FF'= 2 C

on trouve pour équation

L’équation polaire sera

• p* — 2 c’p 1 cos 2 a = a* — c',

mais il se présente diverses particularités suivant les valeurs de a et de c :

i“. on a deux courbes séparées.

2°. a = c; on a une courbe en forme de 8 qui s’appelle la lemniscate. C’est donc le lieu des points tels, que le produit des distances de chacun d’eux à deux points fixes F et F' est égal au carré a- de la moitié de FF'. Elle a donc pour équation

*’ *’) = o, ou bien p ! =2* 3 cos2w.

3 °- Ce troisième cas présente lui-même trois circon-

stances différentes, suivant que

«<^c^2, c y/2 ou a = c y/a ;

dans cette dernière supposition, on a une figure appelée orale de Cassini.

Scarabée. — Les extrémités d’une droite de longueur constante 2 a glissant sur deux droites rectangulaires; d’un point fixe pris sur la bissectrice de ces axes on abaisse une perpendiculaire sur la droite mobile: trouver le lieu des pieds de ces perpendiculaires.

Soit h la distance du point fixe aux deux axes, et supposons

les coordonnées transportées à re point lise comme origine, on a l’équation

(x? -+■ y 1 ) 1 -+- (x -+■ y) 1 (a;- -t -y 1 ) — 4 fl, - r ’3' î = o.

( Voir la Géométrie analytique de MM. lîriot et Rouquet.)

Limaçon de Pascal. — Nous allons encore étudier la courbe connue sous ce nom , et qui sert pour ainsi dire de transition entre les courbes algébriques et les courbes transcendantes, parce qu’elle se rattache à l’épicycloïde. •

Étant donnés un cercle de diamètre AO — a (fig. 5c)) et un Fig. 5g. point A sur sa circonférence ,

menez une corde quelconque terminée à ce cercle en P, et prenez, à partir du point P, sur cette corde , la distanceconstante PM = PM' = b, le lieu des points M et M' est le limaçon de Pascal.

On voit immédiatement que c’est aussi le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point A sur les tangentes à une circonférence de centre O et de rayon OB = b. Cela se reconnaît, parce que le rayon ON = ON' = b est aussi égal à PM = PM'.

Du reste, le triangle rectangle APO donne

AP = a eosw.

Ainsi l’équation de la courbe se présente sous la forme p — a cos w zt b ;

mais il serait facile de faire voir, par le raisonnement déjà employé pour la concboïde, que tous les points M ou M' peuvent être représentés par une seule équation

p — a cosm -+- b, ou bien p ~ a cos w — b.

L’équation exprimée par les coordonnées sera

x 1 -t- y- — ax — b y .t ■ -F- y % ou bien je — bp — ax.

THKURIl: DES COURUES ULAIVES. 3,

1^> combe prendra diverses formes, suivant que l'on aura *>«(/#• 6 o), b <«(./%. 61), b = » [ fig , 62).

lie- ‘>o. Fig. Ci.

b ]> « , la courbe ne passe point par l’origine; cependant celte origine en fait toujours partie comme point conjugué, car l’équation par les coordonnées est toujours satisfaite pour

On trouve

tan ,r ( 0 ) — C ** cos w H— b J !>

osinw ~ sla*— ( p —

ce qui se réduit , pour le troisième cas où a =; b, à

tang (0 — 01 )

— cot — M

3lO

ce qui lève rindétermination et fait voir que le point A ; fig. 6?. ) est un rebroussement de première espèce, où AO est tangente. On verra, comme pour la conclioïde, que dans la fig. Gi,

au point A, pour lequel p = o et cos» = — -•> la formule

tang (0 — a) — o -

fait voir que b est égal ou supplémentaire de o>, c’est-à-dire que

les tangentes en ce point ont pour cosinus zjz-- '

Enfin, nous indiquerons encore la manière de mener la tangente par la considération du centre instantané de rotation. Soit C ( fig. 59) le centre du cercle de diamètre AO = a , soit S l’extrémité du diamètre dont PC est la moitié, S sera le centre instantané de rotation, car le point P est mobile sur le cercle et l’angle PAS est droit; de sorte que AS est perpendiculaire à la sécante mobile. Donc SM, SM' seront normales à la courbe.

O11 a dû remarquer plusieurs analogies entre la conchoïde de Nicomède et le limaçon de Pascal. En effet, il est possible de trouver une courbe dont les deux lignes indiquées 11e soient que des cas particuliers.

Du. point quelconque O ( fig. 63 ), menez au cercle de rayon f''t!- 63 . CA = K cl de centre C une sé-

cante OM qui eoape la circonférence en N et N , , et de part et d'autre de chacun de ces points, prenez les distances

NM = NM'= N, M, = N, M', = b.

on demande le lieu des points ainsi obtenus.

Chacun des triangles OCN, OCN, donnera, en posant OA = a, la relation

(a -t- R) : 4- ( p ± by — IC i os » a 1 a R) ( p ± b)

ou bien , en observant que le double signe est inutile et qu’on peut ne garder que l’une des valeurs ±b, comme dans les deux

courbes indiquées, puis réduisant, nous aurons

2 cos s» (n + RJ (p -t- b) = a' + 2 «It + (p + b)\

Pour tirer de cette formule générale celle de la conchoïde, il faut diviser par R, puis poser R = oo , ce qui donne

2 COSU \R " l ~ / + ^ = R 2U + R*’

et ensuite

a cos to (p-t-b)=2d, ou bien p = b

cos <u

ce qui est l’une des formes de l’équation de la conchoïde. Ensuite, si n = o, il reste

2 R eos w (o -f- b) = (o b) 1 .

On a donc l’ensemble du cercle représenté par p = b, puisque le signe de b est indifférent, et de la courbe qui a pour à équation

p -t- b = a R cos w et p = 2 R cos w — b ;

c'est l’une des équations du limaçon de Pascal.

