Soient
(4) ] '^ii-TjJi -' ...)= /2,
les équations qui rattachent /? inconnues x^Vt:-: ... à n -i- /> grandeurs mesurées /, , 1-2, . . ., ^/i+p- Elles sont incompatibles et donneront seulement une valeur approchée de chaque inconnue. Nous supposerons les carrés des erreurs commises dans cette première approximation négligeables. La théorie, sans cette simplification, serait inextricable.
Le théorème de Taylor permettra d'exprimer cp,, 'Jo, ..., ^n+p en fonction linéaire des accroissements dont on néglige les carrés. En éliminant entre les n -\- p équations ainsi transformées les erreurs commises sur x, >', :;,... dans la première approximation, on obtiendra, entre les erreurs <?(, ^o, . . . , e,i^p commises sur les grandeurs directement mesurées /),/:>, . . ■ , /«+/>, P équations du premier degré de la forme
P, e,-l-P2e2-i-. . .+ Pn+pe„+p= h,, Qiei-f-Q2e2-i-. . .-!- Qn+pen+p= hz,
<;ii\i'. \i. — (;<)Mi!i.\ Ais(».\ itKs ()ii,si:u\ Al lo.NS. aGi}
!2()7. Pour ne pas comj)li(|ucr les calculs, nuiis siipjxjserons six grandeurs observées cl Irois inconnues, dont elles sont des fono lions délcrniinées j les é(|ualions (.">) seront alors au nonduc Ai- Irois cl n -\- p sera égal à six.
Nous adopterons, pour représenter la grandeur doul la mesure a été trouvée égale à /, , la somme
L'expression (G) se réduirait à /, si les mesures étaient parfaites; mais de petites erreurs ayant été commises, en les nommant
C\i t'j, ^3, Cl, e,;, (^',i, celle (pii en résulte pour ((>) est
\ e,-4-X,(P,é',-i-I»,eo-H...--Pcec)
Il faut choisir A,, L^^ A3 de manière à rendre minima la valeuiprobable du carré de cette erreur.
En supposant les mesures dignes d'une égale confiance, et nommant m- la valeur probable du carré e'j de l'erreur commise sur l'une quelconque d'entre elles, les valeurs probables de Ci et de (?/<?/■ étant nulles par hvpotlièse, la valeur probalde du carré de (7) est
X|eQ2-4-X^sr2-^2X,X2::pq
QR + 2X3 X, s RP -+- •>. X, Pi -f- 2 X2 Q, ~ 2 Xj R, ).
Pour rendre cette expression minima, il l'aut égalera zéro les dérivées par rapport aux facteurs arbitraires A|, Ao, ).3 ; on écrira donc les é(juations
/ X1SP2 -hXoSPQ-^ X3SPR-4-P, = o,
(9) X,SPQ + X2SQ2 -i-X3 2QR-i-Q, = o, ( XiïPR +X.>SQR-,-X3SR2 -,-R, = 0.
Les facteurs A|, Ao, A3 étant déterminés par ces équations, l'expression
(10) /i-i-li/li — lJl,-r-ls/li
sera la meilleure valeur à adopter pour /, .
!208. Une i)hjcclion se présente. L'expression (7), dans laquelle les indélerniinécs )>i, A^x ^>:i '^"l t'^*' choisies le plus avanlageusenienl possible, n'est pas la plus j^i'iu'rale parmi eclles cpii, si les mesures ('laient exactes, se rcJuiraienl à /, . On pourrait obtenir d'autres valeurs approcbées en nombre iiiliiii. Pourquoi ne pas chercher entre toutes celle (pii donne la plus petite erreui- probable?
Si les erreurs n'étaient pas très petites, l'objection serait londée; mais, les carrés étant négligeables par hypothèse, toute fonction qui se réduit à zéro (piand A,, /r., ... sont nuls peut être supposée du premier degré par rapporta ces quantités.
209. Les équations (()) font connaître les coefficients les meilleurs à adopter j^our la formule (i<>). La valeur probable du carré de l'erreur est rendue minima; elle est représentée parla somme(8), dans laquelle ')^[, )>2, )^3 seront déduits des équations (9).
