LES LOIS DE LA STVTISTIOUE
Were IhU calculas foundcd on (lie exprrirncc of a Tory great number of yearA, Il «uuld very «cil be worlli thc «bile to (hink of niPtliods lu facllilotlic roniputallon or iwo, tbree or more lireit.
11*1 irv
"231. li existe plus dune manitre de consulter le sort; ((uand la pioitainlilé est la même, la moyenne est la nn-me sur un grand nombre d'épreuves, mais les chances d'écart peuvent être difTérentes. — i'M. Expression algébrique du problème à résoudre. — 233. Laplacc et Poisson, dans leurs études sur la statistique des naissances, ont négligé cette remarque. — 23'i. Le tirage dans plusieurs urnes donne, pour une même probabilité moyenne, une valeur plus petite au carré de l'écart. — 23.5. Induence de l'importance des sommes assurées sur les chances d'écart de la moyenne. La formule obtenue en supposant les tirages faits dans la même urne n'est pas acceptable. — 236. Loi de mortalité de Gomperlz.
HSl. Les géomètres onl taciteincnl assimilé les événemenl> lorluils à une série de tirages au sort faits dans une urne de composition inconnue. Kien n'autorise, a priari, une telle hypothèse. Toutes les manières de consulter le hasard ne sont pas équivalentes. Sans vouloir le contester, on s'est montré souvent trop peu sévère dans le choix à faire entre elles. Une première condition est évidente, c'est l'invariabilité aj)prochée du rapport i-iiln' le nombre des événements et celui des épreuves.
Quand cette première vérification réussit, on s'en contente l^resque toujours; le rapport constant fait connaître la composition d'une urne dans laquelle doivent se faire les tirages fictifs; on
3o8 CALCVL DES PnOIUlilMTÉS.
en déduit, pour un grand nombre d'i-prouvcs, 1rs ronsrijnonccs estimées de plus en plus probables.
Si l\»n obser\c. par cxcmjde, dans un pays dont la population est slalionnaire, le nombre des décès, celui des naissances, le rapport du ntimbre des lllles à celui des garçons, le nombre des incendies, celui des jours où le vent souflle dans une direction désignée, etc., on trouvera, avec une ajiproximation inégale, mais toujours grande à la longue, un rajiporl invariable entre le nombre d'événements d'un genre désigné et le nombre des épreuves. On comprend dans quel sens est pris le mol épreine. S'il s'agil, par exemple, des incendies, chaque maison sert d'épreuve, et le rapport dont nous jiarlons est celui de leur nombre total à celui des sinistres.
Chaque événement fortuit acquiert par ces relevés, quand ils portent sur de grands nombres, une probabilité déterminée sur laquelle, lorsque les rapports reslenl constants, ne peut s'élever aucun doute.
Si, sur loooo individus àgt'-s de 3o ans, oooo atteignent 1 âge de 65 ans, on conclura, très légitimement, que pour un homme de 3o ans choisi au hasard la probabilité de vivre 35 ans est i.
La conclusion étant acceptée, elle n'autorise pas l'assimilalion des chances de décès des hommes de 3o ans, dans une période de 35 ans, à celles du tirage au sort dans une urne contenant I boule blanche et i boule noire.
Si dans une telle urne on fait loooo tirages, le nombre des boules blanches obtenues sera 5ooo environ, un peu plus ou un peu moins, selon les caprices du hasard.
Si, sur loooo individus âgés de 3o ans, on compte les survivants 35 ans après, ce nombre, d'après les Tables qui sont très exactes, sera 5ooo environ, un ))cu plus, un peu moins, sui\anl des circonstances que nul ne peut prévoir.
Les deux cas, sous ce rapport, sont identiques.
Est-ce là tout ce qu'on doit demander?
Les nombres comparés diffèrent peu de 5ooo.
Mais l'écart dans un cas, celui des décès, est complètement in-
CHVP. XII. — Lies LOIS OK LA ST VTISTIQfK, 3o()
connu ; nous n'en pouvons ri(!n dire, moins encore allirmer. iJans le cas (les tirages au sorl tlans une urne, il esl soumis à des lois précises.
