CV -\- C V -^ C P' -t- . . . = Ç

m M'. \i. — coMniN VISON nr.s obskrvatio.ns. ?.()i

;, r,, "^ seront dos foiiclions lincaires de x, j-, c, n Ton aura / $ =:ri:rt2 -+-^i:a6~T-^S«c-+-. . .-4- Srt/.

) ^ — arllrtc— yilic -;- -:Sc2 -H. . .-4-2c/,

el de même pour les aulrcs S.

Le noniln-e des f|iianlilc's ;, y,, "C, . . . est égal au nombre ttj des liieonnu<'s j:-, j)^, :;, . . .: on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante (')

,r.-.A-i-(3t3c)S-;-(«?)-0-i-(aY)Ç-f-...,

(pii sera satisfaite identicpicmcnt lorsqu'on remplacera ;, r, , IÇ par leurs valeurs (G3). Par conséquent, si l'on pose

I a (xy.) -^- ù ( afi ) -h c ( av ) -f- . . . = a,

(GO a'(s=a)4-6'(a3) + c-(aY)^-----3:',

( a"( aa) -I- 6"( a!3 ) -f- c"( ay ) -l- . . . — a",

un aura identiquement

(G5) at' -i- a'p'-i- a"p"-i-. . . = r — A.

Cette équation montre que, parmi les différents systèmes de coefficients x, •/.', x", . . . , on doit compter le système

On aura d'ailleurs, pour un svstème quelconque,

el cette équation, étant identique, entraîne les suivantes :

(x — a) rt -r- (x' — %') a' -r- (x" — a") «"h-. . . = o, (x — oc) b -h {■/.' — a') 6' -H- (x"— ol") b" -r- . . .= o, {Y. — a ) c -f- ( x' — a' ) c' -f- ( x" — x" ) c" ~ . . . = o,

(') On verra plus loin la raison qui a conduit à désigner les coefficients de celle formule par la notation (aa), (a?).

•HJl CALCUL DES PUOUABlLlïÉS.

Ajoutons ces équations après les avoir multipliées, respectivement, par (aa), (a^), (ay), ..., nous aurons, en vertu du système (Gi),

c'est-à-dire

y.- 4- y.'2 -r- . . . = «2 -t- a'2 -I- . . . -+- ( y. — a )2 -+- ( y.' — a' )2 + . . . ; par conséquent, la somme

aura une valeur minimum, lorsque Ton aura

y. = a, y. = a', y." =■ ol" , ....

D'ailleurs, cette valeur minimum s'obtiendra de la manière suivante.

L'équation (Gj) montre que Ton a

a % -\- a' 7.' -^ a" a" -\~ . . . ~ o , /va -T- b' a! -\- b"a" -h . . .— o, c a 4- c' a' -(- c" a" -f- . . . = o,

Multiplions ces équations, respectivement, par (aa), (a,3), (av),

et ajoutons; en ayant égard aux relations (G4), on trouvera

a- -+- a'2 -i- a"^+ . . . = ( aa ).

Lorsque les observations auront donné des équations approximatives

il faudra, pour déterminer l'inconnue .r, choisir uue combinaison de la forme suivante

telle que Tinconnue a: acquière un coefficient égal à 1 et que les autres inconnues se trouvent éliminées.

Le poids de cette détermination sera

r.HAP. Xr. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 203

On ohlicnJra la délcrminalion la plus convcnajjlc en prenant

alors X aura la valeur A. On obliendrail «^vitlcmmcnl la môme valeur sans connaître les nuilliplicaleurs a, y.', y.", . . ., en effecluanl réliminalion sur les éijualions

le poids de celle délcrminalion sera

et Terreur moyenne à craindre

m \/p ( aa ) = m' yfp' ( aa ) — nï' \J p ( aa ) = . . . .