L'expression (8) peut s'exprimer plus simplement. Si l'on ajoute les équations (9) après avoir multiplié la première par X,, la deuxième par ).2 et la troisième par Au, en retranchant du coefficient de ni- dans (8) la somme qui est égale à zéro, la valeur j)robable du carré de l'erreur commise sur /, prend la forme
elle est proportionnelle à ni-. Les valeurs de P|, Q(, R|, X), Xo, X3 ne dépendent nullexnent de la concordance plus ou moins parfaite des observations, révélée par les valeurs /i(, Aj, h^ des fonctions qui devraient être nulles.
210. Supposons, pour donner un exemple très simple, que x, j', z, u soient les quatre angles d'un quadrilatère. On a trouvé pour ces angles, directement mesurés,
x= II,
z = Lu u = L.
CUAP. XI. — COMUIAAI.SO.N OKS «)Uî>tU V VTIO.NS. X'J l
Si les mesures rlaicnl exactes, on auriiil /] -î- /j-H fj-r-i.,= JtJo".
Cette condilioii n'est pas remplie; on a
// étant supposé très petit.
On adoptera alors pour l'angle x la valeur
Si e,, c-,, e.i, Ci sont les erreurs respectivement commises sur les quatre mesures, l'erreur E commise sur X sera
E = <?i -4- }.{ei-^ e-î-h ^3 -f- Ci ).
En nommant m- la valeur probable du carré de chacune des erreurs de mesure, la valeur probable du carré de E est
Elle est minima pour la valeur
et l'on doit prendre
La valeur probable du carré de l'erreur est donnt'-e par l'expression (11) quand on v suppose A = — 7;. Elle est donc
indépendante, on doit le remarquer, de la valeur de //.
211. Supposons, pour donner un second exemple, que, dune même station O, on ait observé cpialre points A,, Ao, A3, A^. Un a mesuré, en les réduisant à l'horizon, les angles sous lesquels les distances A, Ao, A| A3, Ai Aj, A2 A4 et A3 A., sont vues du point O,
272 CALCUL DES PUOB.VBILITÉS .
en désignant par /,, Z^., I.\, /,, A, les valeurs liouvces. On veiiL en déduire les valeurs les plus plausibles des angles .r, r, ^ formés par OA, avec les trois autres directions OAj, OA3, OAj. On aurait, si les mesures étaient parfaites,
(1-2) X=ti, y = f-l, - = ^3- -— a:=/i, C— 7=/5
el, par conséquent,
Les équations (i3) ne sont pas satisfaites el, à cause des erreurs d'observation, on a
On prendra pour x la valeur
(i3; X = /i+X, Ah- ),.,//.,.
Si c,, (?o, e-i, c,, Cj sont les erreurs commises sur les quatre mesures, l'erreur commise sur X sera
(iG) E = ei + li{€i+ei — e3)^l2{ei-¥-e.,— e3).
Si m- désigne la valeur probable du carré de chaque erreur de mesure <?,, e-y, e-i, e.-,, e^, la valeur probable de E- est
Le minimum de cette expression correspond à Nous adopterons donc, pour l'angle x, la valeur
Elle s'accorde, on le voit en remplaçant lu et h 2 par leurs valeurs (i4)? avec la solution obtenue (201) par une voie différenle. Le carré de l'erreur commise en adoptant l'expression (18) est
• MAI'. \i. — co^fnr^ \is(».\ ms ousihva tions. -'-.i
ij///'-; elle est indcpondantc de //, cl de //. , par ronséciuctil de rcxacliliide des mesures.
On Irouverail, par des calculs semhlaMes,
Les carrés des erreurs commises ayant pour valeurs |)rol)al)lcs ^,— et ^-j— j les valeurs les plus plausibles des anirles l-, et /: sont
U= t:- -Jh-^ W/.,
2l!2. Les valeurs probables des carn's des erreurs commises sont, dans tous les cas, indépendantes de l'accord plus ou moins parfait des observations. Les quantités désignées par /<,, ho, . . ., (jui seraient nulles si les observations étaient parfaites, ne figurent pas dans l'évaluation de l'erreur à craindre.
Nous avons déjà ( 173) rencontré et expliqué ce paradoxe. Il n'est pas inutile d'j revenir.
Dans la détermination de l'erreur proliable, la précision des observations a été supposée connue. Le facteur m- représente la valeur probable du carré de l'erreur commise sur chaque mesure. En supposant ainsi l'habileté de l'observateur évaluée à l'avance, sans qu'il soit tenu compte dans celle ajiprécialion des discordances révélées par la comparaison des mesures, il ne faut pas s'étonner de ne ])as voir figurer ces discordances dans le calcul de Terreur à craindre.