La ino\enne de ses valeurs absolues, celle des valeurs de son carré peuvent être, avec confiance, calculées à l'avance.
On peut afflrnier que, dans le cas pris pour exemple, sur loooo tirages renouvelés un grand nombre de fois, la valeur moyenne de l'écart sera /{o; celle de son carré, aSoo.
Si, en considérant un grand nombre de groupes de loooo liommes de 3o ans, la moyenne générale des décès en 35 ans étant égale à 5ooo, la moyenne des écarts, au lieu d'être 4o> se trouve égale à loo, on pourra, sans en conclure l'existence d'une cause perlurbalricc, accuser de la discordance la prétention d'assimiler deux problèmes très diflerents.
Il y a, nous l'avons dit, bien des moyens de consulter le hasard ; quand ils donnent le même résultat moyen, ils ne donnent pas pour cela les mêmes probabilités d'écart. vVu lieu de tirer des boules dans une urne de composition donnée, on peut associer plusieurs urnes de composition différente et puiser alternativement dans chacune d'elles : les résultats moyens sont les mêmes que pour des tirages faits dans une urne de composition moyenne, les chances d'écart ne le sont pas.
Si, pour prendre un cas extrême, au lieu de puiser lOOoo fois dans une urne contenant i boule noire et i boule blanche, on puisait alternativement dans deux urnes contenant, l'une la boule noire, l'autre la boule blanche, on obtiendrait avec certitude 5ooo fois la boule blanche, et l'écart deviendrait nul.
La substitution de plusieurs urnes à une seule pour représenter les Tables de mortalité paraît, a priori, très plausible. Parmi les individus du même âge, il est impossible de ne pas faire des catégories pour lesquelles les chances de vie sont inégales. Elles ne sont pas les mêmes pour la ville et pour la campagne; on doit tenir compte des habitudes d'oisiveté ou de travail, de la profession exercée, de l'intempérance ou de la sobriété, de la longévité des parents, etc. La statistique confond tous les cas et
!»IO CALCIL DES l'UOI) AllII.ITKS.
<lonno une inoyonnc; on iipproilierail davanlayc de la vrriU' en fornianl une Table pouv cliaquc ealégorie : chaque Table alors scrail remplacée par une urne cl les coniposilions seraient dilTérenles.
Si l'évc'nenienl ctuJié esl la cliule de la pluie el que, dan?, un lieu déterminé, on observe, en moyenne, sur un grand nombre de siècles, 9> jours de pluie par an, la j)rol)abililé sera, jxiur (]u il pleuve un jour donné, ~^, cela n'est pas contesté; mais, chaque année, le nombre des jours de pluie s'écartera plus ou moins de gi : la moyenne des écarts n'a rien de commun avec celle qui se produirait si, charpie année, on faisait 365 tirages dans une urne contenant 92 boules blanches et 2-3 boules noires.
La cause de la difr(''rence, très probablement, est autre dans « c cas que dans le précédent. La probabilit(' pour qu'il pleuve un jour désigné longtemps à l'avance est j^-^ mais, pour qu'il pleuve deux jours de suite, elle esl très dififérenle de (ifij'-s)'- Quand il laii mauvais temps, ce n'est pas d'habitude pour un jour seulemeni ; la probabilité d'un tirage est influencée par celle du tirage précédent. Cela ne change rien aux mojennes, puisque l'urne a été composée précisément pour les rendre égales; mais il n'y a plus entre les écarts, indépendamment de toule cause perturbatrice, aucune relation nécessaire.
!23!2. La question générale semble devoir être posée de la manière suivante :
Un événement fortuit peut, sur [jl épreuves, arriver un nombre inconnu de fois : la probabilité pour qu'il arrive n fois est /?„ ; le nombre probable des arrivées sera
en le désignant par a/?, la statislique indiquera le nombre /> comme probabilité de l'événement à chaque éj)reuve.
Si l'on renouvelle /? fois les [j. épreuves, le nombre d'arrivées s'écartera, pour chaque série, de la valeur moyenne 'J-jk \in nom- TiantNijNo, . . . , N„ les nombres successifs sur |jl épreuves, la
CHAI'. \ll. — l.KS LOI^ I)i: I. A ST \TI.STIOl F.. >ll
movonnr
N,H-Ni-t-N,-4-...4-N,.
