AX
et, par conséquent, ). désignant Terreur probable, la valeur correspondante de A- est
148. Bessel a trouvé par la discussion des 470 observations de Bradlej, en réduisant les nombres par une proportion à Th^pothèse de 100 observations seulement, les nombres suivants pour les erreurs variant de o ". /j :
J»^8 CALCUL PKS PnODABILITÉS.
Dcclinaison d'une c toile.
Nombre
Erreurs.
des erreurs.
Nombre ca
L'élude des observations d'ascension droite de la même étoile a donné :
Nombre Erreurs. des erreurs. Nombre calculé.
Cent déterminations de l'ascension droite de l'étoile polaire laites à l'observatoire de Konigsberg, de 181 3 à 181 5, ont donné :
CHAP. \III. — LOI DKS KlUUaillS I) <»11SKK V \TI()> . |.S(|
Nombre
I>rciirs.
des crieurs.
Nom
bre calculé
149. Nous devons dire maintenant comment on détermine le paramètre k.
Deux cas peuvent se présenter : si les mesures ont porté sur une grandeur exactement mesurée avant ou après les observations qu'on discute, toutes les erreurs sont connues avec certitude. Si, au contraire, les mesures ont été prises sur une grandeur qui n'est connue que par elles, les eri'curs sont incertaines comme la grandeur elle-même; et, en donnant ce nom d'erreur à la difTérencc entre chaque valeur observée et la moyenne, on ne peut avoir qu'une évaluation vraisemblable et approchée.
Nous traiterons d'abord le premier cas, auquel se ramène le second.
La détermination approchée de A" peut se faire d'un grand nombre de manières. H suffit, en effet, de calculer la valeur probable d'une fonction quelconque de l'erreur commise dans une observation. La moyenne des valeurs de cette fonction, dans une série suffisamment nombreuse, en vertu du théorème de Bernoulli, différera peu de la valeur probable. Eu les égalant, on obtiendra la valeur de k.
On peut ainsi déduire la valeur approchée de k de la valeur
r.ALClI. DKS PROli Vnil.TTf.S.
jn'obahlc de rerrcur prise en valeur absolue, du carré de l'erreur, du cidje el, en général, d'une puissance quelconque de l'erreur. La probahililé d'une erreur :; étant
la valeur probable de :■, considéré comme essentiellement positif.
est
La valeur probable de :- est
celles de z-^ el de z\
dz =
En admettant que, sur un grand nombre d'épreuves, la moyenne des valeurs d'une grandeur dift'ère peu de la valeur probable, en nommant e,, ^o, ..., Cn les erreurs successivement commises dans n observations, on pourra écrire
— et
-el
-el
-eh
A-SyT^
loO. Chacune de ces équations donne une valeur de /»•; elles doivent s'accorder et s'accordent, en ellct. dans les applications,
(IIM*. \lll. I.ni m;s KIIIUMIIS M onSl.ltV \ IKtN . 1(^1
(111110 manière 1res satisfaisante. On en déduit ces relations re-
iuarqiial)los. S|, So, S3, Sj désignant la somme des erreurs,
prises en \aleur absolue, la somme des carrés, la somme des
cul)i'.s, la somme des (]ii;iliiiiiies |>ui>,san(;c^, on doit avoii* ai)-
proximalivemcnt
n TT
Si\2 i n
Ces lornuilcs sinji^ulières , dont le premier membre est fourni parle hasard, méritent tant de confiance (juun calculateur à qui des observations sont remises et qui trouve ces égalités en défaut peut tenir pour certain qu'on a reloucbé et altéré les résultats immédiats de l'expérience.
loi. Il importe d'évaluer la confiance méritée par les valeurs de la constante k que nous venons d'obtenir. Cette appréciation consistera dans le calcul de la valeur probable de l'erreur commise en adoptant une des équations précédentes.
Lorsque nous écrivons, par exemple,
ey-^e.2-^.. .- en i (lit — = o,
l'équation n'est pas rigoureuse. Nous savons que, pour de grandes valeurs de /?, la movcnne des erreurs diffère peu de — -pu qui est
la valeur probable. Quel que soit n, une grande différence est possible, cela est évident; mais elle est peu probable.
