Il ne sera pas inutile de donner une application
On a mesuré les trois angles d'un triangle; les erreurs commises C), e-ii e-i sont inconnues, mais leur somme est exactemenl connue 5 on a
A, étant l'excès de la somme des angles mesurés sur deux angles droits.
On en déduit
h'\ = e\ -T- el -^ el -\- 'i.eie.2-\- le^Ci-^ 'aca*?!.
CILVI'. M. - < OMIU \ \l>(».\ M.S OIISKIt V \ I M).\S. /Si
Si ni- csL la valeur j)roljaljlc du carré de cliacuiic des erreurs ^i> ^i? ''3, 'a valeur probable du second membre est 3//J-, et l'on écrira, en c^alant cette vcilciir prohahlc à la luili-nr rrr/ir,
par conséquent.
Comme il n'y a (ju'une seule équation entre les erreurs, il n\ a pas, dans ce cas, de choix, à faire entre les combinaisons.
219. Reprenons le problème résolu (203j. On a mesuré cinq angles /, , /o, /j, /j, /j, entre lesquels les conditions géométriques du problème donnent les relations nécessaires
/i— /, — /3 = o, l-o-i- l-i- ij^- o.
Les mesures étant imparfaites, on a trouvé
lô-i-lî—/,= /il.
En désignant les erreurs réellement commises par e,, e-^, e-^, e^,
f;, , on a donc
e,-^ Cl — €3 — Ai,
pj-t- eo — e.) = /il.
Quels que soient les facteurs A,, Ao, "aj, le trinôme
(23) li/ll-^li/ll-^l^/ll/t,
est connu.
Ce trinôme est une fonction homogène du second degré des erreurs et, e.>, Cj, e^, e^, et, si Ton nomme m- la valeur probable du carré de l'une de ces erreurs, celle du produit de dcu\ d'entre elles étant nulle, on trouvera pour valeur probable de l'expression (28), calculée avant les mesures prises.
aSa CALCVL DES PnODVBII.lTÉS.
En égalanl celle valeur probable à la valeur vraie, on aura
A,, Âo, A3 sont arbitraires.
Si l'on voulait choisir enlre les valeurs en nombre infini représentées par la formule (?-4); il faudrait chercher la valeur probable du carré de la dilTérencc des deux membres et disposer de Ai, ).j, A.( de manière à la rendre miiiima.
Mais la formule (?-4)? <!"• peut évidemment donner des valeurs de m- très inégales, reste, quels que soient les facteurs )>,, lo» "'>-' la conséquence de l'égalité admise entre la valeur vraie d'une grandeur et la \aleur probable.
220. 11 est aisé de prouver par un exemple combien sont grandes les erreurs à craindre en égalant les valeurs vraies aux valeurs probables.
Un observateur mesure les trois angles d'un triangle; la probabilité d'une erreur comprise enlre :; et z -+- dz est, pour lui,
-^e~'''^' dz. Quelle est la probabilité d'une erreur y sur la somme
des trois angles?
On peut dire :
La valeur probable du carré de l'erreur commise sur chaque
anirle est — r-r:
La valeur probable du carré de l'erreur commise sur la somme
des Irois ansrles est — j--
Si donc on représente la probabilité d'une erreur j)^ sur la somme
k' des trois angles par -— e"* V", il faudra supposer
VF' ^ Tl?- '
v/3 La probabilité d'une erreur plus petite que a sur la somme des
CIlAl'. \I. — COMUINAISO.N OF.S OIlSEn V.VTIO.NS. 'J.X.'t
Irois angles est donc
La dcmonslralion peuL laisser un doute. En acceplanl la loi représentée [Kir f~**'' pour les [)roljabilités d'erreurs j>artielles sur chaque anj^le, csl-il permis d'en conclure une expression de même forme pour lerieur tolalc? L'assertion n'est pas évidente; on peut la démontrer.
Soient x, j', ; les erreurs commises sur les trois angles d'un triangle; posons
La probabilité du concours des trois erreurs était. </ jniori,
g-fc'^j'- dx dy de;
elle est le produit de — ^ c'^''?'' par l'élément de volume djdydz.
en considérant x, )-, z comme des coordonnées rectangulaires. La probabilité pour que, j:- + )' 4- ^ étant compris entre a et
'j.-{-d'j., 0 le soit entre o et o -^ do sera le i)roduit de — ,-e "?•■
parle volume compris entre les deux sphères qui correspondeni aux rayons p et p -j- dp et les plans dont les équations sont
x-T-y-k-z^OL-^ doL.
