X- — xj — ixi z -^ z
la probabilité d'une erreur z étant 'c^iz-'), celle de l'erreur 2 j, r -;- :'sur le carré sera aussi csfr . Elle n'est pas une fonction de l'erreur commise.
LH. L'importance du résultat justifie l'étude et la discussion minutieuses des détails. Nous résoudrons encore le problème suixant :
Si Gauss avait adopté, au lieu de la moyenne, un autre mode
l8i CALCIL DES l'nonVBILITl'.S.
de combinaison des mesures, quelle loi tics erreurs m ;mr;ilt-il déduite?
En supposant que
(.: ' «pUTi, .T., ar„)
représente la valeur la plus probable d'une grandeur dont les valeurs successivement obtenues sont .ri, x-2 .r,i, quelle est la
loi correspondante pour la probabilité des erreurs?
En général, nous allons le démontrer, il n'existe pas de loi, ex|)rimant la probabilité d'une erreur A en fonction de A, (|ui puisse justifier l'adoption de la fonction a. Le problème ne peut être résolu que pour certaines formes très particulières.
En désignant par z la valeur de la grandeur mesurée et par d»(A) la fonction de A à laquelle est proportionnelle la probabilité d'une erreur A, la valeur la plus probable : doit rendre maximuiu le produit
<l< z — Xi) •li( z — Xi). . . à{z — Xn).
La dérivée par rapport à ^ de ce produit doit être nulle et, si l'on pose
on doit avoir
(8) F{z — xi) -^ F {z — Xi) -^ . . .-\- F {z — Xn ) = o ,
z étant lié à .T), ^2, . . . , ûTh par la relation
z = (^(Xi, X-i x„).
Pour que l'équation (8) puisse être satisfaite par une fonction F, il faut que les valeurs z — x,, z — x-^, • • -, .:; — -Tu de la variable, auxquelles correspondent les valeurs de la fonction dont la somme doit être nulle, ne soient pas indépendantes les unes des autres.
Les n fonctions de n variables
o — J-,, O — Xi, ^ — X,i
doivent être liées par une relation. Il faut et il sufiit, pour cela, que leur déterminant fonctionnel soit nul.
(ll\l'. \in. I.ni OES ERRELRS n'oiiSKH V ATIO.N . I 83
( )n doit avoir
d-:i d(f cl'^ r/(p
dxi dxi r/.r, r/j-.
dxi dx-.
dx„
dXn
d'f dxt
EL
dXn
ce qui tlonnc rc(|iiali()ii linéaire
d'i dx\
d^ dxz
do dx,i
dont
'inléyrale est
Xi-^.
Xi).
Telle est la seule forme possible de la fonction ci, pour laquelle la recherche, telle qu'on l'a faite, puisse donner une loi de probabilité.
La forme obtenue pour 'j j)eut se définir simplement. La fonction o est telle qu'en donnant à toutes les mesures prises un même accroissement a. elle augmente elle-même de a. Cette condition est nécessaire et suffisante pour que la fonction ail la forme (91.
Si l'on prenait
\ <j>(.rj,a'2. Xu) = ^x'^-^ xl-T-. . .-r
( 0(3-1, ar.2 ^n) = V^lr^i^ ■•■,^n,
la condition ne serait pas remplie.
Aucune loi de probabilité des erreurs, en fonclion de relieur commise, ne peut donc justifier l'adoption des formules (10).
lio. Malgré les objections précédentes, la formule de Gauss doit être adoptée. L'observation la confirme : cela doit suffire dans les applications. Les conséquences minutieusement étudiées se sont toujours trouvées d'accord avec les faits. Il est bien entendu que
l84 t Al.c.l 1, 1)1 S im;()ii \i:i 1.1 I i;>.
IfS erreurs constantes sont en ileliors des Ibrinules: chaque observateur doit étudier son instrument et sa méthode pour les écarter. La moyenne, évidemment, ne peut donner que la mesure entachée de Terreur systématique inhérente à rinsliiiniciil. Si Ton pèse avec de Taux poids, si les fils de la lunette sont mal plact'-s. les moyennes ne pourront pas faire les corrections; c'est à la grandeur mesurée accrue de l'erreur constante que se rapportent alors les forimiles.
1 46. Disons dabord comment la vérification de la formule a été faite.
Bessel, le premier, a fait la comparaison des erreurs commises dans de nombreuses observations avec les conséquences de la formule de Gauss.
Le théorème de Bernoulli permet d'affirmer (jue, dans une série suffisamment nombreuse, si l'on partage les erreurs en groupes bien définis, chaque groupe se présentera un nombre de fois à peu près proportionnel à sa probabilité.
Bessel a étudié quatre cents observations de Bradley portant sur les coordonnées , parfaitement connues aujourd'hui , d'une même étoile. Les erreurs ont été classées par ordre de grandeur; on a compté le nombre de celles qui sont inférieures à o", 4 c" valeur absolue, le nombre de celles qui sont comprises entre o". 4 et o",8, etc.
On a comparé ces différents nombres avec le Tableau des nombres probables de chaque groupe d'erreurs, d'après la loi de probabilité admise
Le calcul exige la connaissance de la constante k. Les méthodes pour la calculer sont nombreuses; leur accord numérique est une des meilleures vérifications de la théorie.
Nous reviendrons sur cette im[)ortanle question. Bornons-nous à faire remarquer en ce moment que chacun des calculs qui vont donner, en fonction de /: supposé connu, le nombre probable
«;il\l'. \lll. - LOI DKS KHUKl.US I) OllSKIl V AI I().\ . iS")
des erreurs d'un i:erl;iin i^roiipe, siiflil, par la condition d'éj^alcr le rcsullal tlu calcul à celui de l'expérience, pour fournir une valeur de k. Si l'on n'avail (|u'un groupe, la détermination de lu constante par la condition de satisfaire à l'égalili'' qu'on veut vf'rifier formerait un cercle vicieux. Mais les égalités sont nombreuses. Chacune d'elles déterminera une valeur de /r; on adoptera la moyenne et les vérifications ult('rieures auront toute leur valeur.
Nous aurons d'ailleurs à revenir sur ce problème très important de la détermination de le.
La probabilité d'une erreur comprise entre z Gl z -\- dz •'•lanl
v/tt celle d'une erreur plus petite que a, en valeur absolue, sera
