on peut donc poser

21 . Il peut se présenter dans l’emploi de cette méthode un fait remarquable et qui abaisse le degré de l’équation. S’il se trouve, parmi les équations transformées que l’on obtient dans ces approximations successives, une équation identique avec une de celles qu’on a déjà obtenues, il est clair que les mêmes quotients incomplets se répéteront périodiquement , co qui permettra d’arriver à une approximation indéfinie. Mais de plus on obtiendra la forme même des racines , grâce à ce théorème :

Une fraction continue périodique a pour valeur une racine (F une équation du second degré.

Considérons d’abord une période simple , c’est-à-dire qui commence au premier quotient incomplet , nous aurons

- * L». ... Ml ■

— •- - -ÂL-

■ TXugitizoti

approximations successives.

Un sait que = — . > et comme le résultat sera exact i

remplaçant r par r -+- — , puisque la fraction se répète après r, nous aurons

i bien

Rx -f- Q

ce qui donne 1 équation

Soit maintenant la période muté

et soit

En représentant par —, la partie non périodique B

et par — la réduite précédente, nous aurons

valeur dans laquelle y est connu par un radical du second dt gré, ainsi qu’on vient de le voir.

On fera disparaître facilement le radical du dénominateur; car

ce dénominateur étant de la forme \fm •+■ n, il suffira de multiplier haut et bas par y lui — «; donc x résultera aussi d’une équation du second degré.

Ainsi , le théorème étant démontré d’une niante générale, la fraction continue périodique conduira à une équation du second degré dont les coefficients sont rationnels. Cette équation et la proposée ayant une racine commune, leurs premiers membres ont un commun diviseur : or, ce commun diviseur ne peut être qu’un facteur rationnel, puisque les coefficients de l’équation proposée sont commensurablcs, et d’un autre côté les deux facteurs de l’équation du second degré qu’on a obtenue sont irrationnels, puisqu’on suppose toujours que l’équation proposée est débarrassée de ses racines commensurablcs; il faut donc que le premier membre de celte équation du second degré soit lui-même un factéur de l’équation proposée. Ainsi, on connaîtra immédiatement une seconde racine; et, en effectuant la division, on n’aura plus à considérer qu’une équation dont le degré sera inférieur de deux unités au degré de la proposée.

22. Nous’ ne pouvons nous arrêter à discuter les deux racines de l’équation à laquelle conduit une fraction continue périodique, ni à démontrer le théorème inverse du précédent, qui consiste en ce que tonte racine d’une équation du second degré à coefficients eùmmcn arables se développe en fraction continue périodique , mais nous énoncerons quelques, résultats très- simples de celté nature, et qui pourront être utiles dans certains calculs.