La formule

caractérise la précision dun système de mesures dans lesquelles une grandeur a été successivement trouvée égale à x,^ jto, • • • . ^«. On peut lui donner une forme plus élégante et plus commode. Xi et Xi' étant deux quelconques des n mesures, l'expression est identiquement égale à

(29) -Zixi^xrr-.

Les deux formules (28) et (29) sont composées des mêmes termes.

2o8 CALCUL PES PnOD VniLlTF.S.

On a. iiloiiliqiiomcnt aussi,

La valeur de — , . fsl donc donnée par la diinTcncc entre la nioycnnc des carrés des mesures prises el le carré de leur moyenne. Si loules les mesures sont égales, Texpression se réduit à zéro. La précision doit être supposée infinie.

IGi. Lorsquttn a pris plusieurs mesures d'une même grandeur, calculé la moyenne, déterminé la valeur de la constanle spécifique k, cette constante A* est souvent nommée \îi précision et A- \e poids de cliatpie observation.

Il importe d'expliquer ces locutions.

La précision d'une mesure est dite a fois plus grande que celle d'une autre mesure, lorsque la probabilité d'une erreur comprise entre ;; et ^ -r dz pour une mesure du premier système est la même que celle d'une erreur comprise entre a:; et y.(z -\- dz) pour le second. Si, par exemple, les erreurs commises sur les minutes, en mesurant un angle, ont mêmes proliabilités que les erreurs sur les secondes commises en se servant d'un autre instrument, la précision du second système de mesures est dite Go fois plus grande que celle du premier.

Le poids d'une observation est dit [i fois plus grand que celui d'une autre observation, lorsque les conséquences que l'on peut déduire sur la valeur de la grandeur mesurée par une observation du premier système équivalent à celles que l'on peut déduire de ^ observations du second système donnant toutes le même résultat.

Si ^ n'est pas entier et qu'il soit égal à une fraction — > il faudra que m observations concordantes du premier système puissent être remplacées par n observations identiques du second.

Le système d'observations qui donne à l'erreur ; une probabilité proportionnelle à

(IIAP. VIII. — r LOI DF.S KIIUKIKS il OIISKII V AT lO N . f.iU)

aura A pour précision et A- pour poids, si l'on prend pour unités la précision et le poids d'une observation d'un système dans lequel la prohaljilité d'une erreur z serait proportionnelle à e~'''.

La piuhaljililc il'une erreur eomjiiise entre z et :■ -\- Jz étant, en eflct, supposée égale à

en remplaçant z [)ar/.;, la prtjbabililé dune erreur comprise entre /, z et /. :: -^ kdz sera

—= e '"■ ~ dz ;

cest précisément celle d'une erreur comprise entre c et :; -|- dz dans le premier système.

Si l'on suppose A- = — , la probabilité d'une erreur ;; étant proportionnelle à

celle de m erreurs égales à z, commises dans ni observations successives, sera proportionnelle %

La probabilité de n erreurs égales à ^, commises dans n observations successives faites dans le second sjstème de mesures, sera proportionnelle à

Les probabilités des deux systèmes d'erreurs sont donc proportionnelles et par conséquent égales pour toutes valeurs de z^ si

l'on a

nk- = ni ;

par conséquent,

Le poids du premier système d'observations, celui du second étant pris pour unitc, est donc égal a — > c est-a-dire a A-. B. i4

2l(.> CALCl'L DES PROBVniLlTI.S.

lOri. Il est Inléressnnl de roinarquor que, si la loi df prohabililc n'avait pas une forme toute spéciale, les mois poids el précision, dont les physiciens font souvent usage, ne pourraient pas avoir de sens exact et précis.

Supposons deux systèmes d'observations. Soient, dans le premier, '■:>[z)dz la probabilité pour que l'erreur commise soit comprise entre r- et z-fdz et >)j{z)dz la probabilité d'une même erreur dans le second sjslèmc. Pour que le rapport des précisions

soit //, il faut et il suffit (pie le rapport ' , ^ soit constant, et

pour ipie le rapport des poids d'une observation dans les deux systèmes soit égal à /. , il faut que le rapport

soit constant.

Pour que le système caractérisé par la fonction o(^) donne, par rapport à un autre système quel qu'il soit, caractérisé par '}(-), un poids déterminé et une précision définie, il faut que le rapport

o(hz)

soit indépendant de z.

Posons donc

(3o) o{hz)^Go{z)'<,

G étant indépendant de ^, et déterminons les formes possibles de la fonction '^{z).

On peut remplacer l'équation (3o) par

lo(hz) = IG — Alt^{z)

et aussi, eu prenant les dérivées, par

ho'(/iz) /co'(z) o{hz) ? ( - )

En posant

CII\1'. \I1I. — LOI DKS KnilEUnS I) ODSKUVATIO.V. 9.11

la fonction I'' csl (léliiiic pai- la condition

>. rcprcsentant le lajiporl •

Soit A — h\^.

On aura

(3i) F(hz)=:2 hv-Viz).

