i<)r)oi

—-ta;-- = 0,9909995 i 3.

Est-il besoin d'insister sur l'insignifiance d'un tel calcul?

Représentons-nous le premier homme au premier coucher du Soleil. 11 devrait, pendant sa première nuit, s'il raisonne comme Condorcet, assigner la valeur | à la probabilité de le revoir. S'il comprend la question et s'il se la pose, les chances pour lui seront beaucoup moindres. Le Soleil a disparu; s'il est éteint, qui le rallumera? S'il est tombé dans la mer, comment en sortirait-il?

Sans avoir cependant la science parfaite que lui supposent les théologiens, le premier homme se persuadera sans doute, après cent apparitions, que le Soleil tourne autour de la Terre; rien alors ne doit kii faire craindre un arrêt brusque, l'absence du Soleil au cent et unième jour ne l'étonnerait pas moins que celle des objets éclairés chaque matin par ses premiers ravons ; faudral-il, en invoquant la formule, supposer qu'après cent jours la probabilité de les revoir est ^—2 L'absurdité serait précisément la même.

Le lever du Soleil, après une année, sera pour le premier homme une certitude.

Si le temps doit la confirmer et l'accroître, c'est par la découverte des lois astronomiques et non par le succès renouvelé d'un même jeu de hasard.

LOI DKS KHUr.l'IlS I) OIISKH V ATI().> .

CHAl'lTUI' Mil.

1,01 DES EItliKUliS DOMSKItVATION,

In (liT Aslninumic i>-t ilin l'raxis ciiio Aufiiabc iler Wahr9('lH>inliclikcils-lti>cliiiuiii;, die Théorie citic Aufgabo (lor liuhercii Mechanik.

138. Poslulalulu de Gauss. — 139. Autre hypothèse faite iinpliciteincnt. — 140. Cas dans lequel le postulatum est rigoureusement exact. — 141. Conséquence des suppositions acceptées. — 142. Comparaison du résultat avec une formule connue; accord apparent, mais non réel. — 143. Autres contradictions résultant de la loi admise. — 144. Conséquence d'un autre mode de combinaison des mesures. — 145. L'observation confirme la règle de Gauss. les erreurs constantes étant écartées. — 146. Méthode de vérification. — 147. Résultats de Bradley discutés par Bessel. — 148. Détermination du paramètre k: diverses formules. — 149. Vérifications possibles. — 150. Valeur probable du carré de l'erreur commise en adoptant la première formule. — 151. V^aleur probable pour la seconde. — 152. Comparaison des deux résultats.

— 153. Les formules peuvent être remplacées par d'autres qui sont préférables.

— 154. Autre modification accroissant la confiance méritée par la formule. — 155. Autres méthodes pour calculer k. — 156. Groupement des observations deux par deux; valeur probable de la plus grande erreur. — 157. Autre démonstration du résultat. — 158. Valeur probable du carré de la plus grande des erreurs considérées deux à deux. — 159. Groupement des erreurs trois par trois. — Distinction nécessaire entre l'erreur véritable et l'erreur présumée. — 160. Cas plus général. — 161. Discussion de la démonstration précédente. —

162. Expression qui caractérise la précision d'un système de mesures. —

163. Ce qu'on entend par poids et par précision. — 164. Si la loi de probabilité était autre, ces deux mots n'auraient plus de sens précis. — 165. Est-il permis d'écarter les mesures rendues suspectes par leur différence avec la moyenne?

— 166. Valeur probable de la plus petite des erreurs commises. — 167. Combinaison d'observations qui n'inspirent pas égale confiance. — 168. Partage d'une grandeur en plusieurs parties mesurées séjiarément. — 169. Evaluation donnée par Eourier en Egypte. — 170. Discussion relative à la détermination de la constante k déduite d'un système d'observations.

138. La loi rigouretise de probabilité des erreurs d'observation varie sans doute avec la grandeur mesurée, comme avec le choix

l-() CVLCIL T)FS l'lU)D\BlI.n-r.S.

