CHAPITRE IIEIM FM K

d’où l’on tire

- — z — la.—

La valeur cherchée est donc

Nous prendrons comme exemple

25. Nous avons déjà exposé les méthodes de Newton cl de Lagrange pour obtenir par approximations successives les racines d’una équation algébrique- ou même transcendante. On parvient aù même résultat par la mèthoilv. des parties proportionnelles' que I on appelle encore règle de fausse position, et ce procédé est méiuc un de ccàx que l’on emploie le plus dans la pratique.

Cette méthode consiste à supposer que les accroissements de la fonction sont proportionnels à ceux de la variable. Soit

et cherchons la racine x„ telle que.y> = f{x t ) = o; en admettant que celte racine soit la seule comprise entre x, et .r,. Posons

nous devons admettre, du moins pour une première approximation, que l'on a

Tj

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

ou bien, puisque o,

On en tire et enfin ,

.) 1 __ Xj x„

JC, (y, — y,) "== ce, y, — x, y , ,

Cette valeur peut s’écrire encore sous les deux formes suivantes :

Xi (- c, — x ») Xi —Xi

et

: y ,[jc \

On voit que cette méthode tien t à la règle de Bernoulli, c’est-àdire aux principes fondamentaux énoncés dans le chapitre I er .

Il est clair que cette première approximation ne. donne pas pourr,, la valeur exacte de. la racine j la substitution de x, donnera la valeur y, qui ne sera pas nulle, comme nous l’avions supposé tout à l’heure; par conséquent on resserrera la racine entre x, et celle des deux valeurs x, et x, qui comprend la racine avec x u . Kn continuant de la meme manière, on arrivera à une approximation rapide et facile, car les calculs seront plus simples que par la méthode de Newton, puisqu’il n’est pas nécessaire de faire de substitutions dans la première dérivée (?}.

24 . Nous prendrons pour exemple l'équation suivante, traitée par Gauss, "

I. La première racine , c’est-à-dire la plus petite, est comprise

(*) La racine cherchée est comprise entre le valeur que donne cette méthode et celle qu’on obtient par la méthode ordinaire de Newton, telle qu’elle a été exposée dau» le n° 15 . Voir VA iffîbre de M. Rrîot.

entre x = o, qui donne

et x = o, i , qui donne

CUAPITHE IIBUXJkMk.

Mais ces premières valeurs de x étant encore trop éloignées pour appliquer la formule avec avantage, on arrivera , apres quelques substitutions, à trouver.

x, = 0,025 et x,= o,o 3 ,

d’où l’on lire

ce qui donne

Il vient

on doit donc resserrer

a racine entre x, etx,; on aura

x 4 = 0,025446» et Xi — 0,00000507.

Comme cette valeur de y, est très-petite, on peut regarder x, comme suffisamment approché et poser

II. La seconde racine est comprise entre 0,1 et 0,2. En preuant ces valeurs pour x, et x, , on trouve

. * '• * * . rf *. ' • > * ; ’

X, = o , 1 4 , Xi = — 0,082166.

En substituant 0,1 3 , on a

x, = o, 1 292 et y, = 0,0002743.

On trouvera ensuite

.ûy’

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 4

III. La troisième racine est comprise cnlrc o, a et 0,3. Ensuite

.r, = o,2g5 et y 3 = — o,oio 4 a 36 , Xi = 0,29708 et y, = 0,00001 2.9, •*•5=0,29707743,

et enfin