Nous allons encore chercher la tangente à cette courbe {fîg. 64 ).

l'ig. G',.

Soit la sécante ONN, coupant la circonférence aux points N et N, , et menez au point O la perpendiculaire SOS, à ONN, ; joignez NC

3l2. CHAPITRE SEVTItMf.

qui coupe SOS, ‘eu S , de sorte que SM et SM' seront des normales , puisque S est le centre instantané relatif au point N. De même , joignez N, C qui coupe SOS, en S, , centre instantané relatif à N , , vous aurez les normales S, M, , S, M', .

On peut chercher quel» sont les points II, h pour lesquels les deux portions de courbe se coupent; les points M' et M, se confondent au milieu de la corde NN, pour faire un triangle rectangle dont P hypoténuse est

OC = a -+• R , ce qui donne , pour H et h ,

s = («-+- R) COS (ü.

Si donc, sur OC — « -t- R comme diamètre , on décrit une circonférence, elle passera aux points H et h , quel que soit b , et aux points T et t de contact de la circonférence donnée avec les tangentes menées du point 0 , ce qui correspond à b = o : les sécantes OH, OA au cercle de centre C donneront p- — b* = ( a -t- 2 R ) a .

105. Cvcr.oïuES et èpycicloïdes. — Mous allons examinermaintenant quelques courbes transcendantes.

I. Une des plus importantes est la cycloïile , dont voici la définition :

lin cercle de rayon CA = n ( fi g . 65) roule sans glisser sur une Fig. 65.

droite DO; un point fixe placé sur cette circonférence et partant du contact en O, décrit la courbe nommée cycle, idc ( * ).

Prenons sur OD la distance OR' — un, c’est-à-dire égale à la longueur de la circonférence , il est clair que le cercle arrivé à cet • endroit aura fait une révolution entière, et que le point R' sera sur la courbe, ainsi que O ; après cela , la courbe continuant son mouvement, donnera une seconde courbe égale à la première, en sorte que la cycloïde sera composée d’une infinité d’arceaux égaux entre eux.

D’ailleurs, le milieu R d’un arceau sera à une distance de OD marquée par 110 = 7.(7, puisque le point décrivant aura parcouru une demi-circonférence.

Il est facile de construire la courbe par points- Nous avons pris OB' — 2 T.ti ; divisons la circonférence et OB' en un meme nombre de parties égales, en 12 par exemple. Soit H le second point de division de la circonférence, et O le second point de division de la droite CL = OR' ; du centre G et du rayon GM — a décrivons une portion de cercle qui rencontre en M la parallèle HM à OD et à CL , je dis que M est un point de la courbe , car l’arc ME, de centre G, est évidemment égal à l’arc HO de centre C : on trouvera de même d’autres points de la courbe.

Comme le cercle roule sans glisser, on voit que le point E de contact correspondant à M est le centre instantané de rotation; donc ME est normale et donne la tangente FM , F étant l’extrémité du diamètre EGF.

Prolongeons ME d’une quantité EM' égale à elle-même, et ima-i ginons en dessous de OD un cercle égal au premier, roulant sur D' O' parallèle à DO à la distance 2 a , mais roulant en sens contraire, c’est-à-dire de D' vers 0' : je dis alors que , si je considère ce nouveau cercle mobile dans la position du diamètre EG'F', prolongement de FGE, et si je prends M' pour le point mobile, il arrivera en O quand le cercle aura roulé jusqu’en O'. En effet, l’arc EM' = EM est égal à la droite F.O, ce qui prouve que M' arrivera en O en même temps que F' en O'. On voit , d’après cela ,

(”} Pascal s'est occupe <lo ecttr vourlie, (ju'it celle époque un appelait quelquefois la roulette.

3l4 CHAPITRE SEPTIEME. .

que l’ensemble des points M' déterminera au-dessous de OD une autre cycloïde égale à la première, puisqu’elle est engendrée par un cercle égal , mais placée inversement, comme l'indique la ligure. D’ailleurs, cette nouvelle cycloïde étant formée par les intersections consécutives des droites telles que EM', normales à la première courbe, sera la développée de cette première cycloïde , et la droite KM' lui sera tangente.

On remarque aussi que le rayon de courbure MM' est double de ta normale EM. Donc, en supposant un fil enroulé sur la développante OD', on voit que MM' sera la longueur de l’arc OM', et, enfin, le double diamètre BD' est égal au demi-arceau OD'.

On peut encore établir un théorème remarquable relatif à la surface de l’arceau de cycloïde. '

Considérons les deux tangentes infiniment voisines à la développée NN', BP', qui sont en même temps normales à la développante, et soient n et p les points où elles coupent OB'. On sait

que N 'n est la moitié de N' N et V p = - P' P; or, les figures

N N' P' P, «N' P ' p pouvant être considérées comme des triangles qui ont NP et np pour base , et un angle égal au sommet , seront entre elles comme les produits des cotés qui composent cet angle , c’est-à-dire que