(K' rinslnimcnl vl 1 luil»llctc de rolistTxatcur; elle osl inaccessible aux géomèlres.

Euler, Bernoulli, Lagrange cl Laplace oui lait i\v> h\ pollièses déracnlies par les laits et mal jusli(iées par des preuves sans vraisemblance.

(jauss, plus heureux, a déduit d un raisonnemcnl iurl simple une loi que la déinonslralion laisserait douteuse, mais que les conséquences justifient.

Lorsque plusieurs mesures d'une grandeur inspirent une confiance égale, la valeur la plus probable est la movcnnc de celles qu'on a obtenues.

Tel est le postulaluui de Gauss. Tous les observateurs, avant qu'il lût pris pour base de la théorie, y avaient adhéré en en faisant usage.

S'il suffisait d'admettre une règle aussi plausible, la théorie serait parfaite.

A la condition énoncée, il faut, malheureusement, en ajouter plusieurs autres qu'on ne dit pas. Nous devons signaler d'abord une dilîérence essentielle entre la valeur la plus probable d'une grandeur et la meilleure valeur à ado|)ter.

La valeur la plus probable est celle dont la probabilité est la plus grande. Peu importent les autres. Elles doivent toutes, cependant, diriger le choix, à faire. S'il est utile d'accroître la probabilité des petites erreurs, il est désirable aussi de diminuer celle des grandes. S'attacher seulement à choisir la valeur la plus probable, c'est imiter le joueur qui, pouvant espérer un grand nombre de gains différents et craindre un grand nombre de perles, prendrait ses décisions de manière à accroître la chance de gagner le plus gros lot, sans aucunement se soucier des autres.

En disant : '<. En présence de plusieurs mesures d'une même grandeur, le parti le meilleur est d'adopter la moyenne » , et : « La moyenne entre plusieurs mesures est la valeur la plus probable ;>, on énonce deux propositions dilTérentes. On a eu tort de les confondre.

• iiAi". \iii. — • j.or Ttr.a i;i;iiiir,s i» <»ii.m;i!\ \tion. i--

Supposons, pour ilDiincr un c'xeiii|jlc, ipu; Ton clicrclic 1 orij^irie probable d'une plante d'espèce connue cueillie en France.

Dans la Hsle des loo localités où l'espèce se rencontre, on en trouve trois dans la même comnninc du (]anlid cl les autres dans (^- communes difTérenles du Finistère.

La commune la plus probable est en Auvergne; l'origine probable de la plante, la Bretagne.

139. Après avoir proposé le postulatum qui a été admis sans difficulté, Gauss représente par Z){l)d\ la probabilité pour que l'erreur d'une mesure soit comprise entre A et A ~ f/A ; la fonction »(Aj est l'inconnue qu'il veut déterminer.

Ici encore s'élève une objection. La |)robabilité dune erreur A est-elle une fonction de A?

Ne dépend-elle pas de la grandeur mesurée? Si Ion fait une pesée, si l'on mesure un angle, lors([ue le poids est un nombre exact de milligrammes, lorsque l'angle contient un nombre exact de secondes, n'a-t-on pas plus de chances d'évaluer juste que s'il faut ajouter une fraction? Si celte fraction, que l'instrument ne donne pas, est exactement égale à \, n'a-t-on pas, en l'évaluant, moins de chances d'erreur que si elle est 0,2-?

En disant, sans explication : Soit 'f (A) f/A la probabilité d'une erreur A, on s'écarte, dès les premiers mots, de la rigueur promise en quelque sorte par la forme géométrique de la démonstration.

1 40. Il est un cas où, le postulatum étant rigoureusement démontrable, la conclusion cependant n'est qu'approchée. C'est une preuve décisive contre l'exactitude de la théorie.

Supposons que la grandeur à mesurer soit le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules, dans une urne de composition inconnue.

On tire un certain nombre de boules; nous le désignerons par |JL.

Sur ces u. boules, m sont blanches.

La fraction — peut être considérée comme une mesure du rap- B. ' 12