REBROUSSEMENTS, POI\TS D'ARRÊT, POINTS SAILLANTS

102. Les branches qui forment un point multiple proprement dit se prolongent de part et d’autre de ce point : si, au contraire, elles s’y arrêtent brusquement, on dit que c’est un point de rebroussement ; nous supposerons qu’il n’existe que deux branches.

Il peut encore arriver que les deux branches aient la même tangente ou deux tangentes différentes, mais l’on réserve plus spécialement le nom de rebroussement au cas où la tangente est commune j sinon, on dit que le point est saillant ou .anguleuse.

Fig. 48.

Fig. 4 g.

On dit que ce rebroussement est de première espèce quand les deux branches sont de côtés opposés de la tangente (fig. 48), et de seconde espèce quand elles sont du même côté (fig. 4q).

Les rebroussements de première espèce sont les plus ordinaires; on peut donner une formule pour les déterminer.

Soit M un point de cétte ■ nature (fig. 5o) où s’arrêtent les branches MA et MB, et supposons, pour fixer les idées , que OP = x , abscisse du point M, soit un minimum de x. Puisque le rebroussement est de première espèce, il est facile de voir que deux points N et N', pris sur une même ordonnée à droite du point M,- donneront des tangentes, l’une plus inclinée, l’autre moins inclinée , que la tangente MR commune en R aux

Kip. 5 o.

THÉORlt HKS COll R BKS ULAKKS. 287

deux branches-. Si donc on construit [fig. 5t) une courbe SUS' Fig. 5i.

I [jk s

°l c 11 1 deux valeurs DS, DS', qui correspon-

dent OD, sont, l’une plus grande, l’autre plus petite que CH; par conséquent CH est une droite tangente à la courbe SHS' et parallèle à O z ; on la déterminera donc en égalant à zéro la dérivée de

prise par rapport a z : f (z, ,r ) = o étant l'équation de la courbe SHS', laquelle s’obtiendra en éliminant y entre l’équation

de la courbe proposée , et la relation connue

On peut aussi, comme on le fait très-souvent dans la discussion des courbes, prendre pour variable indépendante le rapport

qui ait les mêmes abscisses que la courbe de la fig . 5o, de sorte que OC = OP et OD = OQ, et dont les ordonnées soient les valeurs successives de l’inclinaison \z de la tangente dans cette première courbe , on voit que les

(*) On verrait, comme dans la note du n° 100, que cette relation

donne

bien, puisque l’on a déjà t —

dx 1

5i 7 = ÎC-

CHAHTKF. SKI’TIKMK.

Mais il est important d’observer une circonstance où cette théorie peut être en défaut et faire prendre une inflexion pour un rebroussement de première espèce , ou vice versd. Il pourrait se faire que, dans la Jig. 5 i, le point H , au lieu d’avoir sa tangente CH parallèle à l’axe des ordonnées, fût lui-même un point de rebroussement de première espèce, avec une tangente commune aux deux branches HS et HS', et parallèle a l’axe des abscisses. Dans ce cas particulier, il est clair que ce ne serait plus la dérivée par rapport à z , mais la dérivée par rapport à .r, qui serait nulle, ce qui est le caractère ordinaire d’un point d’inflexion.

La cissoïde de Dioclès, dont l’équation est

x 3 -+- r*x — 2 ar 1 = o ,

donne un rebroussement de première espèce. On trouve 3.r’ 4 - y* j(3+f)

2j(2fl — X ) 2 f(?,a — ;.r)’

mais l'équation de la courbe elle-même donnera x (1 4- 0) — lat 1 ,

d’où

2 al 1 -ht'

on a donc

et 2 o

2 z = r(3-t - /’) et 2 . j = 3+3f’=3(i +/’).

Si l’on posait

on en conclurait

ce qui serait une solution fausse ; mais il faut observer que ce n’est pas — , mais qui doit être égal à l’infini. Nous devons donc

chercher

dz dz dt

dx dt dx

'dt'

d’où enfin

Pour avoir

il faut poser ce qui donne on en conclut

THÉORIE UES COU lui ES El.AXES.