Une marche analogue conduirait aux valeurs les plus convenables des autres inconnues j^, z, . . ., qui seront celles que l'on obtiendrait en efTectuant l'élimination sur les équations

Si nous désignons par Q la somme

ou, ce qui revient au même,

on aura évidemment

d'à dù ^ do.

par conséquent, les valeurs des inconnues, déduites de la combinaison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles, sont précisément celles qui donnent à Q une valeur minimum. Or V — L représente la différence entre la valeur observée et la valeur calculée; donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et

OQ/i CALCl 1. PF-S PIIOU.VBILITKS.

observées des quanlilés \', V, V", . . . , ces carrés élanl respectivement muUipliés ])ar le poids des observations. Ces principes oui été dopui^ loni;lenips étal)lis par d'autres considérations {Theorin motus corporum cœleslium).

Si Ton veut assigner la précision relative de cliacunc des déterminations, il faut déduire des équations (Gn) les valeurs de Jc, y, z qui se présenleronl sous la forme suivante^ :

/ :r=A-(aa)t + (a?)r,-(aY)Ç-....

Les valeurs les plus plausibles des inconnues x, y\ ;, . . . seront A, B, C Les poids de ces déterminations seront

(1^)' (TF)' ("^;'

et les erreurs moyennes à craindre

pour X m \/p{7.z) = m' \/ p' (oli) =. . ..

pour r m v/p(|3?) = »i'v/^'(??) =• • ..

pour ^ m \/p('r:) = mWp'in) = • • • .

ce qui s'accorde avec les résultats obtenus antérieurement [Tlieo lia motus corporum cœleslium).

Le cas où il n'y a qu'une seule inconnue est le plus fréquent d le plus simple de tous. On a alors

il sera utile d'en dire quelques mots.

On aura

a = \fj> , d — \l p , a" = //>" , ....

/=— Ly/^, f'=-L'\/Jy, /" = — L'VÂ''

et, par conséquent,

ï = (p — /?'-4-/>"-^. ..)x — (pL -+- /?'L' -+-//!/ -4-. . .);

CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. ViQa

d'où

(aa) = ; j ,

Ainsi, si, par plusieurs obscrvalions qui ironl pa> la nn'mt,' précision cl dont les poids respectifs sont/?, //, //'. . . ., on a trouvé, pour une même quantité, une première valeur !.. une deuxième L', une troisième L", .... la valeur la plus plausible sera

et le poids de cette détermination sera

Si toutes les observations sont également plausibles, la valeur

la plus probable sera

c'est-à-dire la movenne arithmétique entre les valeurs observées; en prenant pour unité le poids d'une observation isolée, le poids de la moyenne sera rs.

226. Quoique les formules proposées pour exprimer la valeur probable du carré de Terreur à craindre, à quelque point de vue qu'on se place pour les obtenir, méritent peu de confiance, il n'est pas inutile de les défendre contre un reproche injustement adressé.

Bienajmé, auteur de l'objection, a proposé <( une modification profonde » ; il parle de la « défectuosité du calcul ordinaire ». Le défaut qu'il signale lui paraît si simple, « qu'aux premiers mots tout le monde en reconnaîtra l'existence ». — « L'erreur consiste, dit-il, à calculer la probabilité d'une erreur commise comme si elle était la seule. Un des premiers principes de la théorie des probabilités est que, quand plusieurs événements arrivent simultanément, la probabilité de leur concours est le produit des pro-

babililés de chacun, de sorte que la prol)aljilllé de ce concours est inférieure à la probabilité de chaque événement pris à pari ; elle est d aulanl plus petilc qu'il v a |)lus (révi'nomcMils. »

<( Evitleninicut, ajoute Hienavuié, il en est de même des erreurs de plusieurs inconnues, La probabilité que ces erreurs resteront toutes à la fois dans certaines limites ne peut être que le produit des probabilités séparées pour que chacune ne s'écarte pas de ses limites propres et, par conséquent, celte probabilité du concours des erreurs de grandeur limitée doit être notablement inférieure à la probabilité des limites de chaque erreur considérée isolément, quelles que puissent être les autres. »

L'assertion est évidente; mais le tort est d'accuser les auteurs de la théorie et des applications qu'on en a faites de l'avoir ignorée ou oubliée.