On mesure, par exemple, les trois angles d'un triangle; on a vu déjà l'observateur à l'œuvre, il fait usage d'excellents instruments; on apprécie en conséquence la constante ni- : l'erreur probable est o", 5o. La somme des angles obtenus surpasse cependant 180" de \i". L'observateur ne méritait j)as la confiance ac- 13. 18
a^.'i CALCUL DES PROBABILITÉS.
cordée. La valeur de m- t'iail 1res piohahlenienl mal choisie. Mais, pour en atlopler une autre, on nian([ue de dooiK'CS suffisantes.
iîl3. Les formules démonirées sont applicables à des observations qui ne sont pas encore faites; elles indiquent les calculs par lesquels les inconnues devront se déduire des grandeurs directement mesurées. Les valeurs probables des carrés des erreurs à craindre dépendent de la ])récision espérée pour les mesures qu'on va prendre. Le cas où cette précision est assez bien connue, a priori, pour {|ue les résultats obtenus n'j [)uisscnt rien changer, quoi qu'il arrive, est tout à fait exceptionnel.
C'est à lui que se rapportent les formules.
2Li. On s'est placé quelquefois à un point de vue absolument opposé. La précision des mesures est supposée inconnue; la concordance plus ou moins parfaite des observations est le seul renseignement d'après lequel on puisse l'apprécier.
Ce problème est le contraire du précédent. Nous supposions la précision connue a priori ; le résultat plus ou moins heureux des observations n'y pouvait rien changer; pour rendre cette hypothèse acceptable, nous supposions même que les observations ne fussent |)as faites encore.
On suppose, au contraire, dans le nouveau problème, la précision complètement inconnue. Il faut la calculer d'après les résultats, qui sont, cette fois, la seule donnée.
Gauss a fait reposer la solution de ce problème sur une formule très élégante, qui sera démontrée à la fin de ce Chapitre,
La formule est irréprochable; mais l'api)lication est rarement permise.
Le problème n'est pas nettement posé.
Quelques exemples rendront la difficulté très claire.
On a mesuré les ti'ois angles d'un triangle; l'excès de leur somme sur deux angles droits peut-il faire connaître, indépendam-
CIIVP. M. — COMIlINArSON ni-S OnSEUV A I |(l\S. '>-,")
inonl do tout autre ronsei-^ncinenl, la valeur probaMe du carré de l'erreur coinniise dans la mesure de eliacuii des arij;Ies?
Si l'on admet, comme il est vrai, <|u'à cIkkiuc instiiimeiit manié |)ar un observateur désigné corrcs|)ond, ohjccliKCinriil , une valeur probable déterminée du carré de l'erreur et (pie, en tlonnanl la somme des trois angles obtenus, on demamle la valeur vraie de cette constante caractéristique de la j)récisioM, le problème est insol(d)ic.
Une valeur vraisemblable est, évidemment, tout ce (pi'il est permis d'espérer.
En réduisant le problème à ces termes très vagues, une lacune subsiste dans l'énoncé ; elle doit enlever toute confiance dans le résultat.
La connaissance de la valeur probable (i priori de l'inconnue dont on veut déterminer a posteriori la valeur vraisemblable est un élément essentiel de la question; on ne donne sur lui aucune indication.
Les trois angles d'un triangle ont été mesurés par un observateur très habile 5 il a fait usage d'un excellent instrument; chaque mesure a été prise trois fois ; les résultats proposés sont les moyennes des trois observations. La somme des angles, après toutes ces précautions, surpasse 180" de o",25.
Les mêmes angles sont mesurés par un débutant qui s'exerce; l'instrument qu'on lui a confié est médiocre. Chaque angle n'est mesuré (ju'une fois ; les angles obtenus diffèrent des précédents de plusieurs secondes chacun. La somme des angles, pour ces secondes mesures, est exactement 180°.
Quels sont les résultats les plus dignes de confiance?
Les j)remiers, évidemment.
Les formules qui déduiront la précision des mesures de l'accord plus ou moins parfait des résultats ne peuvent manquer de donner l'avantage aux seconds.
Le cas, pourrait-on répondre, n'est pas celui qu'on a supposé. Les deux séries de mesures sont faites dans des conditions telles, qu'avant d'en connaître le résultat, sans donner la mesure numé-
