DIFFÉRENTES ESPÈCES DE COURUES ALGÉBRIQUES

104. On dit qu’une courbe plane est algébrique , quand elle peut se représenter par une équation à deux variables d’un nombre lini de termes, avec des exposants entiers qui indiquent le degré de la courbe.

THK.0K1K UES COURUES 1M.XNKS.

Dans le cas contraire, on dit que la courbe est transcendante. Les théories que nous avons exposées jusqu’à présent s’appliquent à toute espèce de courbes, quoique nous ne les ayons encore appliquées qu’à des courbes algébriques, excepté celle qui nous a servi d’exemple pour les points d’arrêt , et dont l'équation est

jr -h i = e * ;

mais aussi des points de cette nature ne se rencontrent jamais dans les courbes algébriques, non plus que les points saillants.

Nous avons déjà cité (97, III) le Fnlinni de Descartes, dont l’équation

jr 3 — 3 a T. y ■+■ x 3 = o ,

ne pouvant se résoudre par rapport à aucune des variables, se discute en posant

Nous avons parlé aussi de la cissoide. de Dioclès *), qui a pour équation ordinaire

et pour équation polaire

p = 2 a sin o) tang w.

Voici sa description géométrique :

A l’une des extrémités d’un diamètre fixé pris sur un cercle de rayon o, élevez une perpendiculaire sur ce diamètre; de l'autre extrémité menez, sous une direction arbitraire, une sécante- qui détermine sur le cercle une certaine corde , et va ensuite couper la perpendiculaire : portez sur cette sécante, à partir de l’extrémité du diamètre , une longueur égale à la portion de la sécante interceptée entre l’extrémité de la corde et la perpendiculaire ,

(* ) Ce nom <lc cissoide signifie que ta courbe ressemble à une feuille de lierre.

les points ainsi obtenus pour différentes directions formeront une cissoïde.

Nous allons encore rappeler les noms et les équations de quelquelques courbes algébriques :

Courbe du uiablf.. — Ainsi nommée parce qu’elle ressemble au jouet d’enfant qui porte ce nom. Son équation est

y' — .r 1 — ofoo' y' -+- too a’.r’ = o.

Coxchoïde de Nicomkuk. — Etant donnés un point A et une Fij;. 58. droite OD ( fig . 58), si par ce point on

y | mène la sécante AD qui coupe OD en

D, et que sur cette sécante on prenne \ ‘I e part et d’autre du point D la distance

constante DM = DM' = b , le lien des

^ — - . ___ points M et M' s’appelle une conchoïdr.

m , Soit OA = a la distance du point à

la droite, soient l’angle DAO = « et p le rayon vecteur; la ligure donne immédiatement

‘ COS Cri

Mais il faut observer que tous les points peuvent être donnés par la seule formule

si l’on admet, comme on peut le faire toujours pour les coordonnées polaires, que l’on donne à m des valeurs plus grandes • que 180 degrés, et qu’un rayon vecteur négatif doive se porter en sens inverse de l’angle correspondant. Cela posé, admettons, pour fixer les idées, que l’on ait a )> b et à plus forte raison

— - — b : nous aurons d’abord le rayon vecteur

COS cri

o = AM = — 1- b.

Maintenant donnons à l’angle variable la valeur i8o -+- ca, ce qui dirigera le rayon vecteur suivant Km.

La formule

COS U

nous donnera, pour cette nouvelle direction,

cos ( 1 80 + o)) cos &> ’

N.ileur négative, etquil faudra par conséquent porter, non pas de A vers m , mais de A en M'; or nous voyons que

Ainsi la valeur

ASl' = — b

cos w

sci a donnée par la formule générale

cos M

De même la formule

eos w

donnerait aussi toute la courbe. L’équation ordinaire, en prenant O pour origine, sera

La courbe se composera toujours, comme on le voit par sa description même, de deu\ parties séparées par leur commune asymptote OD.

La portion qui a son sommet en B aura toujours en ce point une tangente parallèle à l’asymptote et deux points d’inflexion symétriquement placés par rapport à 015, mais la forme de l’autre branche variera suivant les grandeurs relatives de a et de b.

Si ti^>b, comme la fig. 58 le suppose, la tangente en 15' est en- < on parallèle à l’asymptote, et cette autre branche a aussi deux

inflexions; de plus, l'équation par les coordonnées mon Ire que A est alors un point conjugué.

Si b — a, les points B' et A se réunissent et forment un rebroussement de première espèce, OA étant la tangente commune.

Enfin, si n b, les points B' et A échangent évidemment les positions qu’ils ont sur la fig. 58 et il se forme entre eux une boucle qui se rattache aux branches infinies situées de ce côté de l’asymptote.

Pour observer toutes ces particularités, il faut déduire de l’équation

la relation

tang(0 — »)

p cos'cj p«-

sinw (p — b) ^(p — bf — ti‘

seulement, pour lever l’indétermination que donnerait pour a = b, il faut poser

tang 3 (fl

après avoir remarqué que le radical y (p — b) 1 — a’, qui devient alors yp 3 — 2 bp, ne devient pas imaginaire pour p<^ 2 b, parce que p peut être négatif.

Dans le cas où a b, pour trouver p = o, il faut poser

— — 4-6 = 0 , fl ou cos m = — — .

cos « b

Alors

tang (9 — ta) — o,

ce qui prouve que 0 est égal à l’angle w ou bien à son supplé. ment. On trouve aussi les tangentes au point où se croise la boucle.

Nous remarquerons (Tailleurs qu’il est très-facile de construire graphiquement la tangente en un point quelconque par la consi-

duration du centre instantané de rotation. Soit la sécante AM ' 31 qui donne les points M' et M de la courbe; élevez AC perpendiculaire à AM et DC perpendiculaire à OU ; ces droites se coupent en C, qui est le centre de rotation : donc CM et CM' seront normales à la courbe.

Lieu des points tels, que le produit a 1 des distances de chacun d’eux à deux points fixes F et F' soit constant.

Soit