TH KO RI K UES COURUES PUAMES* 2QQ

points trcs-voisins du sommet, il reste à identifier 2 R x avec C^fx , ce qui donne

De même , l’équation de l’ellipse rapportée à son sommet négatif sur le grand axe étant

et celle du cercle oscillateur en ce point étant y* — 2 R.r — r’,

nous aurons, par le même raisonnement,

pour les extrémités du petit axe, on aurait

On peut souvent faire disparaître, par cette méthode, les indéterminations que présenterait la formule générale. Considérons la courhe qui a pour équation

y* — x' -t- 2 ax'y — o ,

et relativement à laquelle nous avons déjà reconnu ( 102 ) que l’origine était à la fois un rebroussement de première espèce pour deux branches situées du côté des y négatifs, et un point de contact avec l’axe des x pour une branche placée du côté des y positifs. On sait que le rayon de courbure est nul à l’origine pour les branches de rebroussement, mais pour les branches de contact il a une valeur que nous allons chercher.

Le centre du cercle osculateur étant sur l’axe des y, ce cercle aura pour équation

ou plutôt

en négligeant y’. relativement à y. D’un autre côté, l’équation de

3ûO CHAPITRE SEPTIÈME.

lu courbe nous donne

Développons

en posant

nous savons que , pour s très-petit, il reste

Ici nous devons même négliger le dernier terme, qui donne-

rait — , et nous aurons 2 a

d’où l’on tire

X' = 2 rlY,

Cette méthode s’applique à d’autres points que les sommets proprement dits. Ainsi , cherchons le rayon de courbure à l’origine pour la courbe dont l’équation est

-te)'

On sait que, pour x très-petit, — j - ■ se réduit à x; il reste donc

Quant au cercle, son équation sera

en négligeant y-, ou bien

identifiant avec y z= .r’, on trouve

ou bien

Ici, l’origine n’est pas un véritable sommet, car le cercle oscillateur coupe la courbe.

VI. Nous avons admis , dans le paragraphe précédent , que le point pour lequel on cherchait le rayon de courbure était l’origine elle-même ; c’est ce qu’il est toujours facile de supposer, en transportant les coordonnées parallèlement à leur direction.

Mais nous avons admis en même temps que cette direction des axes rectangulaires était celle de la tangente et de la normale à la courbe au point que l’on considère : on réalise cette supposition, si l’on change x en x cos a — y sin a, et y en .r sina -+-y cos a : île cette manière , on revient aux hypothèses du paragraphe précédent , a étant l’inclinaison de la tangente.

La courbe donnée étant donc tangente à l’axe des .r, et son équation étant de la forme

o = Aar - 1 - By 4- Ci 1 Djy E y'

je dis d'abord qu’on devra avoir

En effet, divisons tout par x, il vient

o = A + II - -f C.r -(- D r + Er • — +....

Considérons l’origine où x = o, y—o, mais cependant où l’inclinaison de la tangente il l’origine étant nulle, on doit avoir

il reste alors

Cela posé , nous remarquerons encore que le terme E y ‘ est né-

gligeable relativement à I) xy, car

Dxy-i-'Ey , — r[Dx-h V.y ) ,

et si l’on divise par x la quantité entre parenthèses, on obtient

cc qui se réduit à D pour l’origine, d’après ce que l’on vient de voir. On peut donc négliger le terme en y 7 devant le terme en xy. L’équation de la courbe près de l’origine est donc

o = y {B -f- D.r ) -f- Cr’,

ce qui donne

Cx 7

X ~~ B-t-Dx 1

mais pour .r très- petit on sait que cela se réduit à

Cx’

ce qui amène à négliger à son tour le terme en xy On a donc

équation qu’il faut identifier avec celle du cercle oscillateur à l'origine, qui est

Enfin

a R , ou bien

Il y a inflexion si R = oo , c’est-à-dire si C = o.