I. Soit

y — ex -+• d

l’équation d’une asymptote à une courbe quelconque dont l’équation est

il faudra que cette dernière équation puisse se mettre sous la forme y ■ — ex -t- d -f- V,

la quantité représentée par V devant diminuer quand x augmente et devenir nulle pour x — ta . Alors

jn .r

et l’on trouve

lim — = e

pour x — 00 , puisqu’il reste alors

rf+V

On aura ensuite

d =z y — ex — V,

ou bien, puisque V devient nul à la limite, 011 obtient d = lim (/ — ex).

On pourrait s’étonner de voir que y — c.r prenne une valeur finie pour des valeurs infinies de x et de y, mais il faut observer que la différence de deux quantités infinies peut quelquefois être une quantité finie.

II. Cela pose, il reste à calculer ces limites pour une courbe algébrique quelconque.

Cette équation, étant de degré ni, a un certain nombre de termes de puissance m , que nous représenterons par U = A xPfi -+- B Jfy’ -t- . . . ,

de sorte que

On aura de même un autre groupe de termes de degré m — 1 ,

un groupe de termes de degré m — 2 ,

U, = Aj xPiyii -I- y 1 ? -+- . . . ,

et ainsi de suite : de sorte que l’équation sera U -f- U, — f- U, -t— . . . o.

Dans cette équation, il faut faire y = ex et chercher la valeur de c correspondante à x = rfc 00 . Or, si l’on pose

T = Ac?+ Bc*+ . . .,

T,= A,cîi + B,« , i + ... )

l’équation devient -

Digitiz

T H KOHI F. liKS COURIIKS PI.AXF.S.

mi bien

ce qui, pour .r = ±qo , donne

c’est-à-dire

Acî-f- Bc 5 -!- . . . = o,

équation qui s’obtient en changeant dans Uzcnict/cnc. Pour trouver d, changeons dans 1 équation de la courbe

U H- U ( -t- Ui + ...— o,

j en cx+ d,c étant maintenant une quantitéconnue. Soient T', T",... les dérivées successives de T ; soient T, , T*, , celles de T, , et • ainsi de suite : on trouvera facilement

T-rp -h(T' d 4- T, ) x m ~' -+- d 1 -+ T', d + T, j i*-' = ô.

On sait déjà que T = o , ce qui fait disparaître le premier ternie : divisant donc par x"~' et supposant x — ±co , il reste

ce qui donne une valeur de d pour chaque valeur de c.

Si pourtant on avait à la fois T' = o , T, = o, il faudrait poser

et ainsi de suite.

Cette méthode ne donnerait pas les asymptotes parallèles à l’axe des.r, pour lesquelles on aurait c = co , mais on des obtiendra en supposant l’équation ordonnée par rapport ky. Soit alors

cette équation, et divisons-la parj"; il est clair que les seules valeurs finies de x qui correspondent à y =± oo sont données par l’équation

2^4 CIUl'ITBK SEPTIÈME.

Si l’on applique cette méthode à la courbe qui a pour équation

X 3 jî .r 4- y — o ,

on trouve

pour équation des asymptotes, qui sont, par conséquent, les bissectrices des angles de coordonnées.

On peut aussi demander quelles sont les tangentes / larallèlcs ait.r asymptotes, connaissance nécessaire pour limiter certaines branches. Il suffit, pour cela, de poser z = c dans l’équation

et d’éliminer entre cette relation et l’équation de la courbe. Nous aurons donc ici

2 = zfc I ■

La valeur s — i ne donnera rien (*), mais pour z = — t on trouve

En effet, en éliminant d’abord y * 1 * entre la relation

et l’équation de la courbe

?. xy —

(*) On trouverait

ce qui donnerait l’asymptote dont réqualion est

comme on devait s’y attendre , ot aussi

mais ce facteur commun , étant égalé à zéro, ne donne aucune valeur réelle

de x.

0CJ5

on trouve

et la valeur

n.x 1 — i ou bien x = ± —

rend nul le facteur commun t — 2x J .

Pour trouver les valeurs correspondantes de y , nous remarquerons que l’équation de la courbe revient à

ce qui, pour 2t’ = i, se réduit à

i dr sfi ...

Afin de savoir quels signes il faut choisir, supposons d’abord que l’on prenne

.et remarquons qu’il s’agit de la parallèle à l’asymptote dont l'équation est

et pour laquelle x > o donne y < o. Il en sera donc de même pour la branche de la courbe dont s’approche cette droite; par conséquent

x = H — — donnera y — — — i ;

Va y/a

(* ) Ou plutôt à

, — Vâ

y sa ,

rt yï

car il serait facile de constater que la branche représentée par

est la seule dont s’approche l'asymptote pour laquelle y — — x.

2'jG

de même

x — — • donnera y == i -j= (*)-

\Jt. , Va

III. On peut chercher par la même méthode des asymptotes paraboliques d’un degré quelconcpie , c’est-à-dire dans lesquelles l’ordonnée est exprimée suivant diverses puissances de l’abscisse.

Soit , par exemple, la parabole dont l’équation est r — ex 1 -+- tlx -4- e.

Pour ‘que cette courbe soit asymptote, on verrait, comme cidessus, que l’équation donnée peut se mettre sous la forme

y — ex' + ài-f+V,

V étant une quantité qui devient infinie pour x = o.

On aura, comme pour l’asymptote rectiligne,

et enfin par conséquent

c = y — ex 1 — tlx — V ;

e =r lim (y — c.r ! — tlx).

On est encore conduit quelquefois à trouver des asymptotes curvilignes par le procède employé pour celles de l’hyperbole dans la discussion générale des courbes du second degré.

Supposons que l’équation de la courbe donnée puisse se mettre sous la forme

vM *)» + v

( * ) On sait que , dans une courbe d'un degré supérieur au second , une tangente en un point peut couper la courbe en d’autres points; cela peut donc arriver aussi pour les asymptotes : c’est ce qui a lieu pour la courbe dont l’équation est

}' — x' -t- jax’j = o.

cl comparons l’une des branches de celle courbe avec la branche correspondante "de la ligne qui aura pour équation

La différence entre les deux ordonnées sera

Si nous supposons que V diminue à mesure que . r augmente, ou même soit indépendant dex, et que- les quantités <p (i), -iji (x) augmentent, au contraire, en même temps (l’une des deux pourrait aussi être indépendante de x), il est facile de voir que les lignes droites ou courbes représentées par les équations

et

sont asymptotes de la courbe donnée.

Ainsi , la courbe représentée par l’équation

a pour asymptotes les hyperboles dont les équations sont

et