ISous aurons une appréciation de la confiance méritée par l'é-
H}>. CALCIL nKS PROBARII.ITns.
(jualion in on clicrcluml la valeur piohaldt' de
[ n TV^J'
On comprend la nécessité délcver l'expression an carré, l'aile peul èlrc positive on négative; sa valeur probable est nulle, cela ne prouve nullenuni la piécision des mesures; les grandes valeurs peuvent être délruiles dans la somme par des termes de
On a
- 1 9 \ — V ^2 : JL V ^ . -,'
nk^^^''^^--
La valeur probable de chacun des termes du second membre est connue.
Le carré d'une erreur e^? a pour valeur probable — ,^; l'erreur c,.
qui est prise ici en valeur absolue, a pour valeur probable — — ,
A" y' ir
et le produit eief de deux erreurs a, par conséquent (^48), pour valeur probable — .— • La valeur probable de l'expression {i-à) se réduit, en avant égard au nombre des termes de chaque somme, à I n.n — I ,' I \ 2 I I / 2\
elle tend vers zéro lorsque n augmente. lol2. Cherchons la valeur probable de
\ n "xk^ ]
cette valeur étant calculée, bien entendu, de même que la précédente, avant les opérations faites et sans qu'on puisse prévoir ni présumer quelles sont les plus grandes erreurs. L'expression ( i3) peut s'écrire
<1I\I'. \lir. -- LOI KKS KIlUF.UnS I) OnSKHVATION. Ml.»
La valeur probable s'obtiendra en rtni|)la(;aiit r^*. quel (|iie soii /. i)ar sa valeur probable ryr, e; <?'- par -,- el rj par — r- • On a ainsi poiir valciii" |ii()lial)l(' (le lia)
i/îÂ* ■ n- )/.* >./.'• /I^i '" •;/</■'•'
Io!2. On jieiit se demander quelle est, entre ces deux évalualions d'erreur à craindre, celb,' (jui justifie le mieux la formule correspondante.
Il ne faut pas se borner à comparer les résultats — V ( i — - i et — — pour donner l'avantage au plus petit. En admettant que
ces expressions donnent une (tppri'ciation de l'erreur à craindre ces erreurs ne portent pas sur la même inconnue. La première est
commise dans l'évaluation de — —; l'autre, dans celle de —r- Ce (pi'il faut assurer évidemment, c'est la petitesse de l'erreur commise sur k. Soit j- celte erreur, l'erreur sur -j sera — -p; |-, et sur
j^ elle sera, en négligeant bien entendu j-, — 7:3 J'J le carré de >ur — — est donc —rr y-, et le carré de l'erreur
erreur commise si
commise sur —n, est 7-r v'-.
Les résultats obtenus doivent donc s'énoncer de la manière suivante :
La valeur probable de —77 y- est — >- ( i ) :
La valeur probable de -7-: y- est — .- •
Par conséquent, eu adoptant la première formule, celle qui déduit /i de la moyenne des erreurs, la valeur probable de^* est
ttA-2 / 2\ A-2 , ^
et, en adoptant la seconde, c'est-à-dire en déduisant /. de la B. i3
1 ()4 CALCUL DKS PI\Oll AIIILITKS .
moyenne des carrés des erreurs, la valeur lirohaliK- de j>'- est
■}.n La seconde forniulo doit èlre préférée.
153. Les formules précédentes peuvent être remplacées par d'autres qui donnent une plus i^rande chance d exactitude. Nous résoudrons d'abord le problème suivant : Déterminer la valeur de \ (]ui rend minima la valeur probable de
Celte expression peut s'écrire
^|.^ J 2^ r£i ^- X2— — ~vge'
En remplaçant les erreurs ei et leurs carrés par les valeurs probables, on a, pour valeur probable de (i5),
( IK X2 X2(„ -i) ,
k- k'^J-K ik^n ' n k-r.
ou
