COMBINAISON DES OBSERVATIONS
.Nachdcm Uor Obscrvalor da:* Seinigo Kcthan hai, Ist es an Ueiu Geumetcr die Unsiclicrlieil dcr iicobachlungen und der dcr Iteclinung daraus ahgcloiletea GrOisen. nacti Âlrcng luattieuialisclien l'rinciplen zu wiirdigen.
Gai'ss.
197. La théorie des moyennes n'est pas applicable, en général, à la délcrminalion simultanée de plusieurs grandeurs. — I'j8. Lorsque plusieurs valeurs d'une même inconnue sont indépendantes, on peut prendre la moyenne en ayant égard à leur poids ; premier exemple. — 199. Deuxième exemple. — 200. Troisième exemple. — '201, 202. Problème dans lequel les valeurs d'une même inconnue ne sont pas indépendantes, résolu en suivant le principe de la démonstration, dont il faut changer le détail. — 203. Problème général; première solution de Gauss.
— 204. En ne faisant, en apparence, aucune hypothèse sur la loi de probabilité, on ne change pas essentiellement les conditions de l'énoncé. — 205. Substitution de la plus petite valeur probable du carré de l'erreur à l'erreur la plus probable. — 206. Lorsque le nombre des équations surpasse celui des inconnues, il existe entre les erreurs des relations nécessaires qui ne sont pas satisfaites. — 207. Expression adoptée pour Tune des inconnues; on rend le carré de la valeur probable de l'erreur minimum. — 208. Les erreurs étant très petites, la solution est la plus générale. — 209. Valeur probable du carré de l'erreur à craindre. — 210. Premier exemple. — 211. Second exemple. — 212. Les valeurs probables des carrés des erreurs commises sont indépendantes de la concordance des résultats; explication de ce paradoxe. — 213. Les formules sont démontrées pour des observations qui ne sont pas encore faites.
— 214. On peut se placer à un point de vue très différent; le problème devient insoluble. — Développement sur un exemple. La valeur probable a priori de l'inconnue que l'on veut calculer a posteriori est un élément nécessaire de la solution. — 215. La question appartient à la théorie de la probabilité des causes; faute de l'une des données indispensables, la solution est impossible.
— 216. Discussion dun problème analogue. — 217. Étude du problème général; les solutions sont en nombre infini. — 218. Premier exemple. — 219. Se-
aCo CALCUL DES l'UOC.VBILlTKS.
oond exemple. — 220. Evaluation, dans un cas très simple, de l'erreur à craindre en égalant la valeur vraie à la valeur probable. — Calculs numériques. — 221. Théorème des moindres carrés. — 222. Simplification des calculs. — 223. Exemple. — 221. Théorie de Gauss. — 225. Objections de Bienaymé. — 226. Les corrections prescrites par la méthode des moindres carrés sont des fi>nctions déterminées des erreurs réellement commises. — 227. Expression de la somme des carrés de ces corrections. — 228. Valeur probable de cette somme. — 22!). Exemple. — 230. Incerlilude de quelques assertions compromettantes pour la théorie.
197. Lorsqu'une même £:;randeur a été niesurcc plusieurs fols cl que les résultais ne s'accordent pas, s'ils inspirent une égale confiance, il faut en prendre la moyenne; si leurs poids sont inégaux, on lient compte (195) dans le calcul de leurs valeurs relatives.
Lorsque plusieurs grandeurs ont été mesurées et qu'elles doivent servir à déterminer des inconnues par des équations plus nombreuses qu'il n'est nécessaire, le problème semble de même sorte. On possède, en effet, autant d'appréciations différentes de chaque grandeur que de groupes d'équations pouvant les déterminer; mais ces appréciations ne sont pas indépendantes : cela exige un changement de méthode.
Si l'on a, par exemple, mesuré les trois angles A, B, C et les trois cotés a, b, c d'un même triangle, on pourra adopter comme valeur de l'angle A, soit la mesure A directement obtenue, soit le supplément de la somme B + C, soit celle que l'on obtient en associant B ou C à deux quelconques des côtés, soit enfin prendre pour données les trois côtés.