2 a ( i -+- f 3 ) . 2 t — 2 at 1 . 2 t 4 1,1

(T^TTm = (i + t*y

dt (i + f 1 ) 1 .

d:v 4 at '

dz 3 ( i -I- t’) 3

dx 8 at

== co

t — tangu = o;

tti —

pour l’origine. L’axe des x est donc une tangente commune aux deux branches qui forment un rebroussement de première espèce à l’origine, comme d’ailleurs on peut s’en assurer directement. Nous avons voulu seulement avertir que l’emploi de t comme variable indépendante n’est qu’un artifice de calcul , et que les valeurs de

Y ne deviennent pas toujours nulles on infinies en même temps nue celles de

Enfin , il est certains points où la méthode précédente laisserait encore dans l’embarras , parce que les branches de rebroussement s’y trouveraient réunies avec une autre branche ayant une autre tangente. C’est ce que l’on voit dans la courbe dont l’équation est

y' — x’ -+- 2 ax'y = o.

Il est facile de reconnaître directement que, du côté des ordonnées positives, on a une branche qui a l’axe des x pour tangente et l’origine pour point de contact ; tandis que, du côté des ordonnées négatives, on a deux branches dont l’axe des y est la tan-

- >( jo

j'ente commune et qui se réunissent à l’origine où existe par conséquent un rebroussement de première espèce. Comme exemple de rebroussement de seconde espèce , nous citerons la courbe qui a pour équation

( Voir Delisle et Gerono , n‘* 3 oa.

Si une branche de courbe s'arrête brusquement sans qu’une autre branche vienne la rencontrer en cet endroit, on dit qu’il existe un point d'arrêt. C’est ce qui a lieu , par exemple , pour la courbe représentée par l’équation

{Jîg. 52 ), qui reviendrait à

ïï'

en changeant y -+-1 en y, etxen — x,.

Fig. 52. Cette courbe est formée de deux

. N || ÿ branches IÎI. , MN dont la première a

pour asymptote, dans le sens des abscisses positives, l’axe même des x , et s’arrête brusquement au point B dont les coordonnées sont

tandis que la seconde a pour asymptote l’axe des ordonnées dans le sens positif et l’axe des abscisses dans le sens négatif. Bn effet, tant que x est positif, la fonction

(Ij

va en décroissant indéfiniment pour des valeurs de .r de plus en plus petites, et finalement s’évanouit avec x, tandis qu’elle tend îi devenir égalé à l’unité pour des valeurs de x de plus en plus

grandes. Au contraire, lorsque.»' passe par des valeurs négatives, le même fraction croît au delà de toutes limites pour des valeurs numériques de xde plus en plus petites, au lieu qu’elle tend encore à devenir égale à l’unité pour des valeurs numériques de x de plus en plus grandes.'

Comme exemple de points saillants ou anguleux, nous citerons la courbe qui a pour équation

( Voir Deiisle et Gerono.)

COURBURE DES LIGNES, CERCLE OSCUL VTEI R , DÉVELOPPÉES 103. I. Si deux courbes ont même tangente en un point, on peut dire qu’elles sont tangentes l’une à l’autre intérieurement ou extérieurement , et d’ailleurs il est évident qu’elles ont aussi même normale en ce point. Mais si, au lieu d’avoir seulement un élément commun , les deux courbes tangentes ont deux éléments communs entre elles, c’est-à-dire trois points infiniment voisins, on dit qu’il y a osculation au lieu d’un simple contact.

Deux courbes, d’après leur degré, peuvent avoir un nombre plus ou moins grand d’éléments communs , ou bien une osculation plus ou moins complète, mais un cercle ne peut généralement avoir avec une autre courbe plus de trois points communs consécutifs, puisque l’on ne peut faire passer qu’une circonférence par trois points donnés. •

Si l’on mène, pour chaque point d’une courbe, un cercle qui jouisse de cette propriété, il s’appelle cercle oscillateur, et c’est lui qui détermine la courbure de la ligne en ce point, puisqu’il a avec elle un contact plus intime qu’aucun autre cercle.

Quant au cercle lui-même, sa courbure se mesure par le rapport d’un angle MOM' [fig. 53) à l’arc MM' correspondant, rapport qui est — , R étant le rayon du cercle

(car on peut définir l’angle par le rapport de l’arc au rayon : alors l’angle est un nom.

kre abstrait , tel que Mais pour une courbe quelconque, le

cercle osculaleur variant d’un pointa l’autre, la courbure sera aussi variable et s’exprimera d’ailleurs, d après ce que nous avons

vu, par — » en appelant R le rayon de cercle osculaleur au point que l’on considère.

Ainsi soient A, B, C les trois points infiniment voisins, communs au cercle et à la courbe, et soient M et M' les milieux de ces cléments AB cl BC; la courbure sera représentée par le rapport

angle MOM' i arc MM' R

Le rayon OM = R s’appelle rayon de courbure, et le centre O, centre de courbure.

