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Le carré de Terreur aurait i)our valeur probable -^/»*, c'està-dire o,644'''' «in lieu de oX)'2ôm'-.
î203. Le problème général qu'il faut résoudre est le suivant : On a fait, pour déterminer /i grandeurs inconnues, n -\- p mesures, dont les résultats s'y rattachent par des équations nécessaires. Les équations se trouvent incompatibles; quel est le meilleur système de valeurs à adopter?
Si l'on accepte pour loi de probabilité des erreurs la formule
-^e~'^''~' dz, en supposant à la constante /.• une même valeur pour
toutes les grandeurs directement mesurées, la théorie devient fort
simple.
Les mesures obtenues étant /|, /j, . . ., /«+/,, on devra, pour
rendre les équations compatibles, leur faire subir des corrections
<?,, (?2, . . ., c„^p. La probabilité pour que ces erreurs supposées
aient été réellement commises est proportionnelle au produit
elle sera maxima quand la somme des carrés des corrections sera la plus petite possible.
Le meilleur système de corrections est celui ])Our lequel la somme des carrés des erreurs supposées commises est un minimum.
(.MAP. \I. — COMBINAISON OKS OBSERVATIONS. sGj
20i. Après avoir proposé le lliéorènio prcccdcnl, dont il a suivi les conséquences avec une merveilleuse habileté, Gauss, dans ses derniers Mémoires sur la combinaison des observations, a voulu s'affranchir de toute hypothèse sui- la loi d*,- probabilité des erreurs.
Les règles prescrites n'ont pas changé pour cela.
Il doit sembler étrange que la loi de probabiliti'* des erreurs soit sans influence sur les conclusions d'une lliéorie dans biqucllc elle joue un si grand rôle.
L'explication est simple : une hvpolhèse, compatible en appa-» renée avec toutes les lois, est introduite dans la démonstration-, elle impose en réalité la même forme à toutes.
Nous supposons, dit Gauss, les observations assez exactes pour que les carrés et les produits des erreurs soient négligeables.
Toutes les équations se trouvent par là réduites au premier degré, et toutes les lois sont équivalentes.
Si l'on nomme '^{z-)dz la probabilité pour qu'une erreur d'observation soit comprise entre z et z-hdz, on peut, ; étant très petit, remplacer '-^{z) par le développement
(3) 0{Z) = 'f (O) -r- ^'f'(o) -+- -^ 0"(0) + -j-^ C?"'(0) + ^ ^'.^^ rio).
Les erreurs constantes étant écartées, on doit avoir
o'(o) et 'J"(o) sont donc nuls.
Le droit de négliger :;- devant z donne, a fortiori, celui de négliger z'' devant z- et de réduire l'équation (3) à
o{z) = 0(0) -\- -z^-oio);
mais on a, en négligeant toujours z'' devant :;-,
a -h Oz-= ae " .
La fonction cp(;)est donc, en réalité, assimilée à une exponen-
oG8 CALCUL DES PROBABILITÉS.
liello de la forme
20o. Gauss, on le voit, aurait pu, dans los conditions on il so place, conserver sa théorie primitive. 11 a fait beaucoup mieux. Celle théorie conseille, en efTet, l'adoption du système de corrections dont la probabilité est maxima, La théorie nouvelle semble préférable. La valeur probable du carré de Terreur commise est rendue uiininui. Les deux conditions s'accordent, mais les principes sont très différents. Il aurait pu arriver que les corrections les plus probables eussent accru, dans le cas où elles ne sont pas les véritables, les chances de commettre de très grandes erreurs. Toutes les probabilités doivent intervenir pour décider le meilleur choix à faire.
