H) CHAPITRE PREMIER

cl dlflérontianl une seconde fois,

— sin x = 2 C + 2 . 3 D .r - 4 - 3.4 K.*’ -h 4 • 5 f •*’ + • * •

Les deux développements du sinus devant être identiques, on a les égalités

Al — — 2C,

Or, si

sin x =

donc aussi

si

ros.c = 1 ,

donc

d’où l’on tire

et l’on a les si

•ries

sin x = x — ecsx:= 1 —

9. Nous avons dit que cette méthode, si précieuse dans une (ouïe de recherches, n’est pas d’une exactitude absolue : en effet , il n’est pas tout à fait évident qu’une fonction quelconque puisse se développer suivant les puissances de la variable dont elle dépend, et il y a même certaines fonctions particulières pour lesquelles ce développement est impossible. Telle est la fonction

X = logx;

car x — o donne

et l'on est obligé d’éluder la difficulté en développant log (x -f- 1 ).

Mais nous devons surtout, au point de vue des calculs pratiques, nous préoccuper d’une autre espèce de difficulté qui se présente bien plus souvent et qui consiste dans la divergence des séries. Quand les termes vont en croissant, il est évidemment impossible que leur somme converge vers une quantité finie ; c’est

NOTIONS GÉNÉRALES. I

ce qui arrive, par exemple, dans les progressions géométriques dont la raison est plus grande que l’unité. Mais quand même les termes vont en diminuant , de manière que le terme de rang n devienne infiniment petit pour n = co , cette condition ne suffit pas toujours pour établir la convergence.

Une série dont tous les termes sont de même Signe est convergente quand le rapport d’un terme au terme qui le précède tend vers une limite plus petite que l’unité.

En effet, soit k une quantité plus grande que le rapport d’un terme quelconque à celui qui le précède, on peut néanmoins supposer k t . Or la somme des termes, depuis le premier jusqu'au n 4- i iimt étant

on aura la suite d'inégalités

• «I < u, fi ,

Multipliant ces inégalités, il reste

Un < U, k a ,

et comme on sait que k" devient plus petit que toute gran-

deur donnée quand n augmente indéfiniment. Il en sera donc de même pour Cela tient à ce que les puissances d’une quantité plus grande que l’unité croissent indéfiniment. En effet,

(i + «)'=(i+ “)(i+ a ).>i+ 2tl ,

et ainsi de suite. Donc

qui pçjut croître indéfiniment pour une valeur suffisante de«. Par conséquent, K" = ^ - décroît indéfiniment.

On aura ensuite, en ajoutant ,

ku n

et

« , — Xw,

Mais, comme nous venons de le voir, u„ devient infiniment petit à mesure que n augmente, et il reste

On voit que ce raisonnement ne pourrait s’appliquer si / était égal à l’unité.

Du reste, il faut bien observer que cette valeur S, quand elle est > ■ « • finie pour X <[i, donne bien une quantité - — supérieure à

la somme indéfinie des termes de la série; ce qui prouve que cette série est convergente; mais il 11e faudrait pas croire que cette va-

fûl la limite vers laquelle converge cette suite de ter-

leur

mes. C’est pourtant ce qui a lieu pour les progressions géométriques dont la raison est plus petite que l’unité, k étant cette raison ; mais il n’en est pas toujours ainsi, puisque, du reste, k n’est point complètement déterminé.

Nous devons tlonc conclure que la série est divergente si k 1 , puisque les termes vont en augmentant et qu’elle est convergente si ft 1 î mais s * Æ = i, on resté dans l’indécision, et, en effet, les

séries de cette nature sont tantôt divergentes, tantôt convergentes.

Ainsi la série

quoique scs termes aillent constamment en diminuant, est divergente, c’est-à-dire que la somme de ses termes n’a point de limite finie. Mais la série

NOTIONS GÉNÉRALES. 'l 3

dans laquelle on a aussi k—i, converge vers une limite linic (*).

10. Nous avons considéré des séries dont tous les termes étaient de même signe; souvent aussi les termes sont alternativement positifs et négatifs, et d'ordinaire le calcul de l’approximation en devient plus facile. Tels sont les développements du sinus et du cosinus en fonction de l’arc.

Quand une série est composée de termes constamment décroissants et alternativement positifs et négatifs, cette série est convergente ; l'erreur est inférieure au premier ternie que Von néglige et de meme signe que ce terme.

En effet, considérons la suite de termes

En s’arrêtant après trois termes, on peut poser la série sous la forme

c’est-à-dire que les termes conservés a — b + c seront suivis d’une quantité négative, car toutes les quantités négligées — [d — e), — [f — g), . . . sont effectivement négatives, puisque les termes vont toujours en diminuant. Ainsi la valeur a — b -s- c sera approchée en excès.

Prenons maintenant un terme de plus, la série deviendra

et ici les quantités négligées e — f . , g — seront évidem-

ment positives. Donc la valeur a — b 4- c — d sera approchée par défaut. Or la différence de ces deux sommes est — d; on voit donc que, dans la première circonstance, l’erreur était numériquement inférieure à d, mais du meme signe que — d, c’est-à-dire négative. t ...

(*) On démontre aussi la condition de convergence y i i H < i.