Quand on a calculé une inconnue, il importe de savoir quelle confiance mérite le résultat. Les formules de Gauss répondent plus ou moins rigoureusement à cette question. Si une seconde inconnue est calculée, le même problème sera résolu pour elle. Si l'on connaît les probabilités pour que les erreurs commises sur deux angles soient plus petites que o",io, on pourra, les deux résultats n'étant pas contestés, chercher la probabilité pour que les deux erreurs soient toutes deux plus petites que o",iO' l'intérêt de cet autre problème sera plus ou moins grand, mais c'est une étrange prétention d'accuser d'erreur ceux qui n'ont pas désiré le résoudre.

Prenons un exemple.

On veut connaître un angle A. Cet angle fait partie d'un triangle ABC. On mesure les trois angles A, B, C et l'on prend pour A la valeur

Si m- est la valeur probable du carré de l'erreur à craindre dans la mesure d'un angle, le carré de l'erreur à craindre en adoptant l'expression (38) est (199) |/?22.

CHAP. M. — COMBINAISON DKS OBSF.n V ATIO.NS. >.()"

L'ohjcclion consiste à dire : Sur les deux anj^les B cl C nous nvcz des erreurs à craindre; elles doivent entrer en compte; elles ont leur part nécessaire dans l'évaluation du mérite de la solution. Cela est vrai si le problème est de résoudre le trianj^le*, mais si le calcul est entrepris pour déterminer Tangle A, on n'aiiia nul souci des deux autres.

Le triangle a trois côtés; on peutv inscrire un cercle, ou \c circonscrire, déterminer la surface, calculer les bissectrices, etc., et résoudre cent problèmes différents pour chacun desquels, puisque le triangle est imparfaitement connu, une erreur sera à craindre. Cherchera-t-on la probabilité pour que toutes ces erreurs soient inférieures à des limites données? Si persuadé qu'on soit qu'il faut le faire, le nombre des grandeurs qui dépendent du triangle étant infini, il faudra s'arrêter; où commencera \z faute commise?

Un exemple réduira l'objection à sa véritable valeur.

On construit une carte géographique. Les villes, villages et bourgades j sont inscrits [)ar milliers. On étudie l un des points j)rincipaux et l'on cherche l'erreur probable à craindre sur chacune de ses coordonnées géographiques. Les calculs sont irréprochables ; l'auteur de l'objection, sans y contredire, signale une faute très grave, ^otre carte, dit-il, contient mille déterminations; il fallait, en vertu (ïiin principe dont la vérité frappera tout le monde, faire pour les mille points marqués le calcul exécuté pour un seul et multiplier les mille probabilités.

Les erreurs n'étant pas indépendantes, la solution aurait le mérite d'une difficulté vaincue, mais elle condamnerait la carte la plus admirée d'autant plus sévèrement qu'elle serait plus riche de détails. Comment espérer que le produit de mille probabilités ne soit pas très petit?

Le produit étant supposé connu, on accueillerait certainement comme un grand progrès la recherche isolée de chaque facteur. C'est elle seulement qui peut intéresser.

227. Nous terminerons ce Chapitre par la démonstration diin ('•légant théorème de Gauss, annoncé (21 i) et dont les conséquences

2()N C.VLCl 1. DES IMlOnVBILlTKS.

rclali\cs à la ilétcrminalion de la précision diin syslèmc (robsorvalions no me paraissent pas acceptables.

On a mesuro directement n -{- p grandeurs. Les mesures inspirent la même confiance; mais la valeur |)rol)able ni- du carré de l'erreur commise sur l'une d'elles est d priori complètement inconnue. Ces n -{- p grandeurs mesurées sont liées par des équations, que l'énoncé du problème fait connaître, à n grandeurs inconnues. La méthode des moindres carrés détermine ces inconnues par la condition que les corrections sur les grandeurs directement mesurées, qui rendent les équations compatibles, aient une somme de carrés minima.

