La valeur probable , de la plus petite erreur est
plus petite que la valeur probable de l'erreur commise sur la movenne.
2i<> cALtiT. nr.s i'ii()ii\i!ii.iTi':s.
La valeur piobal)le du carré de l'erreur commise sur la moyenne
ej-4- «î-f-. . .-+- e„ n
égale à la valeur probable de
c?-r-e;-4-...-4-gg esl, en eirct,
Le carré île Terreur commise sur la moyenne étant de même
ordre que -, celle de l'erreur est de l'ordre — nj beaucoup plus ^'^ ^n
grande par conséquent que la valeur probable des plus petites erreurs.
On accroîtrait beaucoup la précision d'une mesure si l'on pouvait découvrir les évaluations les meilleures et les adopter de préférence à la moyenne générale; il en serait de même si l'on pouvait prendre la moyenne des observations les meilleures. Elles sont malheureusement confondues avec les autres sans que rien les décèle avec certitude.
170. La règle acceptée comme postulatum prescrit, entre j)lusieurs mesures d'une môme grandeur, d'adopter la moyenne. Cette règle suppose deux hypothèses : la première, que nous avons faite constamment dans l'étude de la théorie des erreurs, est l'absence de toute erreur constante; la seconde, que toutes les observations méritent la même confiance et qu'elles aient été faites, par exemple, par le même observateur, suivant la même méthode, avec le même instrument.
Lorsque cette seconde condition n'est pas remplie, il faut apprécier ces valeurs relatives.
Supposons que les constantes caractéristiques de chaque système de mesures soient connues : soient /r(, /.•., . . . , „ ces constantes, les poids des observations sont /.^', /.;;. . ■ . , A'^.
r.nvi'. \iii. — LOI ni:.s Kitiir.i its i» oiisi.u\ atio.v. mf
Supposons f|iir l'on ail y., incsiirt-s prises dans le prrniicr syslènie, aj dans le dcuxirnu;, . . . , a„ dans le /?'""".
luunenons tonlcs ces mesures à d'autres doiil le p(»ids soit runit(' et suj)j)osons cette unité choisie de telle sorte que /j, /,'-,, . • ., />f, soient des nombres entiers.
(iliaque mesure de poids A'j sera remplacée par le système écjuivalenl de kj mesures ayant chacune un poids égal à l'unité. Toutes les valeurs mises en présence ayant ainsi même poids, il suffira de prendre la moyenne. a„ désignant le nond)re des mesures de poids k'j^ et .r, la moyenne de ces mesures, on ohlieudra ainsi la valeur
. g, Af X, -i- :e. /cl a-, -t- ... -H z,, fij^Xg
«lA-î-haîA-i -4-...-4-a„A-â
On peut énoncer ce résultat en disant que chaque mesure est miilli[)liéc par le poids de l'observation correspondante et que la somme des produits est divisée par la somme des multiplicateurs.
Le poids de la valeur (35) est
a,Af -T- 72/cl-r-. . . — z,ikl.
La moyenne entre plusieurs observations équivaut à une observation unique ayant pour poids la somme des poids des observations partielles.
17 j. Il arrive quelquefois que, pour mesurer une grandeur, on
la partage en plusieurs parties «, , a^ o„\ on mesure chacune
d'elles et l'on fait la somme.
Supposons que toutes ces mesures aient le même poids /•"-.
Quel est le poids de la somme r/, -r ^^/j -h . . . -r- r/„?
Soient c), cj, ..., £„ les erreurs, inconnues bien entendu, commises sur chacune des mesures; l'erreur sur la somme est
on a
(^ cj -r- co -T- . . . -T- i,j ;•' — - s. 1 -^ --t-l •
Cherchons la valeur probable des deux membres. Celle des pro-
2 20 CALCUL DES PROB \BILITKS.
duits tels que s/s,- est nulle, juiisquc les erreurs positives ont, par hypothèse, même probabililL- que les erreurs négatives.
