O, IO

— o,ooo8/|8a

0 , GG °i ®7

— 0, oooo 353

Nous nous dispenserons de former le tableau analogue pour la quatrième racine , qui s’obtient en comparant le coefficient — ?. de .r 1 dans l’équation proposée

avec la somme des trois autres racines.

Mais après avoir trouvé ces quatre racines , que nous indiquerons par x', .r", x'", x 7 *, suivant leur ordre de grandeur, nous remarquerons que

x ' -+- x” = i et que x" -4- x H = I,

observation qui nous permettra d’abaisser le degré de l’équation et d’approcher davantage des racines.

Pour y parvenir nous poserons, comme nous l’avons fait à la fin du second chapitre , dans une circonstance analogue,

ce qui nous donnera

70 é — io 5 i 7 -+- g sa o,

équation bicarrée, d’où l’on tirera facilement les quatre valeurs

Nous terminerons ces considérations sur la manière de former les tableaux des différences par la remarque suivante :

Ce serait une erreur de croire qu’un nombre est limite supérieure des racines positives d’une équation par cela seul que la ligne horizontale correspondante ne contient que des nombres positifs, ce qui fait qu’il en est de même dans toutes les lignes inférieures pour des valeurs de x plus grandes. En effet, il pourrait exister entre deux de ces valeurs un nombre pair de racines. Ainsi l’équation

•r 1 -+- 1 1 je 1 — 102*-+- 181 = 0,

dans laquelle la substitution de x = 3 , avec li=i, donne

X = 1, A = 1 2 , A J = 46 et A 3 = 6 ,

a deux racines plus grandes que 3 , qui sont, à un centième près , 3,2i et 3,22.

91 . Nous n’avons parlé jusqu’ici que des équations à coefficients rationnels, qu’il est facile de ramener à n’avoir que des coefficients entiers : dans cette circonstance A” 1 /, étant constant et

INTERPOLATIONS. it^)

les différences suivantes étant milles , on exprime /„ ou Y par une série d’un nombre limité de termes. Mais il n’en est plus de même pour les équations transcendantes, auxquelles on applique d’ordinaire la méthode des différences.

Cependant , quand les différences d’ordres consécutifs vont en diminuant continuellement, on peut résoudre l’équation transcendante par le même procédé qu’une équation ordinaire. En effet, quand on aura fini par trouver une différence d’un certain ordre tellement petite, qu’on puisse la négliger sans sortir des limites de l’approximation que l’on désire, il est évident que toutes les différences suivantes seront également milles , et que la différence précédente, à laquelle on arrêtera la série, sera constante.

Ainsi tout se passera comme dans les numéros précédents, sauf pourtant que les différences successives ne seront plus exactement divisibles par les nombres 2 , 3,4, 5,..., qui se trouvent en dénominateurs dans les formules, comme nous l’avons vu à la fin du n" 09 ; cependant l’observation que nous avions faite subsiste dans la pratique, car il est clair qu’on ne doit pas calculer de décimales d’un ordre plus élevé que celles qui se trouvent dans la différence que l’on néglige.

Nous nous dispenserons de donner un exemple de solution pour une équation transcendante , puisque les calculs sont absolument analogues à ceux que nous avons déjà faits; niais nous appliquerons ce que nous avons dit à la construction des Tables de logarithmes , afin de montrer comment on trouve les différences négligeables.

Soient y — Lx, et h = Ax la différence constante entre deux valeurs consécutives de .r; on aura

y, — L ( x -f- h ) = Lx -+- L

Lx+Ml-.

l + jl - ..y

d’ofi l’on tirera y,, y if . . . , en mettant ih, 3 A,..., au lieu

de h, ce qui donnera

On poussera ces suites, suivant la grandeur du nombre x, jusqu’à ce que la dernière différence soit assez petite pour être négligée sans erreur sensible, d’après la nature de l’approximation désirée.