Les calculs font connaître exactement cette somme de carrés, plus petite par l'énoncé même de la condition imposée, que la somme des carrés des erreurs réellement commises.

Le théorème de Gauss se compose de deux parties :

La somme des carrés des corrections prescrites par la méthode des moindres carrés est une fonction homogène du second degré, parfaitement déterminée, des erreurs réellement commises.

En désignant par ni- la valeur probable, a priori, du carré de l'erreur commise sur une observation, la valeur probable de la fonction qui représente la somme des carrés des corrections prescrites par la méthode, et par conséquent la valeur probable de cette somme de carrés dont la valeur numérique est connue, est égale à pni-.

Nous allons démontrer ces deux théorèmes, sans pouvoir accepter qu'il soit permis ensuite d'égaler la valeur vraie de la somme des carrés des corrections à la valeur probable et d'en conclure pour valeur probable du carré de Tune des erreurs d'observations

<?i, t'o, ..-, Cfi^p étant les corrections faites aux grandeurs mesurées et le dénominateur p étant l'excès du nombre n -\- p des mesures [)rises sur le nombre n des inconnues qu'on en a déduites.

<:it\i'. \i. — (;(»\Illl^ Atso.N dks onsi:u\ vtm>-\s. s».()()

i\on seiilemciil la somme dos carrés des corrections, niiii> clia(jiie correclion en particulier peut s'cx|)rimer en fonclion des ei'reurs x'écllemcnt commises. Si ces erreurs, en eflel, sont connues, les érpialions au\([uelles les inconnues satisfont, et (|iii ilr viennent incompatibles, sont parfaitement déterminées; elles s'accorderaient si ron ajoutait à cliaque grandeur Terreur commise en la mesurant, mais elles peuvent s'accorder d'une infinité dr manières. Les corrections véritables étant inconnues, on rend \.i somme des carrés niinima. Le calcul à faire pour cela est parfaitement déterminé, et le résultat ne peut contenir, outre les données de la question et les grandeurs mesurées, que les erreur> réellement commises.

La méthode exposée (207) permet de calculer cette fonction, dont l'existence est évidente a priori.

Soient

( Uj I

Ti e, -t- ïo e^ -+- . . . -^ Tn+p <^u+i. - ^n

les équations qui lient les erreurs possibles ei, e^. .... ^«4-/1 aux

évaluations des grandeurs /, , /j, ..., /«+/,, dont a,. 7.0 a^,

sont des fonctions numériquement connues et très petites, [)uisqu'elles seraient rigoureusement nulles si les mesures étaient exactes. Les corrections e,, Cj, ..., ^«4.^, prescrites par la mélliode des moindres carrés, sont des fonctions de a,, a^, .... y./, que la méthode fait connaître. La somme de leurs carrés est une fonction homogène du second degré de a,, aj, . . ., oty,. Mais les équations (89) sont satisfaites par tous les systèmes de corrections compatibles avec les données du problème; elles le sont donc par les corrections égales aux erreurs véritablement commises, et, en remplarant a,, a^, ..., y-p par leurs valeurs données par (39) en fonction des erreurs véritables î, , t^. ... . £//+/,, on aura exprimé la somme des carrés des corrections en fonclion de ces erreurs véritablement commises qui restent inconnues.

.ioo CALCIL DES l'IKIB VllM.ITÉS.

Pour oblcnir les corrections prescrites par la inélhode des moindres carrés, il faut rendre niininia la soniinc

/> - -;- fi- I ■ i fi- •

adjoindre, par conséquent, à l'équation

ei de\ -H Ci dcz -i- . . . -+- e,t-i /, de,,^/, = o

les/> équations obtenues en difTérenliant le système (Sp).

