ES TANGENTES

07. I. On nomme tangente à une courbe en un point donné, la limite vers laquelle tend la direction d’une sécante que l’on fait tourner autour de ce point , jusqu’à ce qu’un second point d’intersection , se rapprochant indéfiniment du premier, vienne coïncider avec lui.

Soit

l’équation d’une courbe à laquelle on veut mener une tangente par un point dont les coordonnées sont x' et y'-, nous commencerons par transporter l’origine en ce point sans changer la direction des axes; il suffira pour cela de changer x en x -f- x' et y en y -+- y' . La nouvelle équation pourra alors se mettre sous la forme

A.r + By + Cx ! 4- Diy H-Ey’-f . . . — o,

en développant tous les termes qui la composent suivant les puissances de x et de y . Nous ne mettons point de terme indépendant des variables, parce que l’origine est devenue un poiut de la courbe. Il est clair d’ailleurs que les coefficients A, B, ... , dépendent de x' et j'.

Cela posé, une droite quelconque, passant par cette origine, aura une équation de la forme

y —ax,

et l’on reconnaîtra que cette droite est tangente si son équation est identique avec celle de la courbe pour des valeurs très-petites de.rct de y. Négligeons donc, dans l’équation de la courbe, le produit et les puissances supérieures de ces variables, nous

aurons ce qui donne

tandis que l'équation de la droite nous donne

En identifiant, nous trouverons

et l’équation de la tangente sera

Cette méthode serait en défaut si l’on avait à la fois

- f • L*tî > « \

Il faudrait alors recourir aux ternies du second degré en négligeant ceux du troisième , ce qui donnerait

ou bien

Cx' + Djy + E/’rrO

relation qu’il faudrait identifier avec le produit (y — ax ) {y — a'x ) des équations de deux droites, ce qui donnerait

(;) -{ a + a ') y -+ aa '=°->

(*) Soit

le coefficient angulaire de la tangente, on voit que cela revient à écrire

Ici s est la valeur particulière du coefficient a quand la sécante devient tangente.

on poserait donc

aa = - , a -4- a = — - j

d’où l'on tirerait les équations des deux tangentes aux deux branches que la courbe présenterait à ce point particulier.

Si les termes du second degré étaient nuis en même temps que ceux du premier degré , on aurait recours aux termes du troisième , et ainsi de suite.

Si le point donné était l’origine , comme on peut toujours le supposer ainsi qu’on vientde le voir, l’indétermination de z— — g tiendrait à ce que les valeurs x = o, y = o mettraient 2 sous la forme - : on peut alors lever cette difficulté en posant

- = t — tanga),

ce qui fait disparaître les facteurs communs au numérateur et au dénominateur de 2, et donne l’inclinaison de la tangente pour chaque branche en particulier, suivant la valeur de a> , si l’on représente par a> l’angle que fait avec l’axe des x le rayon vecteur passant par l’origine , dans le cas d’axes rectangulaires.

II. On parvient d’ordinaire à l’équation de la tangente par la théorie des dérivées , c’est-à-dire par le calcul différentiel. Cette méthode ne diffère pas essentiellement de la précédente, mais elle permet de calculer plus facilement les coefficients dont nous avons parlé.

Soit T.r'" j>-" un terme quelconque de l’équation

il s’agit de mener une tangente à la courbe par le point dont les coordonnées sont a: et y ; celles du point infiniment voisin étant .r H- h , y h , et tout se réduit encore à déterminer la limite du rapport de l’accroissement de ces variables , c’est-à dire

Nous trouverons cette limite en cherchant la différence /(*-+- h) (y -t- k ) ~/[x, y ) = 0 ,

dans laquelle il suffira d’étudier ce que donnera le terme quelconque

I.es termes qui contiendront les premiers degrés des accroissements seront

T x“ . ny"~'k T y" . mx m ~'h ,

dont le premier représentera le produit de k par la dérivée de T x m y" relativement à y, et le second le produit de h par la dérivée dcT.r"/" relativement à x.

Comme il en serait de même potir tous les termes de l’équation

soient X et Y les dérivées de /(x, y) prises respectivement par rapport à x et à y, nous aurons pour l’ensemble des termes du premier degré

ou bien , posant - = z, il reste

On obtiendra de même, pour les termes du second degré,

T.)"' . y>- j p+Tmar-' . riy n ~‘ hk- f-T r“ ■ r*-’ h 2 -

L’ensemble fie ces termes sera donc

— k 2 - 1 - M kh H h 2 , ou bien h 2 ( — j’ + MîH ) »

en indiquant par X' et Y' les secondes dérivées Aef(x, y) par rapport à a; et à y, et par M la somme des produits analogues à T ma" -1 . ny”~' obtenus en prenant la dérivée par rapport à x , puis par rapport à y.

L’ensemble des termes du troisième degré sera de même

la loi de formation des termes N et P étant facile à établir : on trouverait de même les termes de tous les degrés.

Donc enfin l’équation

se réduit à

-A 1 ( — rz j + iVz , + PzH 5 )

en divisant par le facteur commun h.

Si maintenant on pose A =o, il reste pour le coefficient angulaire de la tangente

puisque l’on a

Yz+X=o(*).

Si l’on avait à la fois Y = o, X = o, on diviserait encore toute l’équation par A, après quoi, faisant encore A = o, il resterait

ce qui donnerait les deux valeurs de z pour les tangentes aux deux branches qui se rencontrent en ce point de la courbe.

