CHAPITRE SEPTIÈME. THÉORIE DES COURBES PLANES

qu« la tangente, puisque a tck>°; donc cosa, ainsi que ce radical, sera toujours du signe de > c’est-à-dire de signe con-

traire à b, en admettant que le coefficient a du premier ternie de l’équation (1) soit toujours positif (*).

Enfin si l’on a en même temps

b' — 4^=0 et bd — 2ae = o,

la courbe se réduit à un système de deux droites parallèles, car

et l'équation (25) devient

Lr-I ■* -!-- /-* * + - = 0;

\ 20/ « \ 2 fl / a

d’où l’on tire deux valeurs de r H x en fonction de quantités

connues. Alors les équations (29), (3o) et (3i) nous donnent, quelle que soit la valeur de 9, x' et y’ infinis et 4 F= : o.

(*) Dans lo cas où b = o, on a évidemment

ce qui prouve que tes nouveaux axes sont parallèles aux anciens. De plus , puisque 6 — yo”, les résultats indiqués dans la note préredente deviennent

4 if

on pourrait le voir directement en opérant sur l'équation «r ! h- <<r -r- ex -+-/ = o, relative à des axes rectangulaires.

— APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. 345

APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES

HO. Le sujet qui va nous occuper est traité dans la plupart des Arithmétiques modernes; niais souvent les auteurs de ces ouvrages se proposent de mettre les candidats à l’abri des difficultés d’un examen plutôt que de faciliter réellement les calculs, et nous croyons qu’il est possible, sans négliger la théorie, d’exposer ces questions d’une manière quelquefois plus simple.

I. Nous commencerons par rappeler un principe bien connu , mais d’une telle importance , qu’il ne faut jamais le perdre de vue. Quand on connaît un nombre avec plusieurs décimales, dont on veut seulement conserver quelques-unes, il faut avoir égard à celles que l’on efface pour savoir si l’on doit augmenter d’une unité le dernier chiffre conservé ou bien le laisser tel qu’il est.

Supposons, par exemple, qu’on demande r. avec quatre décimales. On sait que

mais, si l'on efface les chiffres 926535897932 . . ., la quantité que l'on supprime étant plus grande que o,oooo5, c’est-à-dire supérieure à la moitié de l'espèce tC unités que /’ on conserve , on fera une erreur moins grande en forçant le chiffre des dix-millièmes qu’en le laissant tel qu’il est; donc il faut poser

Au contraire , si l’on veut garder huit décimales et effacer les chiffres 35897932 . . . , la portion supprimée étant plus petite que o,oooooooo 5 , c'est-à-dire inférieure à la moitié de l'espèce ifunités que l'on conserve, on fera une erreur moins grande en laissant tel qu’il est le dernier chiffre conservé que si l’on augmentait ce

chiffre d'une unité; il faut donc écrire

On pourrait être dans le doute si le premier chiffre elfacé était un 5, mais comme il est généralement suivi de quelques autres chiffres, la partie supprimée est plus grande que la moitié de l’unité que l’on conserve , ce qui permet de poser la règle suivante :

Quand le premier chijjre supprime est inferieur à 5, il faut laisser tel qu'il est le dernier chiffre conservé.

Quand le premier chiffre supprimé est égal ou supérieur à 5, il faut forcer le dernier chiffre conservé, c'est-à-dire l' augmenter d'une unité.

II. Voici encore un principe que l’on doit observer dans toutes les approximations.

Pour compter sur le dernier chiffre, il faut en calculer un de plus, qui servira à voir, d’après la règle précédente, s’il faut augmenter ou non le dernier chiffre ; ensuite on effacera ce chiffre supplémentaire qui peut ne pas être exact, parce qu’il dépend luimême de ceux qui devaient le suivre (*).

III. Lorsqu’on donne une, deux, trois... décimales d'un nombre, on dit que ce nombre est approché à un dixième, un centième , un millième près, ce qui-signifie que l’erreur est moindre qu’un centième, qu’un dixième ou qu’un millième. Ainsi, dans le nombre 24,3526 dont on ne connaît que quatre décimales, l’erreur peut être représentée par 0 , 0001 , c’est-à-dire par une unité de l'ordre du dernier chiffre.

IV. Mais on peut encore indiquer l’erreur d’une autre manière aussi exacte, et plus avantageuse parce qu’elle en donne

(*) Quel que soit ce chilïre supplémentaire, si on le néglige, le nombre est trop petit, mais devient trop grand si, au contraire, on augmente d'une unité le dernier chiflVe conservé. Par conséquent, pour renfermer un nombre entre deux limites différant d'une unité d un certain ordre } on calculera le chiflre de cet ordre, ce qui donnera la limite inférieure; ensuite on y ajoutera une unité pour obtenir la limite supérieure. Mais l'on n emploie dan» les calculs que la plus approchée de ces deux limites.

APPROXIMATIONS NUMERIQUES

une évaluation moitié moindre. Puisque ?4 1 35?6 est la valeur approchée (en plus ou en moins, peu importe) du nombre que l’on considère, et que le dernier chiffre 6 est celui des dix-millièmes, après qu’on l’a forcé, si cela a été nécessaire, on conçoit, d’après ce qui précède, que la partie négligée est inférieure à la moitié d’un dix-millième, et qu’on peut l’indiquer par o,oooo5. De là on conclut que l 'erreur est encore représentée par une demiunité de l'ordre du dernier chiffre.

V. Pour montrer si une quantité approximative est en excès ou en défaut, voici un usage qui commence à se répandre. On indique par un point placé sur la dernière décimale à droite que la valeur du nombre est trop forte d’une quantité moindre que la moitié de celte dernière unité décimale ; cela étant admis, l’absence du point indique que la valeur du nombre est trop faible d’une quantité moindre que cette demi-unité. D’après cela, les deux valeurs de tz que nous avons données précédemment pourront s’écrire de la manière suivante :

3,i4i 6 et 3, i4 i5f)?.65.

VI. D’un côlé , il faut chercher toujours à rendre l’erreur aussi petite que possible; mais de l’autre côté on ne doit jamais compter sur une approximation plus grande que cela n’est permis : aussi quand plusieurs quantités font partie de l'erreur, la plus grande île ces quantités doit être prise pour mesure de terreur quant à l'ordre des unités.

En général , quand on doute entre deux évaluations de l’erreur, il faut se mettre dans le cas le pins défavorable , c’est-à-dire prendre la plus grande.