Si l’on avait , par exemple ,

x = i oooo et h i ,

on trouverait, en se rappelant la valeur du module des logarithmes ordinaires, M = 0,434 294 4 $' 903 a 5 i 8 ,

et il est évident que, si l’on ne voulait avoir les derniers résultats qu’avec dix chiffres seulement, on pourrait, sans crainte d’erreur sensible, négliger longtemps les différences du quatrième ordre; car il faudrait qu’elles fussent répétées un grand nombre de fois pour influer sur la différence troisième. On formera donc une première ligne horizontale avec la valeur initiale y — 4 pour x = 10000 , et les trois différences que nous venons de calculer, et dont la dernière est regardée comme constante. D’après cela , on sait que le tableau pourra être continué assez loin , et l’on calculera les logarithmes des nombres rooot, 10002, iooo 3 , etc.

Il faudrait faire le calcul avec quinze décimales, afin de reconnaître quand l’accumulation des quantités négligées pourrait influer sur le dernier chiffre qu’on se propose de conserver, ce dont on s’assure au moyen de quelques logarithmes calculés rigoureusement à des intervalles éloignés. Lorsque le dernier des dix chif-

INTERPOLATIONS

fies que l’on veut conserver cesserait d’être exact, ce qui n’aurait pas encore lieu pour le nombre ioo5o, on calculerait de nouveau à priori les différences ^y, b? y, A 1 ^-, et l’on se servirait des nouvelles valeurs comme des précédentes pour obtenir les logarithmes des nombres entiers qui suivent celui auquel on a dû s’arrêter.

92. Jusqu’à présent nous n’avons inséré entre les limites extrêmes a-„ et x„ = X que des valeurs de -r en progression arithmétique; nous allons maintenant chercher la valeur de y correspondant à une valeur de x quelconque, c’est-à-dire pouvant être prise en dehors de cette progression

x*, -t - 2 h, a-j-l— 3 Xt-ynh,

dans laquelle h — ar est toujours constant. Cependant x devra être généralement compris entre x 0 et .r„.

Reprenons le développement connu

A’jr., (RS),

et qui se compose nécessairement d’un nombre limité de termes, puisque n est un nombre entier; car n -f- t substitutions ne peuvent évidemment donner de différence d’un ordre supérieur à A' 1 . On a , en général ,

en appelant x au lieu de x n une quelconque de ces n -f- i valeurs attribuées à la variable indépendante. En effet, cette relation

n — - — sera évidente pour toutes les valeurs de x depuis ar„

jusqu’à x„, c’est-à-dire pour toutes celles de n depuis o jusqu’à n. La série pourra donc s’écrire sous la forme suivante :

Yn = y*- 1 -

•Ar.

Puisque ce développement a été obtenu en formant les différences Ajv 0 , Sy„ , relatives aux valeurs x, , x, , x, , . . . , x„ , il est clair que, réciproquement, si l’on y substitue successivement ces n i valeurs de x , on obtiendra les « -4- 1 valeurs correspondantes y, , y, , y 7 , . . . , y„.

Cela posé, voici comment on peut étendre la formule à des valeurs de x non comprises dans une progression arithmétique.

Puisque cette formule est vraie pour les n +• 1 valeurs depuis 1, jusqu’à X, on peut admettre (*) qu'elle l'est aussi pour

toutes les valeurs intermédiaires de x ; A y, , d’y,, , conservant toujours leurs valeurs primitives. Seulement, pour une quelcon-

que de ces valeurs de x , le rapport

ne sera plus un nom-

bre entier; c’est pourquoi on le représente, en général, par z. On aura donc

z Av

en appelant j la valeur que l’on obtient quand 011 pose x ~ hz + x„

comme cela résulte de la relation

Avant d’aller plus loin, nous devons examiner quelles restrictions on doit reconnaître à la vérité de l’énoncé relatif aux valeurs de x intermédiaires entre x„ et x„, et sur lequel repose la formule précédente.

Nous remarquerons d’abord que ce théorème est rigoureusement vrai, si la fonction donnée y est un polynôme entier de

(*) Sauf une restriction que nous verrons bientôt

INTERPOLATIONS

degré m , par rapport à x, pourvu que l’on ait n ^ in. En effet, si n — ni, la dernière différence A„ji, est constante, par conséquent les différences suivantes sont nulles : si n^>in, la série des différences s'arrête avant A„y,. Donc la relation

yz= s Ar a

A 3 Xo + - . •

doit être regardée comme complètement identique avec le polynôme proposé

et l’on vérifierait dans chaque exemple de cette nature l’identité de ces deux expressions de y, en substituant

et en faisant quelques réductions : ainsi une valeur quelconque dex, même au delà ou en deçà des limites x„ et x„, donne le même résultat de part et d’autre.