(lifTcrcra peu de [),p. Nous pouvons mrmc la regarder comme égale à i),p, car c'est ce rapport seul ([ui nous fait connaîlre l.i jjrobabilité moyenne désignt-e par/>.
L'écart dans les <x épreuves formant la série du rang / sera
,, Ni-^Nî-i- N3-t-...-4-N„
La moyenne des carrés des valeurs de celle din'ércnce aurait (0!2) une expression très simple, ;^/>(i — />), si l'événement était le tirage au sort dans une urne; elle pourra, sans qu'on s'en étonne, prendre dans le cas général une valeur très différente .
L'étude de ces valeurs dans tous les cas possibles serait intéressante.
La movenne des carrés de l'expression (3) est identiquement (103)
Le second terme différera peu de [^'-p'-', cela résulte, nous l'avons dit, de la définition même de p.
Le premier terme
n'est pas une fonction déterminée de p.
Si les nombres N,, N., ..., N„ résultent de tirages au sort dans une urne donnant à la sortie d'une boule blanche la probabilité/j, on aura approximativement, pour un grand nombre d'épreuves,
(0) ^-is.p,
(6) ■N,+lN.^-^...+ lN„ ^ ^^,^,^ ^^^^ ^ ^^^
L'équalion (5) est évidente.
3l2 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Le premier mcinlire de (6) peut, si n est grand, èlre remplacé parla valeur probable de N-, c'esl-à-diie piir le carré du nombre d'arrivées sur u. épreuves de l'événement dont la probabilité est la somme des termes du développement de (/? + q)^ mullipliés chacun par le carré de l'exposant de p. Cette somme a été calculée (183).
Si l'on ne connaît sur les probabilités /),, p.,, . . ., p^ que la seule équation
à laquelle il faut adjoindre la condition identique
l'équation ((>) n'est plus démontrée. Il est impossible de connaître, d'après les données, la valeur probable de
n égale à
oi -4- 4/»2 — 9Pà -+-... ^ \i--py. ;
et par conséquent aussi la valeur probable de l'écart représentée par l'expression (4) doit rester inconnue.
233. Lorsque Laplace et Poisson ont cherché les probabilités de certaines anomalies locales dans le rapport du nombre des naissances masculines et féminines, ils n'ont pas tenu compte des différences très grandes que nous venons de signaler. Leurs calculs sont faits comme si, la naissance d'un garçon avant une certaine probabilité, les résultats possibles d'un nombre quelconque de naissances avaient, à moins de causes perturbatrices, les mêmes chances que si l'on tirait des boules d'une même urne convenablement préparée.
234. Lorsque la probabilité d'un événement est p, la valeur probable du nombre d'arrivées sur ik épreuves est ti./?, et celle du carré de l'écart entre le nombre véritable et le nombre probable |jl/> est(62)u/>(,-//).
CHAP. Xlt. — LES LOIS DK L\ STATISTIQUE. U ^
Si, à une urne tlonnanl une prubahililé p à révéricment, on substitue /i urnes dilTércnlos donnanl lespruhahililés />, , />■,. . . . , /i,,, dans lesquelles on puisera aUeiiialivcMienl, la |intlialiililé niovenne étant «'gale à /y, la valeur niovenne du earr»'- de ['«'cart seia diminut'c.
Si l'on lire, en eflcl, sueeessivcnicnt dans les diverses lunes et que, le nombre total des tirages étant a/t, on ail puis/- <x fois dans chacune, le nombre probalde des boules blanches sorties sera
;ji ( /?, -t- /?, H- />» -^ • . . -H />« ).
Sur un même nombre 'x/i de tirages dans la première urne, Ifnombre probable des boules blanches serait
Ces nombres sont égaux, puisque, par bjpolhèse, la moyenne
P\-^Pi — p?. — ----^Pn n est égale à p.
Les chances d'écart sont très dilTérentes.
