X- / ( M 2 \ -il I
'2k- \n ' t: n-K J k'^J-H ^* Le minimum correspond à
Il convient dt)nc, pour diminuer les chances d'erreur, de remplacer la formule
par
,.6) ;^ ^" fe,^e,^...^en\
(IIVP. VIII. ].()] DF.S KnUFlUS D OnSTR V ATION . \ ij.}
151. ?Soiis (li'icniiilu'ioMS le fadeur ). |);ir la condition que la valenr prohahle <li' re\|»i('Ssion
(.7) (t^-'- -rt )
soil la j)lus pclile possible.
Cette expression peut s'écrire
En faisant le calcul comme au n " 153, on trouve pour valeur prol)al)lo (le celto expression
Le minimum correspond à
fj
On diminuera donc la valeur probable du carré de l'erreur à craindre, en substituant à la formule
i 2Cef -i-g| -^.. .-^el) Â2 ~ n
la formule, probablement plus exacte,
Â* rt -i- 2
155. Les déterminations de la valeur approchée de A" sont en nombre infini.
On peut poser le problème d'une manière différente.
Les observations sont faites, on connaît les erreurs, quelle est la valeur la plus probable de Â", la valeur probable de k et celle de Â'^?
On sait que la valeur la plus probable n'est pas la valeur pro-
iq6 CALCUL DES PROBADILITÉS.
bablc cl que la valeur probahK' du carre n'est uullcuicnt ('^alc au carré de la valeur probable.
Soient Ci, r^^ • • • ■< ''« 'es erreurs successivcmcul coniiuises, A la valeur inconnue du paramètre caractéristique de la série d'observations.
L'événement observé étant l'arrivée successive de // erreurs e,, e.j,, ...,e,i, la probabilité de cet événement était, avant l'épreuve, proportionnelle au produit
des probabilités simples.
La valeur de /." la plus probable est celle qui rend ce produit maximum.
Le maximum correspond à celui du logarithme
/i/A — A-2( ef —el- ... ,- el ), c'est-à-dire à la valeur de /. qui annule la dérivée
j — ■i.k{e\ H-e| -^...-^el),
I e'] -\- e\ -r- . . . -^ e}, •1 k- Il
C'est une des formules déjà obtenues.
Au lieu de la valeur la plus probable de /• , on peut chercher la valeur probable, f[ui doit, en général, être préférée; la valeur probable est l'espérance mathématique de celui qui, après les . mesures prises, attendrait une sommes égale à /• . I
La probabilité d'une valeur de k est proportionnelle à j
En désignant la somme des carrés des erreurs par Sj, on peut
la représenter par
On déterminera G par la condition
CFiM'. viir. — LOI PF.s KnnEi lis ri onsr.nv ATio.N'. tQ-j
<(iii exprime que la probahililé pour que /. soil compris cnlrc o el oc est égale à l'unité. Ou a
par conséquent,
La probabilité d'une valeur /. du paramètre est
La valeur probable de /r est la somme des produits obtenus en multipliant chaque valeur de /.■ par la probabilité qui lui correspond
— —^ / k'^^^e-^'-''- dh = = ^
qui se réduit à
Si l'on suppose 11 très grand, en remplaçant la fonction y {x) j)ar sa valeur approchée
on trouvera
I()S CALCUL DES mOBAlilLITÉS.
Il*'
V/ I><^ut, n ôlanl Irrs grand, clro remplace' par liiniu''
ni
et, en siipprlinanl le facleiir coniimin c - -, on pcul écrire
Le produit e ' ( ih ) a pour limite l'unité, cL l'on voit ai
sémcnl que, pour de grandes valeurs de /i, le rapport
a i^our limite — r-'
La formule nouvelle est donc d'accord avec celles rpii donnent
I So
lorsque n devient très grand.
lo6. La loi de probabilité étant admise, on peut chercher à l'avance la probabilité d'une combinaison quelconque des résultats des mesures. La valeur moyenne de la quantité calculée, si le nombre des mesures devient grand, différera peu de sa valeur probable.
Nous résoudrons quelques problèmes dont les solutions, remarquables par leur simplicité, permettent d'élégantes vérifications.