Ce volume est
, , 9. t:o do dx
La probabilité a priori pour que, la somme des erreurs étant comprise entre a et a+f/a, celle de leurs carrés le soit entre cet (p + dz)- est égale à
"ik^ c^'P' 0 do dx
sir. s/Z
'*.^f\ CALCUL DKS l'UObABlLlTKS.
I.a probabilili'" j)oiir (jiic la soinmc des trois erreurs soil comprise cnlre a cl t. ~r- dx osl la somme des valeurs de {'*A>) pour
loules les \aIours possibles de o (jui sonl comprises cnlre -^
cl X.
La probabililc pour que la somme des Irois erreurs soil comprise cnlre a cl a — dx csl donc
/ e- *' P' p (fp = — — e
La formule (27) se rcduil à
précisément celle que nous avions admise.
i22L Supposons, pour entrer au détail, qu'en mesuranl les Irois angles dun triangle Terreur probable sur cliaque mesure
soit égale à 2", la valeur correspondante de k esl — -p-
La probabilité d'une erreur plus petite que i" sur la somme des trois angles est, dans ce cas,
L'événement n'a rien dinvraisemblable.
S il arrive cependant qu'en mesurant les trois angles d'un triangle, on trouve une somme d'erreurs égale à i", la théorie adoptée donnera, pour déterminer la valeur vraisemblable du carré de l'erreur sur chaque mesure, la relation acceptée
CIIVl'. \l. — (OMIll.NAISO.N DKS OllSKIl V AIIONS . SiS")
par conséquciU,
ce qui correspond à une erreur probable de clia(jue mesure
L(Hsque, dans une seule épreuve, l'erreur commise sur la somme des angles d'un triangle est égale à i", est-il possible de proposer avec confiance o",7 comme* la valeur vraisend)lablc de l'erreur probable sur chaque observation?
La valeur probable, pour l'observateur qui a mesuré les angles, est un noinbre parfaitement déterminé; en la suiiposanl égale à 2", c'est-à-dn-e triple de la solution proposée, la probabilité d'une erreur moindre que celle qui s'est produite serait 0,1:").
La valeur o", 7 adoptée pour l'erreur probable donnerait à l'»'-vénement observé, c'est-à-dire à une somme d'erreurs moindre (pie I ', une [)robabilité plus petite que z, égale à
La probabilité |)our qu'en adoptant ^^'\- pour valeur probable de l'erreur on s'écarte peu de la vérité est, on le voit, fort é-loignée de la certitude.
2!2':2. Pour explicpicr plus clairement les principes théoriques de la méthode des moindres carrés, nous n'avons tenu aucun compte de la longueur des calculs. Ou peut, dans presque tous les cas, les abréger considérablement.
Les corrections prescrites par la méthode exposée (!21()) pour les grandeurs directement mesurées /, , /j, ..., /„+^ satislont à une condition remarquable qui peut servir de base à une détermination ])lus rapide des inconnues.
2<St) CALCUL DKS PUOBMHLITÉS.
La soniine des carrés des correclions faites aii\ inesurcs est un inininuini.
Keprenons pour le dénionlrer la (picstion déjà résolue (!210), en supposanl toujours, pour éviter la lon,i;ueur des formules, trois inconnues seulement, entre lesquelles on a six équations.
En nomiuaiil /,, A /,; les grandeurs mesurées et e,,
I-.,, . . . , <'o lt.*s erreurs très petites commises dans leur évaluation, les conditions du problème donneront trois équations du premier deffré entre les six erreurs
. P , ei -T- P. co -^ Pa e:, -i- P; e; -^ Pô ej -T- P« Cç, ^ A, .
( Rici-T- Rif.-r- Riea — RiC;-f-RiC5-t- Rc^'o^ As-
ÙXous allons chercher à déterminer entre les solutions de ces équations le système pour lequel la somme
est minima. -Nous constaterons l'identité des corrections ainsi déterminées avec celles qui résultent des conditions adoptées (!2I0).
Pour rendre la somme (29) minima, il faut égaler sa dilTérenlielle à zéro en même temps (|iie celle des expressions (28).