Les valeurs probables des termes tels que sf sont égales (li!^) à
— r; et. par conséquent, puisqu'il v a /< termes, la valeur probable
du carré de leircur commise est
Si la probabilité d'une erreur :; commise sur la somme était représentée par
la valeur probable du carré d'une erreur serait
Si donc nous posons
âl^ ^ 2/?2
/,"' est la précision d'une mesure qui donnerait au carré de l'erreur commise même valeur probable que la somme étudiée.
La confiance méritée par la moyenne de n mesures est inversement proportionnelle à y//i.
17!2. L'armée française, pendant l'expédition d'Egypte, youbit déterminer la hauteur de la pyramide de Chéopç. Les assises successives, formant pour ainsi dire les ?o3 marches d'un gigantesque escalier par lequel on s'élève au sommet, furent mesurées successivement par les soldats du Génie. L'erreur commise 2o3 fois, disait-on, sera multipliée par 2o3. L'erreur à craindre, répondit Fourier, est multipliée par i4, racine carrée de 2o3. On ignore sur quels principes l'illustre savant faisait reposer cette règle, que personne avan t lui n'avait proposée.
<ICAV. VIII. — LOI DKS KUllKl IIS II OllSKIl V AI lO.N . '.>.'.>. 1
173. Je terminerai ce Chapitre par rexaiiicii (runc question très délicate. On a j)ris plusieurs mesures d'une mciiic grandeur j'f, X.,, ..., j-„', elles ne s'accordent j)as. Une formule d('montrée (1G3) fait connaître i'évaluMlion de la prt'cision des observalions, déduite de la somme des carrés des dillérences entre les valeurs obtenues ou, ce qui revient au même, de l'excès de la movcnne de la somme des carrés sur le carré de la movenne. 11 faut appiitpicr cette règle avec beaucoup de prudence; elle suppose, en ellet, que le mérite des nbsersalioiis soit, n priori, inconnu et (juc la discordance qu'elles présentent soit le seul indice dont on dispose pour leur appréciation.
11 en sera très rarement ainsi. Si les observations sont faites par un observateur habile avec un instrument excclleui. elles méritent plus de confiance, lors même qu'elles s'accorderaient moins, que des observations plus concordantes d'un observateur médiocre. Il n'est pas admissible, par exemple, qu'en détachant sur les registres de Bcssel quelques observations d'une même étoile on prétende en déduire une appréciation de son habileté et du mérite de son instrument.
La constante désignée par / , prise pour inconnue dans les formules trouvées (163), est souvent assez bien connue à l'avance pour que des renseignements nouveaux n'autorisent pas à en changer la valeur.
Le problème alors devient très différent.
La constante qui caractérise la précision du système d'observations étant connue, quelle doit être l'inlluence de l'accord plus ou moins grand des mesures sur la conliance méritée par la movenne?
Si, par exemple, on a mesuré les trois angles d'un triangle indépendamment les uns des autres, leur somme se trouvant exactement égale à deux droits, faut-il, pour cette raison, accorder plus de confiance aux mesures que si la somme avait surpassé de 0,20 la valeur qu'elle doit avoir?
La réponse doit varier suivant les cas. Si l'observateur est inconnu aussi bien que l'instrument, on devra applicpier la for-
222 CALCUL DES l>UOH MULITTS.
mille trouvée (163), cl la concordance des niesuies délerniinera la précision présumée des observations.
Si la constante appelée A- est assez bien connue, a priori, |)()ur qu'on écarte l'idée d'en changer la \alcur, la concordance des observations ne doit pas accroître la conlîance qu'elles ins|>irenl.
La conclusion semble inacceptable.
Si les observations sont discordantes, si leurs dillérences dépassent l'erreur |)robable de llnslrinnenl , peut-on leur accorder autant de confiance qu'avant cet indice défavorable?
Si un observateur, quelle que soit son habileté reconnue, donne ilu même ani;le trois mesures très diflcrentes, on n'écliaj)pera j)as à l'idée que, ce jour-là, soit fatigue, soll oubli d'une précaution nécessaire, il a moins bien observé que de coutume. C'est sur cette conviction que repose la défiance éveillée par le résultat, et c'est elle, précisément, que nous écartons dans l'énoncé du problème.
L'application du Calcul des probabilités à l'élude des erreurs d'observation repose sur une fiction dont il ne faudrait pas faire une réalité. Les erreurs sont supposées tirées au sort dans une urne dont la composition est définie par la loi de probabilité acceptée.
