CHAPITRE IL

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

II. L’approximation telle que nous l’avons considérée jusqu'à présent, et qui consiste simplement à négliger les puissances supérieures de l’erreur, ne suffit pas dans toutes les circonstances. Il peut se faire que l’erreur soit assez considérable pour que le carré, le cube même de cette correction, étant multipliés d.’ailieurs par des coefficients qui peuvent être considérables, soient trop grands pour être négligés ; on doit alors se servir de cette première approximation pour substituer dans l’équation une valeur déjà corrigée, afin d’avoir une seconde correction, puis une troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait obtenu l’approximation désirée.

Cependant le calcul serait en défaut si la correction qu’il donne atteignait ou dépassait la valeur initiale, car il est clair qu’on ne pourrait plus la négliger relativement à cette valeur.

Pour premier exemple, cherchons la valeur de y^5; sa partie entière est ?.. Nous pouvons donc poser

y^5=2-f--*, d’où ' t == 4 X > en négligeant x‘. On a donc

ce qui donne pour seconde approximation

Alors

donc

APPROXIMATIONS SIJCCF.SSI VHS.

-ftr < et r i

'2 ■ (À * ni'

VS = 5~- = — ±='a,a 36,:

ce résultat ne diffère qu’aux dix -millièmes du résultat vrai - ^5 = 1 ,2.3607.

On voit que les corrections peuvent être tantôt positives, tantôt

Ici il a suffi de deux corrections pour avoir une approximation assez considérable, mais l’on n’est pas toujours si heureux. Cherchons la racine cubique île 2 ; nous poserons

en négligeant x’ et .r’, parce que 1 . On a donc

d’où l’on tire encore