On devra, conformément à la théorie des maxima et minima, ajouter ces équations après les avoir multipliées par des facteurs indéterminés, et écrire le système

/ e,-^ ;ji,P,H- ,a2Q,-i-...-t- ,apTi = 0,

les facteurs a,, a^ ;J-/) et les inconnues <?), Co, • • -, <?rt+p se

déduiront de ces /z -r- p équations adjointes aux p équations (Sg). Pour obtenir les facteurs U(, 'j.^, ..., 'J^p, ajoutons les équations (4o), après les avoir multipliées par P,, Po, .... puis par Qi < Q25 . . • , et ainsi de suite, nous aurons

a, + a,(P2) -l-a2(PQ)4-...^.a,,(P,T) = O,

:^-2 - MQiP)^-MQn +• ■ •+ :v(QiT) = o,

a/,-^ai(TP) -^;jL,(TQ)--...^;ji,,(Ti) = o,

(P-), (PQ), ••• représentant la somme des carrés des valeurs deP;, de P,Q,, ....

Ajoutons les équations (4o), après les avoir mullipliées par e,, ('■2, • • •- <^/i+p: nous aurons

^ef -+- ;jii Xi -T- [J.2 a2 -H . . . -H [Xp Up = o,

et cette équation fera connaître Se,^, e-xprinn', comme nous l'avions annoncé, en fonction de a,, aj, . . ., a„ qui sont eux-mêmes des fonctions connues d'un système quelconque de corrections possi-

CH.VP. XI. COMBINAISON DFS onSKIt V \Tir).\s . Mil

IjIcs Cl par conscqiicnl, cii particulier, df's crmirs n-cllriiiciil commises.

"I-IH. Il nous reslc à cliciclicr la valeur piuhaljlc lir rcxprcssioii

Si £|, îjj .... ^/i+p sont les erreurs réellement commises, la valeur probable de tj est, (|ucl que soit /, la quantité inconnue niqui représente la précision des observations, et, les mesures étant indépendantes, la valeur probable de £,, £/-, quels que soient / et /', est égale à zéro.

La valeur probable de (42) est donc le produit par ///- île la somme des coefficients des carrés de î,, t-^, . . ., ^n^p-

En substituant aux a dans la somme (42) leurs valeurs en foiiclioii des s, données par le système (3()), l'expression devient, en ayant égard aux équations (4o)-

et, comme les corrections e sont des fonctions linéaires des pi et des a, par conséquent des c, on voit que la somme des coefficients des carrés ti, e-2 ^n+p dans (42) est égale à

dci de-i de„->.p

dii dt-i dtn-i-p

c'est-à-dire, d'après le système (Sg), égale, au signe près, à

^ p, ^ ^ Q., ^ - -^ T., -'^ " dz-i ' dt'i ' ' ' ' dtî

'^n^p -r ~ \ln-i-p -r I- . . . — 1 „-

"■-n-t-p U-n+p ii-n^ii

On a. en remarquant que les £ satisfont au système (.19) et que les 'j. sont des fonctions linéaires des a,

f/;jL, d'il „ dxi dix,

dii doii d2, dy^/,

3o'^ ( \LCll. DES PUODVUILITKS.

t>n en tlédiiit les cqualioiis

P 'l?\ <f'M po <1:m PO, , 'l'M p -Y

I^a somme des premiers membres esl donc égale à

c'csl-à-dirc à l'unllé ; car celte expression (44) est précisément le résultat de la substitution dans la valeur de ;jl, déduite de (4o), des coefficients de |ji| aux termes tout connus a,, a^, . . ., v.p.

La première colonne du Tableau est égale à l'unité.

Il en est de même de toutes les autres, et la somme est égale à /;.

Cette élégante démonstration a été donnée j)ar M. Guvou.

Lors donc que Ton résout un problème par la méthode des moindres carrés, n -\- p mesures ayant été prises et le carre'' de Terreur à craindre sur chacune d'elles étant m'-^ la valeur probable de la somme des carrés des erreurs réellement commises est {n -\- p)m'- \ mais la valeur probable, nécessairement plus petite, de la somme des carrés des corrections indiquées par la mélhodo comme les plus plausibles est seulement/?/»-.