Si, après avoir fait un grand nombre d'observations, on les groupe deux par deux en chargeant le hasard de les associer, et (pie, dans chaque groupe, on choisisse la plus grande des deux erreurs, la valeur probable de cette erreur peut se calculer : elle est le produit par \J:>. de la valeur probable d'une erreur prise au hasard. La probabilité pour cpic, sur deux erreurs prises au hasard,
rn\p. VIII. - LOI DIS iiiiii'iMî.s n (»iisi itv aiion. i (^(^
l'une soiL cuinpiisc entre z el zdz cL laulre plus pelitc (juf
z est
1.0 premier facteur est, en ed'et, la probabilité pour (pie l'erreur, positive ou négative, soit comprise entre :; et :; -f- </j; le second, la probabilité pour qne la seconde erreur soit plus petite (pio ;. On multiplie par >,, parce que Tune ou l'autre des erreurs cherchées peut être la plus grande et égale à z.
La valeur probable de z s'obtiendra en multipliant la |)r()babilité par :: et faisant la somme pour toutes les valeurs de :;
En intégrant par parties et remarcpianl que le terme intégré disparaît aux deux limites, cette expression devient
^tJo
e-^^'^*dz
\/t^ Jo k y/iî
c'est le produit par y 2 de la valeur probable d'une erreur.
La valeur probable d'une grandeur quelconque différant peu, sur un grand nombre d'épreuves, de la movennc arithmétique des valeurs fournies par le hasard, l'application de ce théorème à une série de mesures d'une grandeur connue donnera et a donné à plusieurs reprises une vérification des formules.
157. Le théorème précédent, remarqué expérimentalement par M. le commandant Delaunej, peut s'obtenir plus directement.
ooient .r, el jc^ deux mesures prises successivement,
peut être considéré comme une mesure.
En nommant e\ et Co les erreurs commises sur c, et t'o, le carré de l'erreur sur celte mesure nouvelle sera
(m) eî-f-e|-^2e,ea
UOO CALCUL DKS l'UOBAniLITl^.S.
La valeur probable «Je CfCn est nulle, puisque les valeurs positives de Ci et de c^ ont même probabilité que les valeurs négatives. La valeur pi-obnble de (iq) est donc
c'est précist-nicnl la \aleur j)robable du carre de l'erreur pour un système de mesures dans lequel le paramètre caractéristique />• serait remplacé par /> y a.
La valeur probable de l'erreur commise sur ' ' - est donc
, /- / • Mais cette erreur peut être la somme ou la diflerence des A- /2 yT *
deux erreurs commises sur x, et Xo : la somme, si ces erreurs sont de même signe; la diflerence, si elles sont de signes contraires. Les deux suppositions ont chacune pour probabilité ^; on a donc, en nommant G et P la valeur probable de la plus grande et celle de la plus petite des deux,
c'est-à-dire
par conséquent.
k\/TZ
s/i k v/it
158. On peut, en chargeant le hasard de grouper les erreurs deux à deux comme dans le calcul précédent, calculer la valeur probable du carré de la plus grande.
L'expression de cette valeur, obtenue par un raisonnement tout semblable, est
y'TT i/o J^ \T^
'dz.
CHAP. VIII. LOI DES ERHF.tnS n OllSKIt V \TIO\ . Vf) I
l'^n inlégrani par parlics, laisaiil j)i)ilcr riiilrfjjralioii sur ze~'' ~'dz et reniarquaiil (|iic le terme ifité<;r<' disparaît aux limites, cette expression devient
^-A[';\/- éiant la dilléi eiilitile de lintégrale pai- laquelle il est niulliplié dans le premier terme. On a
on a aussi
et la valeur probable du carré de la plus grande erreur est
139. On peut grouper les erreurs trois par trois, en chargeant le hasard de les associer, et chercher la valeur probable du carré de la plus grande des trois.
Un raisonnement identique aux précédents donne pour celte valeur probable
e-f^'-'-'-dz \ .
Intégrons par parties , en faisant porter rintégration sur ze~'^'^' dz\ en posant, pour simplifier l'écriture,
e-k'-'-^dz = 13 (s),
et n'écrivant pas le terme intégré, qui s'annule aux deux limites, nous aurons
( 20 ) — / e-*'-'c7( z )- dz -^ I e-* - z m J i ra i - ) a- ,
— — / e-f^ •■ TniZ)-dz-^. /
202 CALCUL DES PROD VlilLlTÉS.
mais on a
/ zw{z)T!3\z)e^'~'-dzr-. e-î*'-'-tn(;:) --^ / j-p-Bj'(5)rfc
— I — —.— — az — — — - •
La subslilulion de ces résultats clans l'expression {.io) donne, |»our la valeur probable cherchée,
160. Dans toutes les formules précédentes, que les observalions soient faites ou projetées seulement, ce sont les erreurs véritables qui sont introduites.