Nous aurons ainsi les équations
( 3o ) cidci-^ e-i dci -^ e^ dej -~- e-, de., -f- e-^ de^ -^ e^ de^ = o ;
I Pide,~ P, «^^2-!- P3 dci^Pi, de, -+- P5 de^-^Pe de^ = o,
(il) ' Qk/^1 -^ Q2 (f^-2 -^ Q^de, -^ Qv de^ -- Q^de-, -f- Q^de^ = o.
f R 1 dei — R2 de-i — R3 de^ -^ R4 de-, -^ R5 de^ -+- Rc de^ = o.
On ajoutera , conformément à la méthode de Lagrange , ces quatre équations, après avoir multiplié trois d'entre elles par des facteurs 'j.|. 'j.o, 'X;,, et Ton égalera à zéro les coeflicients des six dilTérentielles. Les équations
<?!-;- ;jiiPi-i-,a2Qi-+- .'JiaHi = 0,
e» -r- [il Pj -r- [JI2 Qî -<- [^3 R» = o.
(3-2) ' ^3— [JLiPa— ijLiQa :- IJI3R3 — o,
Cq -f- .a, Po -f- [J-î Qc -^ 1^3 Rg — o.
CHAI'. M. COMIIINAISOX T)KS OnSF.nV ATIONS. 287
jointes aux Irois équations ('.S;, dclerniineront les corrections 'm ^j- '':ii ^iî ^:.) ^(! et les multi[)licatcurs |x,, |j.j. aj.
l'^n ajoutant les é(|uations (Sa) après les avoir niullipliées par les coefficients de cliacunc des incomuies u.,, u... •;.,, et en ayuntr^ard au\ relations (-^■'^j, on formera les éfjualions
I Ki(I'î) +K2(PiQi) + !J^3(PiRi) = //.. (33) !JLi(PiQi)--H^2(Q?) --.u3(R.Q.>-/'2.
( iJi,(P,R,) + :;^2(QiRi)-i-Hi3(RÎ) =/«3. où (P;^ i. ( P, Q, ), ... représentent les sommes
Les équations (33) feront connaître |j., , a^, U). On déduira eusuite de (32) e,, Cn, <?;,
Les corrections ainsi obtenues sont identiques à celles qui ont été déduites (209) du Calcul des probabilités. Reprenons, en eflet, les équations (7) qui font connaître '/.^, A^, Ak ; elles ne diffèrent de (33) que [)ar le changement des termes indépendants des inconnues.
Cherchons par les deux méthodes la correction désignée par c,.
Les valeurs de "a,, Ao, A:( étant données par les équations
( Ài(Pi) -^>-(PiQi)+>-3(PiRi)--Pi-
(34) Ài(PiQi)->^2(Qî) ^À3(QiRi)--Q>.
( À,(R,Pi)^X2(R,Qii-->-3(Rî) --R..
la correction prescrite est
La condition du minimum donne
ei = — ;xiPi— :i2Qi— ;-«-3Ri-
En ajoutant les équations (33) multipliées par A,, ).2, ).3 et les équations (9) multipliées par ;j.,, ;j.o, 'J.3. on constate l'identité des deux sommes.
288 CALCUL DES PHOBVBILlTt's.
i2î23. Le priiuipo (les inoiiulres carrés élanl admis, on j)eut s'en servir pour obtenir les meilleures valeurs des inconnues, sans s'aslrcindre au calcul préalable des erreurs commises sur les ijrandeurs direclemenl déterminées.
Les équations imposées au\ inconnues élanl
(35) * cp,,r,j......,^/.
