Si h — ± x est très-petit, il peut arriver que la série

y =y>+ zA /h — — ■

soit assez rapidement convergente pour qu’on se contente d’un très-petit nombre de termes. Si nous admettons même que la différence première A /t puisse être regardée comme constante, nous

aurons

ce qui revient à

ou bien

y = r« -+- zA >o, y = y* -+- (•* — •*«)

X X, Ax ’

c’est-à-dire que V accroissement de la fonction est proportionnel à

celui de la variable, puisque - est constant.

Telle est la proportion dont on fait un usage continuel dans les calculs logarithmiques, et qui sert à trouver quelques chiffres de plus des nombres ou des logarithmes.

Telle est aussi la base de la méthode que nous avons employée dans le n° 25 sous le nom de méthode des parties proportionnelles, ou de règle de fausse position. Elle nous a servi pour obtenir des approximations successives, parce qu’elle ne peut généralement donner du premier coup une approximation suffisante.

94. Tout ce que nous avons dit sur l’interpolation au moyen des différences supposait « 1 substitutions faites à des inter-

valles égaux. Si, au contraire, les substitutions étaient faites à des intervalles quelconques, voici une méthode, due à Lagrange, qui permet d’interpoler très-simplement dans ce cas général :

Soient encore y a , y, , y, , . . ., /„ les valeurs de y qui correspondent aux n - 1 - 1 valeurs de x, cette fois non équidistantes, x,, x, , x,, . . , , x„ , nous poserons

et nous chercherons à déterminer les quantités X 0 , X,. . . . Prenons une quelconque d’entre elles X a ; il est clair que X K doit se réduire à zéro pour toute valeur de x, autre que a : on peut donc poser

produit de tous les facteurs analogues, sauf x — ,r„ .

Mais pour que x = x a donne y — y t il faut aussi <|iie X œ se réduise à l’unité pour x =. x a , ce qui donne

on a donc enfin

valeur générale d’où l’on tire celle de tous les coefficients : par exemple, on a

(•*0 — ar,) (x„ — x,)'. . .(x„ — x„)

Cette méthode consiste, comme on le voit, à remplacer par un polynôme de degré n la fonction dont on connaît n i valeurs. Ainsi dans le n° 77, la fonction / était l’accroissement de la longueur de l’année à partir de la valeur de l’année moyenne : nous savions que cet accroissement était nul à l’origine, c’est-ù-dire que x, == o donnait y„ = o; nous connaissions aussi les deux valeurs de y, 54 siècles avant l’origine, et 5a, 4 siècles après l’origine, ce qui nous donnait trois valeurs pour représenter /, au moyen d'un polynôme du second degré. Seulement cet exemple était tellement simple, que l’on a trouvé les coefficients par l’élimination directe, sans avoir besoin de la méthode que nous venons d’exposer.

98. Pour bien faire voir que le problème de l’interpolation est essentiellement indéterminé, nous allons modifier la méthode précédente d’une manière qui pourra d’ailleurs être utile dans plusieurs circonstances.

INTERPOLATIONS

Au lieu de poser

en faisant le produit de tous les facteurs de cette nature, excepté x — x K , nous pourrions écrire

= A a- sin - a a( x — •*•) sin-6* (x — x,). . . sin . m y (x — x„),

produit dans lequel figureraient tous les arcs analogues, excepté x — x y , les coefficients a y ,b y ,.. , m y étant complètement arbitraires.

En effet, il est clair queX a , ainsi déterminé, sera nul pour toute valeur de x autre que x y . Nous déterminerons encore \ a par la condition que x a donne y y , d’où l’on tire

sin«^ (.r — x 0 ) sin b (x — x, ). . sin m y (x — x n )

‘ “ ~ sin n a ( x — x„) sin b y ( x y — x, ) . . sin ni y (x K — .r.)

Dans une autre expression de la meme nature, les coefficients de multiplicité des arcs pourront différer des nombres a y , b % , . . puisqu’ils seront également arbitraires.

On aurait pu employer les tangentes au lieu des sinus, et l'on aurait eu des formules analogues. Toutes ccs expressions dey sont nécessairement égales pour les n 4- i valeurs qui ont servi à les établir, mais elles diffèrent plus ou moins pour les valeurs intermédiaires. Cependant ces discordances ne doivent pas être trop considérables, si les n -)- i valeurs de x sont assez rapprochées pour que l’interpolation soit susceptible d’une précision suffisante.