souiieonne ne peut se pi'oduiic (pi'uue lois sur un luilliou. il restera ()(j à parier < oiilrc I (piil s'esl produit celle lois-là.
135. Les restrictions |)ropos('CS peuvent s'appliquer aux coiisé- (piences déduites par Mitchell du rapprochement fréquent de <leu\ éloiles dans le ciel. Deux livpothèses sont possibles :
Pour être aperçues dans la même direction, deux éloiles n'ont lien de commun, leur vraie distance est immense;
Les deux étoiles, au contraire, sont voisines dans l'espace ; c'est pour cela qu'elles sonl rapprochées dans le ciel.
En comptant les étoiles de i""^, de 2^ et de 3" grandeur et les supposant indépendantes les unes des autres, Mitchell a calculé le nombre probable des groupes dont la distance est inférieure à une limite donnée.
Il ne faudrait pas croire que toutes les distances angulaires soient, a priori, ('gaiement probables : les petites le sont moins que les grandes. Considérons une première étoile, peu importe la jiosition qu'elle occupe. Si une seconde étoile est placée au liasard, pour qu'elle se trouve à une distance angulaire de la première comprise entre 8 et Q H- <:/9, il faut que le hasard la place dans une zone comprise entre deux cercles ayant pour pôles la première étoile et pour ravons sphériques 0 et 0 -l- dh. La surface de cette zone est d'autant plus grande que Q s'approche davantage
<lc '" ; elle est proportionnelle au sinus de l'angle 0 dont on cherche
la probabilité. La probal^ililé pour qu'une étoile se trouve à une distance inférieure à v d'une étoile donnée est le rapport de la zone à une base terminée par le petit cercle dont y est le rajon sphérique à la surface de l'hémisphère sur laquelle on suppose l'éloilc placée au hasard. Ce rapport, égal à i — cos*', peut être représenté, si Y esl petit, par — •