Si l’on mène aux points M et M' des tangentes communes à la courbe et au cercle oscillateur, elles se coupent en un point T ; l’angle MTM, très- voisin de 180 degrés et supplément de l’angle très-petit MOM , s’appelle l 'angle de contingence.

II. On a vu que le point O ( Jig . 53), centre du cercle oseulateur, était le point de rencontre de deux normales MO, M'O iutiniment voisines.

Concevons donc [fig- 54) la série des centres de courbure O, O', O",..., elle représentera le lieu géométrique des intersections consécutives des normales à la courbe.

En général , quand on a une série de droites menees suivant une loi déterminée, les intersections consecutives forment une courbe que l’on appelle Venveloppc de toutes ces droites, et qui est tangente à chacune d’elles, car une quelconque de ces droites, telle que A' O' O", a un élément O' O" commun avec la courbe enveloppe.

Ainsi la courbe PQ, enveloppe de toutes les normales à la courbe MN, sera tangente à chacune de ces normales; cette espèce

Fie.

particulière d'enveloppe s’appelle la développée de la coitfbc MN qui est réciproquement la développante de PQ. Voici la raison de ees dénominations. Imaginons un fil enroulé sur la courbe PQ et tendu suivant la direction OA; supposons maintenant qu’on déroule ce fil en le tenant toujours tendu , l’extrémité qui est en A passera successivement en A', A",..., et l’autre extrémité en O', O",...; on voit donc que la courbe PQ est déroulée ou développée dans ce mouvement.

On voit qu’une développante MN ne peut avoir qu’une setde développée PQ, mais que PQ peut avoir une infinité de développantes, puisque la longueur primitive AO du fil tendu est arbitraire.

Connaissant l’équation d’une courbe quelconque, on trouve l’équation de la développée et celle du rayon de courbure en un point quelconque.

Soit

CO r=A*)

l’équation de la courbe; nous poserons

y'=f'[x) et y" = f"(. r).

On sait que l’équation de la normale au point de la courbe dont les coordonnées sont x et y, est

x , et )•, étant les coordonnées du centre de courbure. On aura, en différentiant pour passer à la normale infiniment voisine,

Si l’on élimine .r et y entre (*). (2) et (3J, il reste

équation de la développée.

De plus, l’équation (3) donne

ce quijgtransporté dans l'équation ( 2 ), donne encore

comme d’ailleurs

on trouve

ou bien

Si 1 équation de la courbe est donnée au moyen des coordonnées polaires p et w, soient

, <ip „ <1? d' p

? ~ 1Z i l ? ~ ~ 7ÎZ- ’

on verra par les relations connues

y — p sin &», x ~ p cos»,

que

p rosto — p sin »

ce qui donne

(p' cos w — p sin w/

f’-t- 2 P' J — PP"

Les équations ordinaires de la courbe et de la développée présentent des relations remarquables dues à la génération mutuelle des deux courbes. On remarque, en effet, d’après ce mode de description, que l’accroissement du rayon de courbure est égal à celui de l’arc de la développée; soit donc r, cet arc à partir d’une position déterminée, nous aurons

Enfin, d’après la définition même des deux courbes, les normales à la développante sont tangentes à la développée, ce qui

donne

mtlMllK lltS COURliFS ei.ANKS.

on voit paria que cette propriété est mutuelle, c’est-à-dire que les tangentes à la développante sont aussi normales à la développée.

lit. I.a formule

donne lieu à quelques observations sur les relations qui existent entre les points singuliers d’une courbe plane et ceux de sa développée.

On voit que K devient infini ou que la courbure est nulle pour y" o , ce qui indique, comme on le sait, un point d’inflexion de la développante. Ainsi les normales de la développante aux points d’inflexion sont en général les asymptotes de la développée, puisque R = x [fis- 55).

Les points d’inflexion de la développée correspondent sur la développante à des points de rebroussement de seconde espèce, comme le montre la fig. 56. Cependant la réciproque n’est pas toujours vraie: si le rayon de courbure est nul à ce point de rebroussement, la développée présente aussi un rebroussement.

Quand le rayon de courbure est nul , les deux courbes se rencontrent et se coupent à angle droit, ce qui est une conséquence de leur génération mutuelle. On trouve

R = o pour y — o ,

ce qui correspond généralement , ainsi qu’on l’a vu, aux points de rebroussement de première espèce de la développante.