11 arrivera très souvent (dans l'immense majorité des cas, on peut le dire) que, la grandeur étant déterminée par les observations seulement, les erreurs, évaluées par la diirérence de chaque ] mesure avec la movennc, différeront des erreurs véritables qui restent inconnues.
En remplaçant l'erreur véritable par l'erreur présumée, on obtiendra une valeur approchée de la constante /". On a proposé, dans ce cas, des règles de correction fort simples, dont la démonstration, malheureusement, peut laisser des doutes.
Le problème est celui-ci :
X,, Xo. . . . , jr„ étant les mesures successivement prises d'une grandeur X, si l'on adopte la valeur
x^-^- Xf
l'erreur probable est d'autant moindie que n est plus grand, pourvu que l'on ail pu, comme nous le suj)posons toujours dans ce Chapitre, écarter les erreurs constantes.
CH.vp. viir. — LOI i)i;s KunEiiis n'oiisKnvATif»'. ao.'î
La fininiilc
/ , «î -+-el-f.. .-
^ef, 1
~ .iAî
sera remplacée par
^ ^\ -Xt)i-^(\-Xty^.
■xkr
Celle valeur de -.- n'est pas, je n'ose pas dire exacte il ne
faut espérer dans aucun cas ([u'ellc le solli, mais conforme à la formule cpi'on voudrail appliquer.
La formule (•^^) donnera -.- toujours plus petit que — .- déduit de ('21 ). La correction la plus plausible consiste, nous allons
le montrer, à multiplier la formule {'2.'2. ) par ; ce qui, lorsque
n est grand, en changera très peu la valeur.
L'expression (22) proposée pour représenter — ,— peut être
transformée par l'introductioa de l'erreur E commise en adoptant la jnovcnnc X pour valeur de la grandeur mesurée.
Les (liflcrences X — "C( , X — X2, . . . , X — x„ sont rigoureusement égales aux différences E — ^1, E — t'o. . . • , E — e„, et la formule (22 ) peut s'écrire
(E - eiY-^ ( E - €2)^ ^. . .- (E — enY ,
n identique à
g| — e| ^. ■ ■— e;î , /<E-^— ?.E(e| - eo-r- . . .— e„) (■li) - — - — — -\ ,
mais E, étant l'erreur commise sur la moyenne, est égale à la moyenne des erreurs, et la somme ^'i H- ('o-^- • • • + ''« est égale à nE^ l'expression (22J se réduit donc à
, ,s I ^ 1 "^ ^ 2 • • ■ ^'t Tr-2 ^"^ ^A-l = n ^'
Le premier terme représente la valeur de - ,, telle (pie la for-
imilei:>i ) doit la donner. Celle valeur csl diminuée de K-; par consé(juenl, k'^ csl |dns p^rand que A-, el la subslilulion des erreurs présumées aux erreurs vérilables, en accroissant la valeur
de /.-, conduit À nltiihiicr aux ohservalions une pri-cision j)jus grande cpi'il ne laut.
On a exaclcmenl
ei-+- ej — ...-!- Cn .
par conséquent,
Les erreurs e,, ef sont les unes positives, les autres négatives, et, les mesures n'exposant, c'est l'hvpolhèse, à aucune erreur constante, la valeur probable du produit eiCi est nulle. On se permet pour cette raison de supprimer le second terme de la formule (^o). 11 peut en résulter une erreur notable: une grandeur dont la valeur jirobable est petite est certainement petite elle-même, quand elle est essentiellement positive; mais, quand elle peut, comme ici, changer de signe, la valeur probable étant nulle, cela prouve seulement que les valeurs positives ont même probabilité que les négatives. Elles peuvent être fort grandes. Quoi qu'il en soit, les observateurs, sur le conseil et à l'exemple
de Gauss, suppriment le second terme de (aS) et —p devient
on conseille, en conséquence, pour calculer — -> de diviser la
somme des carrés des erreurs présumées par n — i et non par /?, dénominateur prescrit pour la somme des carrés des erreurs réelles.