Dans le cas des jji/i tirages faits dans l'urne qui donne à la sortie d'une boule blanche la probabilité p, si l'on désigne le nombre des boules blanches sorties par
[X/ip ^- z,
la valeur probable de z- est (G2)
(7) ixnp{\~p).
Dans le cas des /i séries de ;jl tirages qui forment la seconde épreuve, les nombres de boules blanches pourront être représentés par
iJt/>l-^^l, [Xp2-r- Zî lXp,i-r-Z„\
l'écart entre leur nombre total et le nombre le plus probable sera dont le carré peut être représenté par
(8) I.zf^-2lZiZ,.
3i/j «:alcil des vnon.viiiLiTi'-.s.
La valeur probable de ^/C/' est mille, (|iitls que soieul / el / " ; eellc de :-j est
u/>ifi — /m)-
La valeur probable du earré de Técarl dans rcnscmble des 'x/t épreuves faites dans n urnes dlirérenlcs csl
(9) APi{i — Pi) -^ Pid — Pi) ■+- ■ • --^ Pn{l — P,,)].
La difrérence des expressions (j) el (9) est, on le voit aisément,
elle est essentiellement positive, et la valeur probable du carré de Técarl dans le cas dune seule urne est, pour une même probabilité movcnne, plus grande que pour les urnes associées.
l23o. Les remarques précédentes peuvent s'appliquer à la théorie des assurances. Le bénéfice dune Compagnie d'assurances sur la vie, par exemple, dépend du nombre des décès qui surviendront dans l'année parmi les assurés. Ce nombre se compose de deux parties : un terme fixe, proportionnel au nombre des assurés et donné par les Tables, et un terme aléatoire, inconnu de grandeur el de signe, que nous nommerons Vécart. Le premier terme fait connaître la valeur équitable de la prime à paver, le second représente les variations du bénéfice annuel; il est très probablement petit par rapport au premier, si le nombre des affaires est considérable.
L'appréciation réduite à ces termes vagues n'est pas contestable; mais il n'est pas permis de la réduire en formule en assimilant les écarts à ceux que jtcuvenl produire des tirages au sort dans une urne de composition fixe.
Si l'on considère, par exemple, une Compagnie d'assurances mutuelles contre l'incendie, la part de chacun dans la répartition des sinistres variera d'autant moins, toutes choses égales d'ailleurs, d'une année à l'autre, que le nombre des assurés sera plus
<ll\l'. Ml. l.|;s lois Di: l.\ si ATlSTIOt K. Il )
-liind et qiif les soiiimes assurées ;i eliaciin dlUVreronl ini)iris de lêj^alili'-.
Soient
[i., le nombre des assurés à (|iii l;i prime à paver en eas de >inisirr
est a, ; u... le nombre de ceux pour rpii la j)iiinc est rt..,;
v.„ le nombre de ceux poui- (|iii «Ile est a„.
Soient
'■,, To, . . . , c,j les écarts relatifs à cbacunc de ces catégories: jt la j)robabiIité d'un sinistre.
La somme probable à payer sera
p ( a, ai — ;ji2 ^2 — . • • -t- \i-n '^n ),
< I la part proportionnelle de celui qui doit recevoir a, est
pOL^i [J.1 «i -f- ,U2 2, -(-... -H \Xn X„ )
ai-f- aj — .. .— a„
L'c'Crt/7 de la somme à paver, c'est-à-dire la difTérence entre la >()mme prévue et celle qui sera réellement due, est pour la Compagnie
Les écarts ^i, e>^ • • • ■, C/i avant des valeurs probables égales à zéro, ainsi que leurs produits deux à deux, le carré de celle expression a même valeur probable que
10) ajef — a|e.î -^. . . . -H a;, (?;,.
Si le sinistre dont la probabilité est/» était assimilé à un liragr au sort dans une urne de composition invariable, la valeur proijable de ej serait 'J-ip(i — /?), et celle de la somme (lo) au rail pour valeur
' 1 i) />(! — />)( ;x,af -T- iX2a|-t-. . . -r- ;a,j2*).