Mais si les conditions précédentes ne sont plus remplies, les choses peuvent se passer autrement. L’identité de la fonction

et de la série qui développe y en fonction de z, ne sera plus évidente, comme nous l’avons dit, que pour les valeurs dey qui correspondent aux n -|- t valeurs de x en progression arithmétique, et pour toutes les autres valeurs de x l’égalité n’aura lieu qu’avec une approximation plus ou moins satisfaisante.

Pour savoir si l’on pourra, en général, se contenter de cette approximation, nous remarquerons qu’elle sera d’autant plus sûre que la série

y =y 0 +aAy 0 -f-

se rapprochera plus de ce qu’elle aurait été pour un polynôme entier de r; nous aurions eu alors, dans le dernier terme, une

différence qui serait restée constante, même si l'on avait continué la série des valeurs de x dans la progression arithmétique et cherché les valeurs de y correspondantes avec leurs différences successives. 11 faut donc, pour admettre l’approximation indiquée, que le dernier terme de la série contienne aussi une différence que l’on puisse à peu près regarder comme constante, afin que les différences suivantes soient négligeables, relativement au degré de précision que l’on veut obtenir.

Ainsi, pour faire usage de cette série

r z= Xt -hz Ay.-h — — A’jvt 7 X 3 A y*

dans laquelle on a toujours

il faut que les n 4- 1 substitutions des valeurs primitives de x soient assez nombreuses et assez rapprochées, pour que A’y, puisse être regardé comme constant et les différences suivantes comme nulles : c’est-à-dire que, si l’on insérait après x„ d’autres valeurs de x suivant la même progression arithmétique et si l’on calculait les valeurs correspondantes de y avec leurs différences, A a y, demeurerait constant avec une approximation suffisante, du moins dans un certain intervalle.

Enfin, nous rappellerons que cette formule ne s’applique que pour les valeurs de x comprises entre x, et x„, sauf cet intervalle où l'on peut étendre la formule.

Ce procédé est généralement assez expéditif, parce qu’on ne fait que le nombre de substitutions nécessaires pour arriver à A "y,= constante, et que le nombre n n’est pas d’ordinaire bien considérable quand les substitutions sont assez rapprochées. Comme application de la formule précédente, nous allons calculer le logarithme de

ir = 3, t4l5926536.

INTERPOLATIONS

Posons

Y = Lt,

et cherchons dans la Table les logarithmes de 3, 1 4 > 3,t5; 3, i G ; 3 , 17 ; 3, i 8 ; nous aurons le tableau suivant:

o, 49 ^ 3 io 5538

- o,ooooo/| 3 /| 9 ',

Nous n'insisterons pas sur la formation des différences qui est déjà connue.

En s’arrêtant aux différences quatrièmes, on a la formule

^-O^Kz-S)

(* ) Il est facile de voir pourquoi nous écrivons ici

et non pas A 4 / 0 ;

de même que, dans la formule générale qui donner en fonction de r, nous avons écrit

- ^ ' A".r. «t non pas A -y $)

comme dans la formule du n° 85. En effet, la loi de formation des termes donne nécessairement

mais si g = n , comme dans le numéro cité , il est elair .que

au contraire, quand z a une valeur quelconque . ée coefficient no sc réduit point à l imité.

On a toujours

On peut donc au moyen d’une Table contenant seulement les logarithmes des nombres de trois chiffres, tels que 3 1 4, 3i5,..., avec dix décimales, calculer avec la meme approximation le logarithme d’un nombre quelconque, tel que n, pourvu que l’on connaisse également dix décimales de ce nombre.

On pourrait douter de cette approximation, parce que l’erreur est cent fois plus faible dans y„ que dans z; mais les plus hautes unités de sont inférieures de deux rangs à celles de y t -, cela fait donc compensation dans le terme z&y a , où l’erreur est du même ordre que dans y„ puisqu’elle se mesure en faisant le produit des plus hautes unités de l’un des facteurs par l’erreur de l’autre. On conçoit qu’il y aurait également compensation pour les autres termes de la série.

INTERPOLATIONS