2:29. Reprenons, pour donner un exemple, le problème résolu (214). A, , Ao, A3, A:, étant quatre points observés du point O, et les angles sous lesquels AiAo, AiAj, A, A.,, A-, Au et AjA^ sont vus du point O étant/), h, l-i, /j, /s, en posant

r,-h II— [3= a,, /.-^/, /3= a,,

a, et 7.2 étant très petits, les corrections à faire aux angles me-

CMVI'. XI. — COMBINAISON DKS OBSKll V ATIONS. 'ioi

< lires sont

La somme de leurs carrés csi

(45) - (3 Xi -4-3x1 — -ix, 2.2)

On a, en nommant s,, îj, £3, s,, cj les erreurs réellemcni commises,

ai = S; -t- £1 Î.J,

La valeur probable de a^ est ?i/n-; celle de y.',, o/n- et celle de. a, 7.-2, m- -^ la valeur probable de (4^) est donc

c'est-à-dire, conformément au théorème de Gauss, le produit do m- par l'excès 5 — 3 du nombre des angles mesurés sur celui des angles inconnus réellement distincts.

En égalant cette somme 2 ni- à la somme des carrés des corrections prescrites par les formules pour les huit angles directement mesurés, la valeur ainsi obtenue pour ni- ne peut nullement être acceptée pour mesure certaine ou vraisemblable de l'erreur à craindre dans les observations.

On peut affirmer seulement, et c'est là le point important, (|ue, si la somme des carrés des corrections est petite, la probabilité est grande pour que les observations aient été bien faites.

230. Indépendamment de l'incertitude du principe sur lequel la démonstration repose, je veux dire le droit d'égaler la somme

3o4 C.VLCLL DES PKOB VBILITÉS.

des carrés des corrections à leur valeur probable, une autre cause, lion moins grave (|uc la première, sufllrail, dans le plus grand nombre des cas, pour enlever toute confiance dans l'évaluation précise des chances d'erreur proposées après chaque application lie la niélliode.

On suppose, a priori, toutes les mesures également précises-, il est impossible, dans la plupart des cas, de croire à celte égalité : c'est faute de connaître aucune raison de préférence cpi'on accepte l'équivalence des résultats. Mais, connues ou inconnues, ces raisons, si elles existent, doivent exercer une influence sur Terreur rccllenient commise, et c'est celle-là dont on |)réten(l donner les chances.

Il ne faudrait pas dire : On obtient une jirécision movenne. Des mesures dont la précision est inégale ne donneront nidlement le même résultat qu'un nombre égal de mesures prises avec une précision uniforme de quelque manière qu'on la choisisse.

Les formules, enfm, supposent pour toutes les observations les erreurs constantes absolument écartées; c'est une condition difficilement remplie quand on combine des observations d'origine dillerenle.

Le calcul de la précision d'un système d'observations et l'évaluation qu'on en déduit pour la confiance méritée par le résultat ont compromis plus d'une fois la méthode des moindres carrés.

Après avoir discuté par d'immenses calculs les observations du passage de Vénus sur le Soleil en 17G1, Encke a trouvé pour la parallaxe du Soleil 8", 49 et pour erreur probable o", 06. Il y avait, en conséquence, plus de 3ooooo à parier contre i que l'erreur n'atteindrait pas o'',42, représentant sept fois l'erreur probable.

Les astronomes, cependant, acceptent aujourd'hui pour parallaxe 8",9i, qui correspond précisément à l'erreur o", 42.

Sur un nombre total de i49 observations, Encke, par des raisons dont il serait difficile de donner le détail, en avait considéré 90 comme meilleures que les 09 autres. Les premières avaient même poids dans les calculs et les secondes un poids moi-

(.I)\I lll.N \ ISIIN llKS OI)Si;i! \ \| IONS.

ti('' moindre. Il n'en fatil pas davanUige, indcpcndanimoiU de toiilo objccllon théorique, pour i'\plif|iior, j'oserai dire pour pr('vf>ir. (les erreurs plus grandes encore (pie celles qu'on a commises.