La fonction F est donc uiultiplice [)ar //'.'• quand la variable est multipliée par//. On apçrçoit la solution

F(z)= Uz\>-, II étant une constante; on en déduit

ïj^ =Fr-. = Il3!X,

loiz):^ il — hC,

'^(z) devant rester invariable quand on change ; en — ^, l'exposant y. -+- I doit être pair.

Le cas de ;j. = i correspond à la loi de Gauss.

On a dans ce cas

Le poids /," est le carré de la précision /t. L'équation (3i) n'adinel pas d'autres solutions; mais la démonstration, d'ailleurs facile, est sans intérêt pour le Calcul des Probabilités.

166. Entre plusieurs mesures d une même grandeur, celles qui s'écartent le plus de la moyenne sont prt'-sumées avec raison, presque avec certitude, être moins bonnes que les autres : 11 semble naturel de les écarter.

La question est délicate. Les observateurs ne se permettent une telle suppression qu'après avoir reconnu une cause vraisem-

212 cvn.iL i)i,s i'ii(»iuitii.rn.s.

blable t'I inlrinsrque à riiifériorilé de la mesure suspecte. On croirait iiiaïujucr à la sincérité due en omettant une mesure, d'ailleurs irréprochable, par cela seul qu'elle s'écarte du résultat présumé.

Il est incontestable que, si l'on est certain d'avoir opéré de la même manière et avec le même soin, toutes les observations ont le même droit à exercer leur influence sur la moyenne adoptée. Mais si l'on opérait toujours de la même nidiiicre, on oblicndrail toujours le même résultat.

L'assimilation des erreurs fortuites à des tirages au sort dans une urne composée de manière à donner à chaque erreur la probabilité qui lui convient est une fiction, non une réalité. Si l'urne existait et qu'elle iVit composée avec une perfection infinie, s'il arrivait qu'une série de tirages faits dans les conditions normales démentissent l'ensemble des autres, il faudrait les conserver assurément. Mais si celui qui tirait les boules vient déclarer qu'il a négligé de les agiter, peut-être aussi de plonger la main dans les parties inféi'ieures; s'il a pris et l'emis sa boule toujours à la surface, les tirages ainsi faits seront à rejeter. Ils le seront également si, le tireur n'avouant pas sa négligence, on le soupçonne d'être peu soigneux; peut-être aussi, la question est délicate je le répète, si la seule raison de le soupçonner est l'écart ol)serv('- (juand il a tiré les boules.

Cherchons les conséquences de l'abandon des mesures présumées les moins bonnes.

La question se pose de la manière suivante :

On a pris n mesures d'une même grandeur; tout semble régulier, la moyenne est obtenue; la constante caractéristique A", déduite de toutes les observations, a une valeur très grande; aucun indice n'éveille la défiance. On est en droit de regarder comme très probable la valeur de la moyenne; comme très probable aussi la valeur obtenue pour k. La probabilité d'une erreur z est regardée avec confiance comme égale à

-— e '' - dz.

cii\i'. \iii. — loi DIS r.i!i!i:rns d ouskun a ri(t\. 21.)

Dans CCS conditions, je calcule rerreiir )., tcllt- (|iie la probah'lilé pour fju'iine errour soit inférieure à A ait une valeur/) arbitrairement choisie. 11 suffit de résoudre l'é-quation

/. étant ainsi délenniné, je supprime parmi les /i observations celles dont la difTérence avec la moyenne est plus grande que ). ; il en restciii ///> à jxmi j)rès, dont une nioilic- environ sera plus grande, raulre moitié plus petite que la moyenne. On recommencera les calculs en considérant ces observations comme les seules.

Supposons, pour justifier la hardiesse de ce parti, que, dans le laboratoire où les mesures sont prises, se trouve un surveillant d'une rare habileté qui, sans observer lui-même, suive des yeux les observateurs, et qui, très au courant des méthodes, très instruit des détails relatifs à chaque instrument, des erreurs de division, des inégalités des pas de vis, des petites imperfections des poids, de l'induence de la température, etc., déclare, après chaque mesure, son opinion en un seul mot : bien ou mal.

Personne ne contestera que, si ce surveillant est, comme nous l'avons supposé, très habile, la suppression des mesures qu'il a condamnées accroîtrait d'aulanl plus la confiance qu'il en aurait écarté davantage.

Quoi qu'il en soit, acceptant le principe, nous remplacerons les observations x, , .r.>. . . . , x,i par i',, lo, • . . , J'w, ni difl'érant peu de np. Si ces /n observations sont données à un calculateur soigneux, il n'aura pas besoin d'en connaître l'origine pour les déclarer suspectes. Le rapport de la moyenne du carré des erreurs

au carré de la moyenne pourra différer beaucoup de — (149).

Pour aucune valeur de /.', les erreurs des observations maintenues ne s'accorderont avec la formule

Le calculateur prévenu renoncera à la formule et prendra la

2l4 CALC.IL DES PKOBVlllLlTKS.

moyenne

|>our représenter la grandeur inconnue.