IGl. La formule précédente prend, dans un cas plus général, une forme différente, très élégante et très souvent appliquée. Soient X,, X2, . . • , Xp, p grandeurs de même espèce mesurées
ciiAp. viii. — i.di nies Kiw.r.ins d (>BSi:nv\Tio,>'. ?.oj
par les mêmes procédés, avec le inrine instrument et les mêmes chances d'erreur. Cliaqiie mesure a éti- r('|)ro(liiilc pltisic-urs fois : la première, /?, fois; la deuxième, n ^ fois. .. ; lii dernière, n p fois, les erreurs successivement commises étant <'\, e'.,^ . . . , e„ pour la première mesure; e\, <•".,, . . . , )\^ pour la deuxième; c\^\ cl' , . . ., c'f^ pour la deniièie. La formule ('-i), évidemment applicable, donnera
•>.k'^ rii-^ riî-^ . . .- rip
Supposons que, les valeurs véritables des grandeurs mesurées restant inconnues, on remplace chacune d'elles par la moyenne des résultats obtenus en la mesurant. Si E'" est rerrcur ainsi commise sur l'une d'elles, les erreurs apparentes seront
(E'-eV), (E'-a), ..., {Ey-^e<J^),
et la substitution de ces erreurs apparentes aux erreurs véritables remplacera, comme on l'a vu (160), la formule (26) par^
1K^ «I -t- «2 — ...-i-rt/,
Mais e',, e.,, ..., e^ étant les erreurs commises dans la mesure d'une même grandeur et le paramètre de précision étant /., on a approximativement
La même réduction peut se faire pour les fractions relatives aux autres grandeurs, et la formule (^2-) devient
j ^Tk^- f (^^P \
-ik-^ I\ '~ ■ik-^\ N j'
N désignant le nombre total /i, -r /'u -r • • • + ^z» des mesures prises.
2o6 CALCUL DES PnOBAItlMTl'lS.
l.ïi formule conscillrc dans ce cas est, d'après cela,
2 (X| — Xi)- clanl la somme des carrés de loules les erreurs prcsiimcps et N — p l'excès du nombre lolal des mesures sur le nombre des i;randeurs mesurées.
Si les erreurs récilemenl comuiises étaient connues, il laudrait diviser la somme de leurs carrés par !V et non par N — p.
La démonstration suppose, malheureusement, (pie l'on puisse regarder comme nulle la somme des produits des erreurs considérées deux à deux.
162. Les erreurs C), e.:>, .... e,i étant approximativement connues dans chaque application de la méthode, on pourra, dans chaque cas, vérifier approximativement aussi l'exactitude de l'hjpothèse faite en supprimant le terme -C/C/.
Cette vérification, si n est grand, entraînerait, il est vrai, des calculs hors de proportion avec l'importance du résultat.
Il est digne de remarque que, dans l'expression
leiCr,
dont les termes, les uns positifs, les autres négatifs, ont tous, a priori, si on les considère isolément, même valeur probable, le nombre des termes négatifs doit, le j)lus souvent, l'emporter sur celui des termes positifs.
Soit ■>.<j. le nombre des épreuves. Le cas le plus j)robable est celui où, parmi les erreurs, il s'en trouverait u positives et ijl négatives; le nombre des produits <?,<?<> dont le signe est négatif se trouve alors égal à ijl- et le nombre des produits positifs est jj.([j. — i). La différence est ix. C'est une raison, dans ce cas, si l'on ne sait rien de plus, pour présumer que cette somme arbitrairement négligée sera négative.
Si l'on nomme jx — a le nombre des erreurs positives et \i. -\- x celui des erreurs négatives, le nombre des produits <?<f|V obtenus
<ii\i'. \irr. — LOI DKS KRUKuns I) onsK.nv \Ti().\. '-(oj
(Il imiltipliiinl une erreur positive p;ii' une erreur in-f^alivc sera
|ji* - a^ ; (••'lui des produits positifs est
- ( rjL T- a ■) i' [x -+- a — I ) -i — (' a — a ) u — 2 — i 1 — u* — a* — a.
Le nombre des produits ii»'gali("s sera le plus j^Maiid, si l'on a
nT- < |JL — a2,
Lii j)r()l),il)ilii(' |)our (|u Une erreur soit positive est ^; par conséquent, la probabilité pour que, sur 2|j. erreurs prises au hasard. V/'Corf, difTérence entre le nombre des erreurs positives et le
nombre le plus probable a, soit plus petit que 1 - est (65)
J^ V 2 e-''dt = 0,68.
La probabilité pour que le nombre des produits négatifs l'emporte sur celui des produits positifs est donc plus grande que |.