Lors même qu'on aurait évalué les poids relatifs de ces neuf valeurs de l'angle A, la théorie des moyennes ne serait pas applicable. La combinaison qu'elle prescrit vaudrait mieux, peut-être, que l'une des mesures adoptée sans correction , mais elle n'est pas la plus plausible entre toutes. La théorie des moyennes suppose, en effet, l'indépendance des mesures associées. La valeur probable de chaque erreur est supposée nulle, ainsi que celle des produits de deux erreurs. Les erreurs positives , en d'autres termes, ont, par hypothèse, même probabilité que les erreurs négatives ; cette condition n'est pas remplie dans le cas qui nous occupe. Si l'on s'est trompé, par exemple, en mesurant un angle,
cil M'. M. — COMBINAISON DES OBSKn V ATIONS. '.iC)l
et cela est inévilalilc, les calculs par lesquels on fera servir cet ang;lc à deux, délcrminalions d'un autre angle donneront, vraisemblablement, des erreurs de signes contraires à celles du premier, La valeur probable du produit de ces deux erreurs sera positive.
108. Lorsque la dépendance des erreurs n'existe pas, on peut appliquer la théorie des moyennes. Nous en donnerons qucUjucs exemples.
On veut déterminer la direction d'une ligne droite partant d'un point pris pour origine des coordonnées. On mesure pour cela les ordonnées^,, j^o, . . . , j)'« de n points de cette droite correspondant à /? abscisses connues x,, x-^, . • • , x,i. Quelle valeur faut-il adopter pour le coefficient angulaire de la droite? Les mesures prises donnent, en désignant ce coefficient par a,
J\ X.y ' ' Xn
Ces déterminations indépendantes ont des poids inégaux qu'il faut calculer.
Si l'on nomme mf la valeur probable du carré de l'erreur commise sur Vi, le carré de l'erreur commise sur ^ » xi étant exacte-
ment connu, a pour valeur probable -4; le poids de la valeur
Xr
x~ correspondante de a est, par conséquent, — r,' On doit, avant de
prendre la moyenne, multiplier chaque valeur de a par son poids. On aura
m'\ nit ' ' ' mj,
ml ni 7.
Si les mesures des ordonnées inspirent toutes la même confiance, l'expression se réduit à
'.()'. C.VLCII. DES l>nOB\BILITf.S.
109. Prenons pour inconnues, dans un second exemple, les trois angles direclenienl mesurés d'un triangle. La somme des trois mesures ne se trouvant pas égale ù deux angles droits, quelles corrections faul-il adoplcr?
En nommant les angles A, B, C, on a deux mesures de l'angle A :
A Cl 180"— n — c.
Ces mesures sont indépendantes; on peut donc en prendre la moyenne, mais il faut calculer leur poids.
Soient m- le carré de l'erreur à craindre sur chacune des trois mesures; Ci, Co, c^ les erreurs réellement commises. L'erreur sur 1 80° — B — C est eo -h ^3 ; elle a pour carré
dont la valeur probable est 2/??-. Les poids des deux déterminalions de l'an"le A sont donc — : et — -j et l'on adoptera la valeur
= Ah- -(180"— a — B — C).
L'erreur commise est
2<?i Ci ^3
La valeur probable du carré de celle erreur est
200. l^c calcul précédent suppose les chances d'erreur dans la mesure d'un angle indépendantes de la grandeur de l'angle. Quand les mesures sont prises dans les mêmes conditions, cela est, en effet, presque absolument vrai.
Si, au lieu de mesurer les trois angles d'un triangle, on mesurait les trois parties d'une ligne très bien connue par des mesures
(iivr. \i. — c.oviDi.NViso.N i)i;s oiiskuv a tio.ns. 9.(J3
anlcricurfs, le problème, c-ii apparence idenLlijue, sérail, en réalité, 1res tlinercnt.
Soit / la longueur, supposée |)arrailemcnl connue, d'une ligne dont les trois parties <i , h^ c sont directement mesurées; on
trouve
a -^ h -^ c = l -\- tx.
Comment doit-on répartir Terreur a entre les trois mesures? On a deux évaluations de a : n et / — b — c.