Si l'observateur est malade, si l'on a dérangé les fils de sa lunette, exposé à l'humidité les poids de sa balance, changé son tliermomèlrc habituel, il fait, ce jour-là, le tirage dans une autre urne, les résultats échappent à toute théorie.
Nous écartons, dans le calcul suivant, toutes les suppositions de ce genre. L'observateur s'est appliqué comme de coutume, son instrument est en bon état, les erreurs sont soumises aux chances habituelles; la constante le est connue cl ne peut être changée par le succès de quelques observations nouvelles.
Il faut admettre, en outre, pour que les hvpothèses n'impliquent pas conlradiclion, que les écarts n'aient rien d'exceptionnel.
174. Le calcul, lorsque ces réserves sont légitimes, justifie les conclusions qui précèdent.
c.nvi'. VIII. — i.f)i DKs KnnF.i us i)V)iiskhv ation. 22'^
Supposons que n mesures d'une même {grandeur aient été prises. Soient >',,ro, ...,)'// les erreurs commises successivement. Chacune d'elles est inconnue, bien entendu.
La probabilité d une erreur comprise entre :; et z-\-flz ('tant, pour l'observation de ranj; /,
-— e *' - dz, /-
et les valeurs de /./ étant connues, la j)robabililé du concours des erreurs supposées sera
(36) 'iAhl^é-'^\y\-'^\y\--.-ny\ dy,<ly,.. .dj,,.
Soit c la moyenne des diverses mesures, prise en ayant égard à l'erreur probable de chacune d'elles, c'est-à-dire (171) en attribuant à chaque détermination de la même grandeur un poids inversement proportionnel à la valeur probable du carré de l'erreur.
On aura (3;)
Posons
J2 = s -+- an,
et substituons dans l'expression de la probabilité (36), considérée comme un élément d'intégrale multiple, les variables ;: , a,, aj y.i,f à r,, ) 2, - • • , Xn] ^n n'est pas une variable indépendante, car on a identiquement
k 7 ai -i- Ai a, -i- ... -f- /cf, a„ = o.
L'élément
dyi dr2 ■ . . dvn
U2Î CALCUL UKS PnORABlLlTKS.
doit être remplacé, comme on sail, par le produit
étant le déterminant fonctionnel des variables j, , j'o, rapport à celles qu'on leur substitue.
Ce déterminant est
y II p*"'
-Ai
AS
kl
les dérivées de ,3 + a,, qui forment la dernière ligne étant déduites de la relation (37).
Le déterminant est égal à
kl
kl La probabilité (30) peut donc être remplacée par
/ kikt...k„ ^^.^^i^^..^. . .^k'-)^,,' ^i+k-::t\+- ■+kj^%},\ 'i »... -
[ X j^ ( k{ -^ k\ -^ . ..— kl).
Le terme du premier degré en r, dans l'exposant de <?, disparaît de l'expression (38), à cause de la relation (37).
Lorsque a,, a^, ..., a,<, sont donnés, la probabilité est de la forme (39) Ge-(*î+'^;-+--^*-V-'û?z,
et comme il laul bien que, dans cette bypothèse, z ait une valeur
CHAI". VIII. 1.(11 I)i;s KIIIIKLIIS D OBSKIIVATIO.N. 220
comprise entre — x) et + x, l'équation
G /'"c-aî+AJ+.. .+/.•';' dz = .
lionne
P //.f-f-A-l-4-...M-AjS
La valeur probable du carré de l'erreur commise sur r, déduite de la formule (Sq), est
Indépendante des valeurs supposées connues de a,, a.., . . ., y.„.
Dans le plus grand nombre des cas, quand on entreprend une série de mesures, l'habileté de l'observateur n'est ni parfaitement connue, comme nous venons de le supposer, ni complètement inconnue, comme on l'a admis (148); ce sont deux cas extrêmes. 11 arrivera presque toujours que, toutes les valeurs de / étant possibles, elles seront, a priori, inégalement vraisemblables. Si la loi de leurs probabilités avant l'épreuve est inconnue, le problème est insoluble.
