I-O CALCUL TES l'n(»B\DI I.ITI^.S
Si, par exemple, on j>ron(l
on aura
Le nombre des étoiles des trois pri-tnières grandeurs étant égal
à s3o, 011 peut former '- — - = 26335 combinaisons deux à deux.
La probabilité pour ipie le hasard piocure deux étoiles à distance inférieure à 10' est celle d'obtenir i boule blanche en ^6335 tirages dans une urne contenant une seule blanche et ■>.36S6'2 noires. Celte probabilité est
1 =0, io34o3.
L'ingénieux argument de Mitcholl ne peut pas cependant fournir d'évaluation numérique. La recherche plus ou moins rigoureusement faite de la probabilité pourquele hasard aitproduitles groupes observés n'est pas le seul élément de la question. C'est le seul, cependant, que l'on fasse intervenir. Si l'on trouvait, en étudiant le ciel, trois étoiles de i"^ grandeur ayant, à i^près, la même ascension droite, la probabilité pour que le hasard produise un tel rapprochement est plus petite assurément que la formation fortuite du groupe des Pléiades.
En conclura-l-on, avec la même vraisemblance, que ce rapprochement doit avoir une cause et que ces étoiles, dont la déclinaison diffère de 4^" ou 5o" peut-être, sont solidaires et forment un système?
Personne, assurément, n y songera, et la raison en est que la probabilité a juiori, désignée par ra/ dans nos formules, est trop petite.
Comment définir, d'ailleurs, la singularité dont on juge le hasard incapable?
Les Pléiades semblent plus rapprochées les unes des autres qu'il n'est naturel. L'assertion est digne d'intérêt; mais, si l'on veut
CHAP. VII. PKOnXBILlTÉ DES CAUSES. 1"!
Irachiirc la conséquence en chiffres, les éléments font défaul. Faut-il, pour préciser celle idée vague de rapprochement, chercher le plus polit cercle qui contienne le gr()U|)e? la plus grande des distances angulaires? la somme des carrés de toutes les distances? l'aire du polygone sphérique dont quelques-unes des étoiles sont les sommets et qui contient les autres dans son intérieur? Toutes ces grandeurs, dans le groupe des Pléiades, sont plus petites qu'il n'est vraisemblable. Laquelle d'entre elles donnera la mesure de rinvraisemblancc? Si trois étoiles forment un triangle équilaléral, faut-il faire entrer cette circonstance, assurément peu probable a priori, au nombre de celles qui révèlent une cause?
L'intervention du hasard dans la formation de l'univers est inacceptable. Une loi règle tout, cela n'est pas douteux. Quelle est cette loi? voilà la question. Il n'est pas admissible qu'on demande s'il y en a une et que l'on évalue la probabilité de la réponse.
Si l'étude du ciel suggérait plusieurs lois, on pourrait les mettre en balance et non choisir l'une d'elles, celle du groupement par attraction mutuelle, pour l'opposer à l'ensemble des autres, réunies sous le nom vague de hasard.
Lorsque plusieurs étoiles semblent voisines sur la voûte céleste, leur proximité dans l'espace est la première explication rjui se présente. Ne peut-on pas en imaginer d'autres?
Si l'ensemble des étoiles forme un réseau régulier, si le Soleil en est un sommet, les lois géométriques de cette immense cristallisation peuvent exiger des alignements. La Terre, voisine du Soleil, aperçoit, pour ce motif, beaucoup d'étoiles dans une même direction. L'hypothèse, dira-t-on, ne mérite pas examen. Raison de plus , si on la condamne par l'appréciation des probabilités a priori, pour ne négliger dans aucun cas le rôle indispensable qu'elles doivent jouer.
130. On a attaché beaucoup dimportance à la recherche de la probabilité des événements futurs, déduite des événements observés comme corollaire de la probabilité des causes.
CALCUL DES l'UOB ABTLIl T.S .
Le prohlrinc pciil s'rnoncer ainsi :
Plusieurs causes peuvent produire un même événement dont la probabilité dépend à la fois de la probabilité pour que chaque cause ai;;isse et de la probabilité que, dans ce cas, elle donne à l'événenionl.
Si les probabilités des causes sont m,, ttto rrr,;, et celles
qu'elles donnent à l'événement p^, /j», ..., p,,') '«i probabilité, a priori, pour que l'événement se |iroduise, est
On fait un certain nombre d'épreuves, dans des conditions telles que la même cause, on ignore laquelle, a agi dans toutes. Si les causes sont des urnes de compositions différentes, que le hasard peut df'signcr pour (pion y fasse le tirage, une même urne a servi à tous les tirages. La connaissance des résultats obtenus change les probabilités, qui ne sont plus, pour les différentes causes,
nr,, ns-i to„. On demande la probabilité pour qu'une nouvelle
épreuve, faite dans les mômes conditions que les précédentes, procure l'arrivée d'un événement désigné.
Une urne, par exemple, contient des boules noires et des boules j blanches en proportion inconnue. Toutes les suppositions sont r:^a/ement possibles.
On a fait ijl tirages; il est sorti m boules blanches et /t noires. (Quelle est la probabilité pour que le ('J- + i)"^™^ tirage amène une boule blanche?
Soit .r la probabilité donnée par la composition de l'urne à la sortie d'une boule bhinche. Toutes les valeurs de x sont , a priori, également probables.
La probabilité qu'une valeur .r donne à l'i'véneinent observé est
La probabilité pour que ,r soit compris entre x et x -\- dx peut donc être représentée par
G:r'"i I — X )'^dx,
<;HAP. VII. l'KOUVniLITI. DKS CALSKS, I -.>
G (''lanl iudcpcndanl de j\ La prohahllili- pour (|uc x soil compris cnlre o et i est la cerliludc. On doit donc avoir
donc
r(/n-i-i)r(rt — I)
cl la proljal)ililc pour ([uc le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules soit com|>ris entre x cX. x -k- dx est
r(/n-t- rt -+- 2)
— -= — a?"» i\ — X )" dj\
c'est-à-dire
r. x"^ (1 — X)" dx.
La probabilité pour qu'uuc nouvelle épreuve amène une boule blanclie est la somme des produits des diverses valeurs de la j)robabilité x par la piobabilité pour que chacune soit la véritable, c'est-à-dire
nm-n-^2) r\,n^,^^^y.dx= r(m-n^2)r(m-^2)r(n-^,).
Y{ni-^\)Y( n-\-i)J^ ' Flm-r- i) r(/i— 1) r(//i--n-^ i)'
on a
r(/n-i-n-i-3) tn-^- n • r(mH-2)
et la probabilité demandée est
137. Les applications faites de celle formule onl été presque toutes sans fondement.
On a osé chercher la probabilité pour que le Soleil se lève demain.
Pour chercher la probabilité d'un événement, il faut accepter
1^4 CVLCUL nES rnOBABIMTI^.S.
son contraire coniino possil)lc. Une urne est donc supposée qui contient des boules l)lanchcs cl des boules noires. La [)robabilil(' il'cn tirer i boule blanche représente celle de voir le Soleil se lever. Jamais il n'a manqué : cela dure depuis six uiilh^ ans. L'urne, consultée 2191 5oo fois, a donné sigiSoo boules blanches. La formule donne pour la probabilité d'un nouveau tirage semblable aux précédents