Dans ce cas, il peut se faire que les racines de cette équation du

(*) L'équation de ta courbe étant

ou a ainsi

comme on le voit d'ailleurs par la relation

second degré soient égales : cela veut dire que les deux branches ont une tangente commune à leur point commun.

Outre les relations

si l’on avait encore

il faudrait recourir aux termes du troisième degré, et poser

pour trouver les tangentes aux trois branches qui se coupent au point en question ; si les coefficients de cette équation étaient nuis en même temps que tous les précédents, on prendrait les termes du quatrième degré, et ainsi de suite (*).

III. Cependant il est toujours facile de trouver immédiatement l’équation qui donne la valeur de z, au moyen de la seule expression

même quand X et Y deviennent nuis à la fois. On a vu ( 40) que , pour trouver la vraie valeur d’une quantité qui se présente sous

la forme de-» on cherche à mettre un facteur commun en évio

dence au numérateur et au dénominateur. Soient donc x et y les coordonnées du point de contact qui rendent z indéterminé : nous remplacerons x par x h et y par y -+- X = y -+- hz dans X et Y, et nous savons d’avance que le numérateur et le dénominateur deviendront ensuite divisibles par h \ nous supprimerons donc ce facteur autant de fois qu’il sera commun en haut et en bas. Après

( *) Les équations en s* et en 5* reviennent à

dydx d l f

et à

dr'

d) *dx 1 dy dx* ' dx*

On voit comment se formeraient les équations suivantes,

CHAMTRK SEPTIEME.

cela, pour revenir au point de contact, nous ferons de nouveau h — o, et il nous restera une équation en z d’un degré plus ou moins élevé.

Après qu’on a remplacé x par x h et y par y -+- z/i, les expressions X et Y peuvent être regardées comme des fonctions de//, et représentées par<p(/t) et -J/ (A), dont les dérivées par rapport à h seront y' ( h ) et y (// ), qui deviennent jp' (o) et y (o) quand on y fait h = o : il faut donc poser

Si pourtant h était encore facteur commun dans y' ( h ) et dans y ( //) , on aurait

et ainsi de suite.

Cette méthode sera en défaut si z doit être infini, c’est-;\-dire si la tangente est parallèle aux ordonnées. En effet, l'accroissement k de l’ordonnée pourra encore être regardé comme nid , mais s’il se présente dans les quantités X ou Y, transformées comme on vient de le voir, un ternie tel que hz 1 = kt, on voit que ce terme sera indéterminé quand z sera infini.

Par conséquent, pour obtenir les tangentes parallèles à l’axe des y, et que cette méthode ne donnerait point dans le cas d’indétermination , remarquons que , si

on a nécessairement

Tout se réduit donc à répéter les calculs précédents après avoir changé y en x et réciproquement, puis à voir si la nouvelle équation en z , dont les racines seront évidemment inverses de celles de la première, aura une racine nulle, ce qui donnera pour la tangente cherchée un coefficient angulaire égal à l’infini.

Toutes ces circonstances sc présentent dans l’étude de la courbe

dont l’équation est

y* — 3 axy -+■ x 3 = o ,

courbe bien connue sous le nom de Folium de Descartes , parce qu’elle présente l’apparence d’une feuille , et dont l’analyse se trouve dans la plupart des Traités de Géométrie analytique (*).

X = 3 x‘ — 3 ay , Y = 3 y* — 3 ax , ce qui donne

Cherchons la tangente à l’origine, il reste

nous devons donc changer x en.* -+- h et y en y -t- hz, mais ici x — o, y = o-,

ainsi il faut changer x en h et y en hz , ce qui donne

ahz — h‘ az — h

h} z 1 — ah hz — a

Maintenant, faisons A = o ; il vient

ce qui donne

Ainsi l’axe desx est tangent à l’une des branches passant par l'origine qui est un point double.

Mais on peut croire que Taxe des y est tangent à l’autre branche : c’est en effet ce qui a lieu, et il est facile de trouver cette autre tangente en changeant x en y, et réciproquement, pour avoir

l’équation dont les racines sont — Comme l’équation de la courbe est symétrique en x et en .y, il n’y a pas de nouveaux calculs it faire

(*) Voir l'ouvrage de MM Delisle cl Gerono, n u

et l’on trouve

ou bien

et par suite

IV. Soient M et M' (Jîg. 45) deux points infiniment voisins Fig- 45- d’une courbe dont l’équation en coor-

données polaires est

en appelant » l’angle que fait avec l’axe OT le rayon vecteur OM = p ; soit aussi 6 l’angle que fait la tangente avec l’axe, il est clair que l’angle OMT =6 — ». Du centre O et du rayon OM décrivons l’arc de cercle infiniment petit MN qui coupe OM' en N; l’angle M'OMsera l’accroissement dut, l’arc MN = p dut , et M'N = dp sera de même l’accroissement infiniment petit du rayon vecteur.

Cela posé, MN pourra être regardé comme perpendiculaire à la fois sur OM et sur OM' ; le triangle MM' N sera donc rectangle en N, et comme l’angle NMO est aussi droit, on a

puisque ces deux angles sont tous deux compléments de M'MN : par conséquent

tang (0 — ut) :

ou bien