Lorsqu'une môme grandeur X a élc lucsuiéc par des pro
CHAI'. \. — i,.v xiitoiuK UKS \i«)^ i..\m;s. a')')
cédés dlirérenls, ou par divers observateurs avec des inslrumenls de mérite inégal, on ne doit j)as prendre la moyenne. Les observations les plus dignes de confiance doivent garder une influence plus grande.
Soient a*,, X,, .. ., x,i n évaluations d'une même grandeur.
Supposons que cliacune des évaluations soit corrigée de la partie constante, de telle sorte que la valeur'probable de l'erreur ait été rendue nulle.
Soient ni\, m't, ..., m'j^ les valeurs supposées connues de la constante m pour chacun des systèmes de mesures qui ont fourni ces n valeurs. Si l'on fait entrer dans la détermination plusieurs mesures prises dans les mêmes circonstances, on supposera les valeurs de ni égales.
Cherchons parmi les expressions de la forme
celle qui doit inspirer le plus de confiance. La valeur à adopter est celle, évidemment, qui rendra minima la valeur probable du carré de l'erreur commise.
On doit avoir nécessairement
(lo) ).,^ ).,!... ^).,^=,:
car, sans cela, toutes les mesures étant supposées exactes, la valeur qu'on en déduit ne le serait pas.
L'erreur commise dans l'évaluation (9) sera
lle^ -h À, ^2 -I- . . . -4- ).„e„; elle a pour carré
La valeur probable de e/ est nulle; par conséquent aussi, celle de e/e,7; celle de e'f est mj. La valeur probable du carré de l'erreur commise est, par conséquent,
Xf m'i -h À? ml -H . . .-^ X^mJ.
11 faut choisir les valeurs de ).,> '-2) •••> /,« qui rendent cette somme minima en satisfaisant à l'équation (10).
11 faut égaler à zéro les deux (Jin'ércnlielles
<y)>i -+- r/Xj-f-.. .-h </X„ = o, •j.ni'i 11 f/Àj-t- ■^, W2X2 </X2 -+-. . .4- i/n„ X,jr/X„ = o.
La seconde de ces équations doil cire la conséquence nécessaire de la première. 11 laul pour cela que les coel'lîcienls des diflérenlielles soient égaux et que l'on ait
ni\ Xi = «15 Xo = . . . = nifi X„ ;
on en déduit, à cause de (10),
et la valeur de X qu'il faut adopter est
X2 ml
— ^ + — ^ M- . . . -f- -^ mr m-, ml
C'est la moyenne des valeurs successivement obtenues après que chacune a été multipliée par un facteur égal à l'inverse de la valeur correspondante ni'-.
Ce facteur —^5 d'autant plus grand que nï- est plus petit et que,
par conséquent, la mesure mérite plus de confiance, se nomme le poids de VohserK^alion.
r observations semblables équivalent, d'après la formule, à une seule qui aurait un poids r fois plus grand.
Si la probabilité d'une erreur :; est
on a
Le poids d'une observation est proportionnel à /.-.
cn\p. \. - i.\ Tm';oRiF. nrs ^^()^l^^l;s. ofî-
La définilioii nouvelle se trouve (raccord avec celle (|iii n t-[r donnée.
Le iiiol/)/r(i.sio/> ne pcul pas (IGo), dans le cas général, être délini avec la niènic rigueur,
lUO. La règle relallve aux moyennes, et la sécurité <^ui en résulte, est démontrée indépendamment de toute hypothèse sur la loi de probabilité des erreurs.
Poisson a signalé comme une objection le cas où la fonction '^{:-) serait proportionnelle à
En la représentant par
Odz
doit avoir
^^ Gdz
on en déduit
La probabilité d'une erreur comprise entre z et z ~r dz est alors
. ^ k dz
(il)
Dans ce cas, l'intégrale
/. ("^ z'-dz
désignée dans la démonstration par m'-, est infinie. Le poids d'une observation est nul.
Il n'j a pas lieu de s'étonner si la conclusion est en défaut.
L'hypothèse est réalisée par une girouette qui tourne librement sans que rien la dirige. Considérée comme un instrument destiné B. 17
208 CALCUL DES l'UOBAIULITÉS.
à monlrer une tlirccllon, celle du nord par exemple, elle (.lonnera précisément la prohahililé d'erreur exprimée par la formule (i i). jNommons z-, en eflel, la dislance à laquelle la direclion prolongée de la girouelle coupera une perpendiculaire à la ligne (jue l'on prétend déterminer, si la girouette fait avec cette ligne un angle '■:>, on aura
(12) o = arc tang j-
Toutes les valeurs de 'o comprises entre — - et H- - sont éirale-
ment probables.
La probabilité pour que l'angle désigné par le hasard tombe . entre es et c; + c/o est
L'équation (12) donne
A dz
do
La probabilité d'une erreur, sur r. comprise entre z cl z- — dz
est donc
k dz - k'-T-z-^'
C'est précisément la formule (1 1).
(Il\l'. M. CO.MBI.N \ IMiN til s OIÎSKIIVATIO.NS. 23y
CHAIMTRE XI.