SI If rc'snilal (iiial est exact, l'un des observateurs, Sliorl, s'est trompé de aj" sur l'instant du second contact et Juslandcr de /j<»* sur celui du premier.

L'un et l'autre, cepcndanl, sont admis dans la première classe, eommo Lacaille, qui se serait trompé de 2" seulement, et Lalande, de 1 ,7.

L'erreur probable sur l'instant du premier contact, pour tous les observateurs de première classe, étant ^", il y aurait, si l'on s'en rapporte aux formules, 19000 à parier contre 1 qu'une erreur de 4o" ne sera pas commise; n'était-ce pas une raison suffisante pour faire passer Justander dans la seconde classe, peut-être même pour supprimer ses chiffres, en vojant cju'à la sortie il s'est trompé de 20"?

Encke, en prenant ce parti, aurait manqué, je le sais, à un principe que je n'accepte pas : les observations sont des témoins; si elles sont, avant l'épreuve, jugées dignes de confiance, leur déclaration, quelle qu'elle soit, doit être recueillie et conservée.

Laplace a évalué la masse de Jupiter —^ de celle du Soleil. L'erreur commise, affirmait-il, est plus petite que — du nombre proposé, et le Calcul des probabilités démontre qu'il v a 1000 000 contre i à parier pour qu'elle n'atteigne pas cette limite. La limite cependant a été dépassée : aucun astronome n'en doute aujourd'hui.

Il serait intéressant de refaire et de discuter de tels calculs. Je veux parler ici des principes seulement. Lorsque des inconnues sont déterminées par un grand nombre de mesures, les équations étant plus nombreuses qu'il ne faut, le calcul fi\lt connaître les corrections pour lesquelles la somme des carrés est minima.

Quelle est la confiance méritée par les résultats?

Nous avons résolu deux problèmes diflerenls :

Les observations n'étant pas faites encore, ou, ce qui revient au même, leur résultat étant encore inconnu, mais leur précision B. 20

3o() CALCUL DKS l'RODABILITKS .

clanl appréciée d'après l*hal)ilelc do robscrvalcur, quelle csl la précision du résultat? La soliilioii csl irréprocliablc, mais sans intérêt dans la plupart des cas. Lorsque les observateurs sont diflérents et les observations nombreuses, il est impossible, évidemment, d'exj)rimcr r/ /J//0/7' par un nombre la confiance méritée pai- cliacun, en écartant les ciiconstances parliculiéres ([ui oui pu le troubler, comme, par exemple, dans les observations du passage de Vénus, ce phénomène imprévu de la goutte qui rendait les contacts incertains.

C'est après les avoir obtenus c|u'il faut juger les résultats, et livéritable problème est celui-ci : Les observations sont laites, les calculs terminés, la somme des carrés des corrections est connue en cliiiTres; en déduire la précision supposée égale des observations combinées.

Nous devons répéter ce qui a été dit (1T4) :

Quand on entreprend uiie série de mesures, l'habileté des observateurs n'est ni parfaitement connue ni complètement inconnue. Ce sont des cas extrêmes. Il arrivera presque toujours que toutes les valeurs de la précision étant possibles, elles seront, (i priori, inégalement vraisemblables. La loi de leurs probabilités avant l'épreuve étant inconnue, le problème est insoluble.

Si les observations étaient mal faites, les équations seraient discordantes. La probabilité pour que le hasard, et non la perfection des mesures, les rende compatibles après de petites corrections peut être considérée comme une impossibilité. On peut, en conséquence, quand la somme des carrés des erreurs est petite, accepter sans crainte le résultat, mais il est téméraire d'évaluer en chiffres la confiance qu'il doit inspirer.

<:iIVP. \II. LKS l.rilS l)K I. \ STATrSTIOUE. 3o-

r,ii\i>iTi{i' XII.