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Le théorème semble confirmé; il est mis en défaut : la for- 1 mule (5) est seulement approchée, elle devrait être rigoureuse- ; ment exacte.

143. La règle des moyennes, il importe d'insister sur ce point, ' n'est ni démontrée ni exacte. S'il était admis que la moyenne entre plusieurs mesures fut toujours la valeur la plus probable, il en résulterait des contradictions. Quand on mesure une grandeur, on mesure, par cela même, toutes les fonctions de celte grandeur, son carré par exemple, ou le logarithme du nombre qui la représente. Pourquoi la valeur la plus probable du carré ne serait-ell<

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pas la moyenne des valeurs obtenues pour le carré, et la valeur probable du lo^^arithmc, la moyenne des logarithmes?

La valeur la plus probable d'une grandeur dont les mesures successives sont x,, x^, • • • , JC,, serait alors représentée par l'une ou l'autre des formules

le carré de la première est, en efTet, la moyenne des carrés, et le logarithme de la seconde, la moyenne des logarithmes.

Il ne faut pas, pour écarter l'objection, faire une distinction cnlrc les grandeurs directement mesurées et celles qui résultent d'un calcid. Un mécanicien pourrait, bien aisément, annexer à une balance une aiguille marquant le carré ou le logarithme du poids. Ce carré ou ce logarithme deviendrait alors la grandeur mesurée. Le postulalum admis dans un cas devient donc impossible dans les autres.

La seconde supposition indispensable à la démonstration, la possibilité d'exprimer la probabilité d'une erreur en fonction de cette erreur seulement, implique également contradiction. Lne grandeur étant égale à X, on lui trouve, en la mesurant, la valeur .r, ; l'erreur est X — x^. L'erreur sur le carré est X- — X'^. Si l'on pose

on aura