Soient ci, C2, . . ., £« les erreurs successives. La valeur du carré de l'erreur commise sur la moyenne sera

/Sl -^ £o-i-. . .-f- t,„ \ ■

Négligeons s/c/, dont la valeur probable esl nulle. La valeur probable du carré de l'erreur moyenne s'obtiendra en divisant par m la moyenne

peu différente, très probablement, de la valeur probable du carré des erreurs maintenues.

Cette moyenne sera plus petite évidemment qu'avant la suppression des observations rejetées; mais il faudra, pour obtenir le carré de l'erreur probable, la diviser par /;/, et la Traction qu'elle remplace devait être divisée par n.

La valeur probable du carré z- d'une erreur plus petite que h est, lorsque les autres ont été écartées,

(33) -^ Ç'z^e-'^^-'dz.

p \/-Jq

Le nombre des erreurs ayant été multiplié par la fraction/?, la probabilité de chacune d'elles, dans l'intervalle où elles sont commises, est divisée par p. Le numérateur de la fraction qui représente la probabilité reste le même, en effet, et le dénominateur-, nombre des erreurs commises, est multiplié par p. En intégrant par parties, l'expression (33) devient

c'est-à-dire, d'après l'équation (32) qui définit A,

Aie-'''-''- I I / f. kl €-'-'■'>■''

(H\l'. \lll. — LOI DKS ERllElinS n OnSF.RVATIO.N. 9.1.)

Kn divisant par />?, ('-gai approximalivcmcnl à ///', on a, pour représenter le carré de l'erreur à craindre,

en posant, selon la notation hahiluelle,

(■)(A a) est, par définition, égal à />, et la valeur probable du carré de Terreur devient

La fonction

est nulle pour ^ = o ; elle augmente avec t et devient égale à Tunité pour une valeur infinie de /.

Voici quelques-unes de ses valeurs :

0,40 o,-2ir,

Le multiplicateur de — 77,' évalué approxiniativenicnl , peut

diminuer sans limite. On ne doit pas oublier que, pour appliquer la formule, il faut que les observations conservées, de même que les observations faites, soient en grand nombre.

2l6 CALCUL DES l'ROBAlîlLITI^.S.

107. La loi de probabililr des erreurs donl rcxactiludc a élé Nt-rilléc expérinieiilaleinenl en quelque sorte (1 i5) permet de prévoir, lorsque les épreuves soiil nombreuses, tous les détails relatifs à la série des erreurs commises.

Nous donnerons un dernier exemple en cherchant la valeur probable de la plus petite des erreurs commises dans un grand nombre de mesures successives.

Soit c la plus petite des erreurs commises sur n mesures. La probabilitt- pour qu'une erreur désignée soit égale à :; et soit la plus petite de toutes est

Le premier facteur exprime la probabilité pour que l'erreur soit z\ le second, pour que toutes les autres soient plus grandes que z. Chacune des n mesures pouvant produire cette erreur minima, il faut multiplier l'expression par n\ puis, pour avoir la valeur probable de l'erreur z dont elle représente la probabilité, il faut multiplier par c et intégrer entre o et x.

La valeur probable de la plus petite des n erreurs est donc

,34, ?"i- r .e-^-^'d, ( ,- ii f.-".V.y".

Intégrons par parties, en faisant porter l'intégration sur le facteur qui multiplie g, dont l'intégrale est

/tï V 'o

e-k'-z--dz

et, en remarquant que le terme intégré est nul aux deux limites, l'expression (34) devient

Lorsque :; est petit, '~ j e~''''~\lz dillère peu de /> r-, et, lorsque

cn\p. virr. — loi dks f.iihkius h ohskh v \tio\ . '.>. i ^

:; cesse d'être petit, la puissance n placée sous le signe d'intégration est négligeable. On peut donc, en dé-signnnl p;ii- ). une valeur arbitraire de z, remplacer (34') par

( 1 - - kz)" dz -^ r fi — (i - /■ ).)"+' 1.

n (Hanl grand et A n'étant pas très j)elil, le second terme de la parenthèse est négligeable, et la valeur probable approchée de la plus pelile erreur est

1G8. Si l'on calcule par une méthode semldable la valeur probal)l(> de la seconde des erreurs classées par ordre de grandeur, on la trouve double de la plus petite; la troisième est triple, et ainsi de suite, tant que les formules d'approximation sont applicables. Il peut sembler étrange que, en classant les erreurs par ordre de grandeur absolue, la valeur probable de la seconde ne soit pas égale à celle de la première. Tout est symétrique, en effet, entre les erreurs positives et les erreurs négatives. Pourquoi la valeur probable de la plus petite erreur négative diffère-t-elle de celle de la plus petite erreur positive?

Elle n'en diffère pas.

La singularité apparente provient d'une confusion qui s'établit entre la valeur probable d'une grandeur et la valeur qu'il est probable de lui voir prendre.

Pierre et Paul doivent se partager un héritage. On sait que l'une des parts, on ignore laquelle, sera doul)le de l'autre.

Les deux parts ont même valeur probable, égale pour chacune à la moitié de la somme totale.

La valeur probable de la plus grande part est double de la valeur probable de la plus petite.