Quant aux rebroussements de première espèce de la développée, ils correspondent d’ordinaire aux maxima et mi ni ma du rayon

Fig. 56.

Fig. 55.

ag6

<le courbure de la développante, comme on peut le voir par la Jîg. 5 ^, relative à l’ellipse.

Enfin, nous ferons observer que la développante d’une courbe fermée, telle que le cercle et l’ellipse, est une spirale indéfinie, parce que l’on peut regarder le fil comme enroulé autant de fois qu’on le voudra autour de la courbe : on peut même supposer que ce fil se déroule à droite ou à gauche; donc cette spirale est double, et les deux systèmes dont elle se compose se raccordent au point de départ en faisant un rebroussement de première espèce [fig. 72).

IV. Le cercle oscillateur d’une courbe quelconque présente une particularité remarquable, c’est qu’en général il coupe la courbe en même temps qu’il la touche. En clfet , dans la portion de courbe où se trouve le point M que l’on considère, la courbure varie d’une manière continue ( fig. 67 ) , et augmente, par exemple, de B en A.

Fig. 57. Donc, R étant le rayon de

courbure M,M au point M,

celte courbure est — de

B en M , et > ^ de M en A.

Mais comme elle est toujours égale à — pour tous

les points du cercle, il s’ensuit que de B en M ce cercle passe au-dessous de la courbe, mais que de M' en A il passe au-dessus. La figure est faite pour une ellipse, niais le raisonnement s’appliquerait à une courbe quelconque; cependant nous ferons observer, relativement à l’ellipse, que cette courbe étant du second degré, ne peut être rencontrée par un cercle qu’en quatre points : or, comme le point M d’osculation représente déjà trois de ces points communs, le cercle osculatcnr ne peut plus rencontrer la courbe qu’en un autre point D.

Il existe certains points pour lesquels le cercle oscillateur ne coupe plus la courbe : cela arrive pour les maxima et minima de

THÉORIE UES COURBES PLANES. MJ r ]

courbure du la développante, c’est-à-dire, dans l’exemple actuel, pour les sommets de l’ellipse, tels que A et B. Le cercle oscillateur en A , de rayon A, A , est entièrement intérieur à l’ellipse, de même que le cercle oscillateur en B. de rayon B, B , est complètement extérieur et embrasse l’ellipse. Chacun de ces deux cercles n’a qu’un point commun avec la courbe, parce que les sommets représentent quatre points ou trois éléments communs. C’est ainsi qu’une tangente , qui n’a généralement qu’un élément commun avec une courbe , en a deux dans les points d’inflexion.

Si l'on cherche l’équation de la développée A, B, d’une ellipse dont l’équation est

on trouvera, en posant e’ =r — h',

•r et y étant les coordonnées du point SI, a?, et/, celles du point SI,.

Cette équation , débarrassée des radicaux , est de la forme

[ b'jr]\' *'] a'b’x] /J

elle est donc du quatrième degré. On voit qu’elle représente une courbe formée de quatre branches symétriques, avec des rebroussements de première espèce qui correspondent aux sommets : il ne faudrait pas croire que le point A, fût un des foyers de l’ellipse.

Celte développée est la caustique par réfraction donnée par un point lumineux situé dans le milieu le plus réfringent.

Du reste, la construction graphique du cercle oscillateur en un point de l’ellipse se simplifie beaucoup par le théorème suivant, dont on trouvera la démonstration dans la Géométrie analytique de MM. Briot et Bouquet.

Quand tut cercle coupe une ellipse en quatre points, les bissectrices de l'angle des cordes coi/imuries sont parallèles aux axes de la courbe.

Cela pose, pour venir au cas du cercle oscuiateur, supposons que , M et D étant deux des points de rencontre du cercle et de l’ellipse, les deux autres soient sur une corde qui se rapproche indéfiniment du point M , de manière à devenir la tangente MT quand les points d’intersection de cette corde se réunissent en M; d'après la propriété précédente, la bissectrice MU sera parallèle à l’un des axes, qui se trouve ici être le grand axe.

Voici donc comment on peut construire le cercle oscuiateur au point M. Menez MH parallèle à OA , et faites l'angle SMH = HMT, MT étant la tangente en M : prolongez SM jusqu’à la rencontre de l’ellipse en un point ü, et par les points D et M faites passer un cercle tangent à MT; ce sera le cercle oscuiateur.