Si C), e-iy C3 sont les erreurs commises sur a, b^ c, les erreurs commises sur les deux mesures sont e, et Co H- ^3 ; mais les valeurs probables de e^, c^, el sont inégales : c'est ce qui distingue ce problème du précédent. Soient ni\^ m-,, ml les valeurs probables de e\y e'i, el; on a
La valeur probable de e.Cj est nulle s'il n'y a pas d'erreur constante; les carrés des erreurs commises sur les valeurs de a ont donc pour valeurs probables m'-^ et m:, -\- ml et les poids des
deux déterminations sont — ^ et
On devra prendre pour valeur de a
La difficulté est d'évaluer les erreurs probables.
Si les mesures ont été prises en portant sur chaque ligne une unité de longueur, la valeur probable du carré de l'erreur commise, dont chaque partie peut être positive ou négative, est proportionnelle (171) au nombre des unités^ on prendra donc m] = «, ml = b, ml = c, et la valeur la plus plausible de a est
201. Résolvons un problème très simple auquel la théorie des moyennes n'est pas applicable.
î^\ CALCVL DES PROBABILITÉS.
Supposons que, d'une slallon O, on ail observé quatre points A|, Aj, A3, A^. On a mesuré, en les réduisant à l'horizon, les angles sous lesquels sont vues les cinq distances A, Ao, A|Aj, A,A.j, AoA,, A3 A». Soient /,, /o, /a, /», Aj les cinq valeurs obtenues; elles donnent évidemnienl trois mesures de l'angle A,OA.>
Ces valeurs ne sont pas indépendantes. Les erreurs commises sur l-i — /, et sur /o-f- /.-, — /» sont liées l'une et l'autre à l'exactitude de /v La probabilité pour qu'elles soient de mêmes signes est plus grande que pour qu'elles soient de signes contraires. L;i théorie des moyennes n'est pas applicable.
Cherchons sans changer de méthode, en modifiant seulcmenl la démonstration, la meilleure combinaison à adopter.
Nous résoudrons deux problèmes :
Quelle est la meilleure combinaison des deux mesures /., — /.. et/o-f-/j — /i qui ne sont pas indépendantes?
Quelle est la meilleure combinaison de /( avec la valeur déduite des deux autres mesures?
Pour déduire de /j — /., et de /.,+ fô — f; ^^ valeur la plus plausible de l'angle dont ces expressions représentent deux valeurs approchées, nous prendrons pour cet angle
avec la condition nécessaire
car il faut bien que, dans le cas où les deux évaluations s'accorderaient, leur moyenne soit égale à leur valeur commune.
En nommant C), eo, e^, c-,, e^ les erreurs commises sur les cinq mesures, l'erreur commise en adoptant ( 1 ) est
liiez— C) -Jr'^2(e2-i- 65— €<,) = X2<^2-1- ^-1^3 — (Xi -h )-2)<?i-^- ^2^5-
La valeur probable du carré de l'erreur commise, en nommant
(MAI'. M. — COMIll.NAISON OKS OBSKK V ATIOKS. V,6;>
///- la \alcur prohalilc des carrés e], e',, . . . , ef , est
Il faut délcrniiiierl, (•l\, de lelle sorte que, en supposant
la somme
aXf -+- 3/.] -h uXi X^ .
soit iiiinima.
On trouve
et la valeur la plus plausible est
Le carré de Terreur commise sur cette détermination a pour valeur probable
m^-i'il] -r-3X| + 2X1X2) = ^m2.
La valeur probable du carré de l'erreur commise sur /, ('lanl
m-, le poids de celte détermination sera — : celui de Texpres- ' //i- '
sion (2), - — :, ; ces deux valeurs du même angle sont indépendantes. On prendra donc, enfin, pour valeur la plus plausible déduite de l'ensemble des mesures,
L'erreur commise sera
5ei-T- eo-(- 2^3 — 3ev-^ «s 8 '
dont le carré a pour valeur probable
266 CALCUL DKS PnOBABILITKS.
î2()-. Si , oiihliant (pic k>s évaliialions no sonl pas indcpcndanles, on avait cherclié les poids des Irois mesures
ils sont
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on aurait adopte pour valeur de l'angle
•Ji 3 bli-h il-i-fi- jl.i — 5/4 -1-2 /a