el leur nombre n -•- /> surpassant le nombre // des inconnues, on devra d'abord déterminer des valeurs approcliées X, Y, Z, ... de X, )', ;, . . . , pour lesquelles il subsistera entre les deux membres des équations (35) des dilFérences très petites a, a^. . . . , y.,i+p. Si l'on nomme Xi, r,, z^, ... les corrections (pi'il faut faire à X, Y, Z, . . . , et e, , Co, . . . , e„^p celles de /, , l.>, . . . , i„^p, on aura, en négligeant les carrés de ces corrections, des équations nécessaires de la forme
Pia-i-r-PiJi — P3-1-H...-H2, = Cl,
QiJ-i-hQîj, -h QjJi-^...— a. = ^2, Ri 3"]-!- Rj^i-i- R3;;, -4-. . .4- X3 = e.-i,
Pour rendre mininia la somme
e] -^el-^el -h...,
il laut, après l'avoir formée, égaler à zéro les dérivées par rapport à j^i, )•,, :;,,..., et l'on aura ainsi, entre les inconnues véritables de la cpiestion,
P,(P,r,) + Qi(Qi-ri) + Ri(Ri:r,)-^...-^P,a,-f-Q,ao-^...=:o,
P2( PlT, ) -f- QîCQl^Fl ) -}- Rî^ Rl^r, ) -T-. . .-^ Pî^l -+- Q2 3t2+ . . . = O,
P3( P,:r, ) -i- QaCQi^i ) + R3(Ri^i ) -f-- • • + fs^ti -- Q:,«2^-. • • = o,
(P|jc,), (Q,.r,), ... désignant l'ensemble des termes qui, dans les équations (36), précèdent a, , a^, .... On est conduit à la règle suivante :
CIIVP. \l. — COMBI.> AISO.V l»i;.S (JIISEUV \TlONS. 9,S(j
On ajoiilcia les premiers meiiiljres des é(jualioiis du nrcniier (leyi'é, dont les seconds membres sont les correcllous à faire suhir aux grandeurs dircctcmcnl mestirt-es, après les avoir iindliplico ^uccessivemeiiL parle cocfllcient de clia(pie Ineomuie.
Les équalions ainsi formées, en nombre égal à celui des inconnues, donneront la solution du problème.
12!24. Sujiposons que cinq points A,, Ao, A;,, A^, A.-, aient été \isés d'une même station O. Sur les dix angles que forment deux à deux les lignes de visée, on en a mesuré huit. En nommant /•,, vTo, J':\, Xj les angles de la direction OA avec les quatre autres, ces angles déterminant tous les autres, les mesures choisies sont telles qu'en nommant /, , Z^, Ij, /.,, /^, /„, /-, 4 leuis valeurs exactes, on a
{ Xi = /j, Xi — Xi= lu, Xi = l-, x, — J"i = /g.
Les relations entre les angles mesurés doivent être
Ces expressions ne seront pas nulles, mais auront des valeurs très petites. Nommons ces quatre valeurs a,, a^, a;,, y.^ ; elles donneront, indépendamment de tout calcul, une première idée des erreurs commises.
Pour appli([uer la méthode des moindres carrés, il est inutile de former les équations (5); nous ajouterons les équations (3j) après avoir multiplié chacune parle coefficient de l'une des Inconnues successivement choisies. Nous aurons ainsi
3 :ri — X.2 — X3 = /; — ^6— f»' 3 J"2 — ^i — -^1 = ^8 -- h— 1%, 3j"3 — J-4 — -^1= ^1— ^3-T- U, 3 X4 — ^3 H- ^r» = /i — /j — /•. . B. 19
ago CALCUL dks puonvuiLixÉs.
On en déduira les valeurs des Inconnues
Tx— T /l — — /2 -.h ^ /; - T '5 zh-^ —h F '»<
3 13 IJ IJ J IJ \i l5
^î - -7 /i -r- j '2 -; ^3 — >, '* "^ "'- '5 zh-- jl-i -t- — h,
i5 5 IJ 3 ij i5 5 u
i5 5 IJ iJ u i5 5 iJ
5 i5 i5 ij ^ IJ 13 i5
22o. Lorsque les correclions seront calculées, on devra chercher, en tenant compte des réserves faites, la valeur probable du carré de l'erreur à craindre pour chaque inconnue.
Gauss a donné pour ce calcul, comme pour tous les détails de cette théorie, une méthode devenue classique de laquelle résulte une démonstration du principe des moindres carrés très différente de celle que nous avons adoptée. Nous la reproduisons textuellement.
Problème. — Désignons par t', v' , e", . . . les fondions linéaires suivantes des indéterminées x,y^ z, ... :
[ V = ax -!- bj -^ cz -!-...+ /,
(Gi) {
Parmi tous les systèmes des coefficients x, ■/.', x", . . . qui donnent identiquement
k étant indépendant de a-, y, z, . . . , trouver celui pour leqiud X- -r x'- + x"- -h . . . est minimum.
Posons
.^ . ] bv^ b'v'-¥-b"v"-^...= r,,
(Gî) \ ,,,,,,