La part correspondante de l'assuré qui doit recevoir a, serait
-J-i pi I — /> ) ( ai a: f — \Jlo^î -^- . ■— IJ^n^n ) ai -H aj -+- . . . -i- a„
3iG
CALCtL DF.S l'UOnAllIl.lTl.S.
Celle cvaliuilion, clédiiilc d mio assiiiiilalioii (|uc ricii iraiiU)riso, ne doil inspirer aiieiine ectniianee.
î230. Je lennineral ee Cliaj)ilre en inditjiianl une loi remarquable de probabililé proposée par Goniperlz, el (jui, dans des limites assez écartées, paraît s'a[)proclier de la vérité.
La condition arhitraiicnient imposée à la fonction inconnue est que la probabilité pour que deux individus d'âges connus vivent l'un et l'autre aj>rès un nombre donné d'années soit pro|)ortionnelle à celle pour- qu'un troisième individu, d'Age convenablement choisi, vive lui-même après ce même nombre d'années.
Si 'f{:) désigne, pour un nombre donné de naissances, le nombre des survivants à 1 âge z, la condition demandée est exprimée par l'équation
(12) o{a-hx) ^jb^x) ^Q?(c-t-a')
Cette équation doit avoir lieu (]uel que soit x^ quand on choisit
pour G une fonction convenable de a et de b.
o ( « -!- .r ) fp , I 1 • I • ' ' • 1 • • 1 1
- — - — - — est, en eiiet, la probabilité pour qu un individu dont
l'âge est a vive encore dans n années.
En prenant les logarithmes des deux membres de (irî) et posant l'^{ii) = F(m), la condition devient
F(a^-a^)-^-F(6-r-a7) = F(c-}-a7)^- II,
Il étant une fonction de (i et de b indépendante de x. En prenant la dérivée par rapj)ort à x el j)osant
(i3) '^(a -i- 37) -i- •j/(6 -T- ar) = <|/(c H- ar);
par conséquent, en faisant .r = o, (11) ^{a)-^^l^(b) = i^{c);
c.n.vr. \it. — LES LOIS nr. i.\ statistique. .'{i-
on (loil avoir aussi
(i5) ^{a-\- dx)-^'}f(b-¥ (Ir) — ']^(c^ ilx)
rL, en relraiiclianl,
Les seconds m<'inl)rcs des ('(|iialions (i4) el (i")) sont fondions (lec; ils dcpendenl donc riiii do l'aiilre. Il doil en rire de même des premiers membres, et une relation doil (.-xisler enlre les deux l"o net ions
La condilion nécessaire et suffisanle pour (pi'ii en soil ainsi est (pie le déterminanl fonctionnel soil nul. l'xrivons donc
i^\ a ) 'b'\ b) — 'YK a)<l\ b ) = o.
Telle est l'équalion qui d('-lerminc 'i>. Si l'on suppose que ni 'V ni 'V ne soient nuls, on aura
•IXa) " 'l'{ bf
on en déduit aisément et, successivement,
o{z) := elI,e'-- + C,:-4-C.-
Il ,, Cl, C2 et A" sont des constantes.
Cette formule, plus générale que celle de Gomperlz, a été proposée par ^Slakeham.
Gomperlz suppose C, et Cj égaux à zéro et prend
J'ai déterminé les coefficients par la condilion d'accorder aulanl que possible les coefficients avec les meilleures Tables con-
llS CALCUL DES l'KonAlU LITK.S.
Les rrsiillals sonl doniu's par le Tableau suivant :
K = 0,071485. loglv - 8,8)4j>.i jn,
H = — 0,0065401, logll = 7,8i5y8i I, G= <)4 1,160, log G — 2,9736634.
Tables
des 20 C '
ilr
de
de
Calcul.
anglaises.
Duvillanl.
Deparcicux.
\orlliaiiiploii
8ii,5o
iri. .
.'iO. .
Sj..
fi,"). .
Les difTérences entre les valeurs de 'o{z) et celles que donnent les Tables des vingt Compagnies anglaises sont moindres que les différences des diverses Tables entre elles.
cn\i'. Mil. iMi()iiAuii.ni';s dks nKc.isiOAs. 3i(
