TT = I -4- —J

comme on l’a déjà démontré.

Si le radical se présente sous la forme \Jn -t- = , on remarquera qu’il est égal à

De même

V « — £ = v'tt

Supposons, par exemple, qu’on cherche le cosinus de l’arc dont

le sinus est égal à — - — La formule ordinaire donne ° to o

cos x = \/ 1 — sin J x ;

mais on peut éviter cette pénible extraction dé racine carrée en posant

sin-x , . . sin'x t

eosx = t — , et ici = ,

ce qui rend le calcul beaucoup plus facile.

8. On voit que toutes ces simplifications sont fondées sur ce faitdontnous avons déjà parlé, qu’une fonction se développe suivant les puissances ascendantes de la variable. Cela conduit à la méthode des coefficients indéterminés, qui consiste; étant donnée

une fonction y ~f[ x), à poser

y — A -H Ba: -+- Cx 1 -H Di 1

et a déterminer, d’après la nature de la question , les coefficients A, B, C, D, etc.

Les séries de Taylor et de Maclaurin établissent , en général , la forme de ces coefficients d’après celle de la fonction donnée, mais, sans y avoir recours, il est souvent facile de déterminer directement ces coefficients. Ainsi nous pouvons retrouver, par cette méthode , les formules approximatives que nous avons déjà obtenues. Posons

A -f- B s -4- C e 3 -4- De 2 — f- . • . ,

ce qui donne

Faisant passer dans le second membre et observant que, si une fonction d’une variable est nulle pour toutes les valeurs de cette variable , les coefficients de toutes les puissances seront nuis séparément , on posera les égalités

A— 1 = 0 , B + A = o, C + B = o, D 4- C = o, . . ., ce qui donnera

et enfin

comme on l’avait déjà trouvé par la division.

Ce développement convient à une valeur quelconque de s.,, mais si £ est très-petit, on retrouve la formule connue

NOTIONS GÉNÉRALES

Revenons encore l’expression

y/i -t- s == A -f- Bs -t- Ct 3 4- lïs 3 -4- Es* + ... . On trouve, en élevant au carré ,

i + s=A 1 +2 AB

s 3 -t- 2 BC

sM-C 3

-t- 2 AC