Reprenons la question générale

On a mesuré n -\-p grandeurs /,, Aj, /:(.... , fn+p- Elles sont liées par des équations rigoureuses à n inconnues a:, jj', z, .... En éliminant les inconnues, on oblicnl p équalioiLS nécessaires

( HAl'. M. — COMBINAISON DKS OUSF.Il V \T IONS. v-C)

cnlrc les n -+- p grandeurs nicsiirt'es :

1*2 ( /j. /o. • • • . l n + i^ -' <>, '"/» U\' Il //i-./»» ■ O.

Les mesures nY'tanl pas parfaites, ces équations ne seront pas satisfaites : les premiers membres auront de petites valeurs — //,. — /<o, ..., — ///, (pii seront exactement connues, puisque les mesures /|, /o, . . . , l„^p le sont.

Si l'on nomme Cx, e^, . . ., e„j^p les erreurs commises sur ces mesures et qu'on en néglige les carrés, la fonction F,, qui est égale à — A, et qui doit être nulle après les corrections, recevra un accroissement A, ; on obtiendra ainsi p équations du premier degré

,. ) QiCi-^Q2e2^...-f-Q„+/,e„+/,= /i2,

A,. /i-2, . . ., /i,i étant des nombi'cs connus dans chaque [)roblèni(.'.

Le principe admis est celui-ci :

Il est permis, à titre d'approximation, d'égaler une fonction des premiers membres de (^i), dont la valeur est exactement connue, à la valeur probable calculée avant l'épreuve.

Cette égalité, bien entendu, n'a jamais été proposée comme certaine : Valor verus, d'il Gauss^ p/oa/ fors e/-/ores ol/lti/it , major minorve mediifieri potest.

Ces deux grandeurs, la valeur véritable et la valeur probable, que le hasard peut faire plus grandes ou plus petites l'une que l'autre dans une proportion inconnue, sont égalées cependant pour former l'équation dont la solution est déduite.

La critique est rendue difficile. Quand on a dit : le second membre de l'équation proposée peut être, suivant la décision du hasard, plus grand ou plus petit que le premier, on s'est mis en règle avec la rigueur : le lecteur averti sait qu'on n'y prétend pas. De quel droit reprocher une cause d'erreur nettement signalée?

a8o CALCUL DES PUOllAniLlTÉS.

Le résullal est ilonné comnio uiu- iipproximnlion -, il ('sl loul naturel, au conlralrc, de chercher (|ui'Ue confiance jnérile le [)rincipc sur lequel elle repose. Nous nioiilrerons que, le principe étant admis, on en peut déduire, pour la précision, des valeurs très difTérentes et dont aucune, par conséquent, ne mérite confiance.

Formons un polvnôme

(22) Xj/jf 4- X2A3 -t-. . .-t- )>/>/«/, -+- 1,,-i i/iifii-h. . .,

homogène et du second degré par rapport aux seconds niemhres, numériquement connus, des équations (21). Quels que soient les coefficients choisis, A,, Aj, . . ., l'expression (22) est connue.

On peut en déterminer la valeur prohable, avant les épreuves faites, en fonction de la valeur probable m- du carré de l'erreur commise sur chaque mesure.

//,, //o, . . ., hp sont exprimés par les équations (21) en fonction des erreurs ^1,^0, . . . , e„+p- Le polynôme (22) est donc une fonction connue des erreurs commises dans les mesures; on en peut former la valeur probable en remarquant que celle de ej esl m- et que celle de eieii est nulle, quels que soient / et i' . La valeur probable du polynôme (22) sera donc de la forme G/«-, G étant connu. En l'égalant à sa valeur vi^aie, puisque tel est le principe accepté, on obtiendra une valeur de m- dans laquelle figureront les facteurs arbitraires désignés par A.